高考数学复习专题2.15：取对数思想的研究与拓展

专题2.15：取对数思想的研究与拓展【课本溯源】已知均为不等于的正数，且，求证：【问题提出】问题1：设为正实数，则的取值范围是_问题2：实数满足，则的最大值是 解：取常用对数，得不等式组，求的取值范围（两种方法：二元一次不等式组线性规划问题；待定系数法）求得的取值范围是，所以的最大值为27【拓展探究】探究1：各项均为正数的等比数列中，若，则的取值范围是 . 探究2：设，比较和的大小.变式1：（1）已知为实数，且，其中是自然对数的底数，证明；（2）如果正实数满足=，且，证明：变化2：已知函数（1）求函数的图象在处的切线方程；（2）求的最大值；（3）比较与的大小，并说明为什么？变式3：已知函数（1）求函数的单调区间；（2）设求函数在上的最小值；（3）某同学发现：总存在正实数、，使，试问：他的判断是否正确?若不正确，请说明理由；若正确，请直接写出的取值范围（不需要解答过程）（4）设函数，其中为实数. 若在上是单调增函数，试求的零点个数（直接写出结论，无需写出过程）. 变式4：已知函数（1）若函数在处取极值，求的值；（2）如图，设直线将坐标平面分成、四个区域（不含边界），若函数的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的的取值范围；（3）比较与的大小，并说明理由xxO变式5：数列满足，（1）求，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）设，比较与的大小拓展1： 已知实数,函数,且在区间上的最小值为，则实数的取值范围是_. 拓展2：若，为常数，且（1）求对所有实数成立的充要条件（用表示）；（2）设为两实数，且,若.求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）可通过取对数运算，将问题转化为两个绝对值函数问题（变型）若，为常数，且（1）求对所有实数成立的充要条件（用表示）；（2）设为两实数，且,若.求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）拓展3：已知函数，其中e是自然对数的底数.（1）证明：是R上的偶函数；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）已知正数满足：存在，使得成立. 试比较与的大小，并证明你的结论.【解析】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基本知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力. 满分16分.(1) 因为对任意，都有，所以是R上的偶函数.(2) 解法一（官方解答）：由条件知上恒成立.令，则，所以对于任意成立.因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 因此实数m的取值范围是.解法二：考虑不等式两边同乘，则不等式转化为在上恒成立.令，则问题可简化为：在上恒成立. 构造函数，由图象易得当时不符合题意.当时，或解得.综上可知，实数的取值范围为. （江苏苏州 陈海锋）(3) 令函数，则.当时，又，故，所以是上的单调增函数，因此在上的最小值是.由于存在，使成立，当且仅当最小值，故，即.令函数，则，令，得.当时，故是上的单调减函数.当时，故是上的单调增函数.所以在上的最小值时.注意到，所以当时，.当时，所以对任意的成立.当时，即，从而；当时，；当时，即，故.综上所述，当时，当时，当时，.(3)的民间思路：难题分解1：如何根据条件求出参数的取值范围？分解路径1：直接求函数的最值.解：令，只要在上，即可. 当时，.；当时，则. 故在区间上，即函数为的增函数，则，解得.（江苏苏州 何睦）分解路径2：参数分离可以吗？解：欲使条件满足，则，此时，则，构造函数，即求此函数在上的最小值. .因为，则. 则在上恒成立，故，故（江苏苏州 何睦）难题分解2：如何根据求得的参数的取值范围比较与的大小？分解路径1：（取对数）与均为正数，同取自然底数的对数，即比较与的大小，即比较与的大小. 构造函数，则，再设，从而在上单调递减，此时，故在上恒成立，则在上单调递减. 当时，；当时，；当时，.（江苏苏州 何睦）分解路径2：（变同底，构造函数比大小）要比较与的大小，由于，那么，故只要比较与的大小. 令，那么.当时，；当时，.所以在区间上，为增函数；在区间上，为减函数.又，则，；那么当时，；当时，.综上所述，当时，；当时，；当时，. （江苏苏州 王耀）【考点】函数的基本性质 (B)，利用导数研究函数的单调性与极值 (B)，综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力. 拓展4：已知i，m，n是正整数，且1imn（陈永高，2001）（1）证明：；（2）证明：(1m) n (1n) m