高考数学复习专题2.10：函数奇偶性与单调性问题的研究与拓展

专题2.10：函数奇偶性与单调性问题的研究与拓展【问题提出】 （1）下列说法中，正确命题的序号为_定义在R上的函数，若，则函数是偶函数定义在R上的函数，若，则函数不是偶函数定义在R上的函数，若，则函数不是奇函数（2）下列说法中，正确命题的序号为_若定义在R上的函数满足，则函数是R上的单调增函数若定义在R上的函数满足，则函数在R上不是单调减函数若定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则函数在R上是单调增函数若定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则函数在R上是单调增函数【探究拓展】探究1：已知是一个定义在上的函数，求证：（1）是偶函数；（2）是奇函数.思考：已知函数.写出一个奇函数和一个偶函数，使=+.拓展：研究是否任意一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和.变式1：定义在R上的两个函数中，为偶函数，为奇函数，则_变式2：定义在上的奇函数和偶函数满足，若则 变式3：定义在区间(1,1)上的函数f(x)满足2f(x)f(x)lg(x1)，则f(x)的解析式为_.拓展1：定义域均为R的奇函数f (x)与偶函数g (x)满足f (x)g (x)10x（1）求函数f(x)与g(x)的解析式；（2）证明：g(x1)g(x2)2g()；（3）试用f(x1)，f(x2)，g(x1)，g(x2)表示f(x1x2)与g(x1x2)解：（1）f(x)g(x)10x ，f(x)g(x)10x，f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，f(x)f(x)，g(x)g(x)，f(x)g(x)10x ，由，解得f(x)(10x)，g(x)(10x)（2）解法一：g(x1)g(x2)(10)(10)(1010)()22102g()解法二：g(x1)g(x2)2g()(10)(10)(10)0（3）f(x1x2)f(x1)g(x2)g(x1)f(x2)，g(x1x2)g(x1)g(x2)f(x1)f(x2)（有点类似两角和差的正余弦公式的结构）反思：掌握函数的函数解析式，奇函数，单调性，等常规问题的处理方法，第（2）问，把函数与不等式的证明，函数与指对式的化简变形结合起来，提升学生综合应用知识的能力第（2）问还具有高等数学里凸函数的背景拓展2：请各写出一个满足下列条件的函数：（1）_；（2）_探究2：函数是定义在上的增函数，并且满足，.若存在实数，使得则的值为 变式：函数满足：，则=_.拓展1：若对于任意恒成立，请写出符合条件的一个函数解析式为_.拓展2：已知函数的定义域是的一切实数，对于定义域内的任意，都有，且当时，.（1）求证：是偶函数 ；（2）证明：上是增函数；（3）解不等式 .变式1：若定义在上的函数对任意的都有成立，且当时，（1）求证：为奇函数；（2）求证：是上的增函数；（3）若，求取值范围证明：（1）令，则，即；-1分令，则，为奇函数；（2）任取，且，则为奇函数，是上的增函数（3），由（2）是上的增函数， 变式2：已知是定义在上的奇函数，若，且时，恒有.（1）判断在上是增函数还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式；（3）若,且对所有的恒成立，求实数的取值范围.变式3：定义在上的函数，当时，且对任意的，有.（1）求证：；（2）求证：对任意的，恒有；（3）证明：是上的增函数；（4）若，求实数的取值范围. 变式4：已知是定义在上的函数，且，且满足时有，数列满足，.（1）求的值，并证明在区间上是奇函数；（2）探索与的关系式，并求的表达式；（3）是否存在自然数，使得对于任意的，恒成立？若存在，求出的最大值.探究3：（北京高考题）（1）具有奇偶性的函数的单调性有何规律？请给予证明.（2）具有奇偶性的函数的导函数的奇偶性有何规律？请给予证明.变式1：确定函数的单调区间.变式2：已知函数的定义域是，若存在，使得，则称是的一个不动点.设的不动点数目是有限多个（1）判断函数和的不动点的个数；（2）依据（1）的结论，研究奇函数的一般规律，并证明；（3）偶函数的不动点的个数是偶数吗？若是，给出你的证明；若不是，说明理由.变式3：设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在点处的切线的斜率为_.探究4：若函数的最大值与最小值分别为M,m，则M+m= _ 变式1