高考数学复习专题7.30：圆锥曲线阿基米德三角性质的研究与拓展_第1页
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专题7.30：圆锥曲线阿基米德三角性质的研究与拓展【问题提出】圆锥曲线弦的两个端点和在这两端点处的切线的交点所构成的三角形叫做阿基米德三角形, 这条弦叫做阿基米德三角形的底, 两切线的交点叫做阿基米德三角形的顶点. 特别地, 我们把底边过焦点的阿基米德三角形称之为阿基米德焦点三角形. 【探究拓展】探究1 已知抛物线:的焦点为，过弦的两端点作抛物线的切线 、，两切线交于点，则.变式1.1 （2005江西卷理22）如图，设抛物线:的焦点为，动点在直线:上运动，过作抛物线的两条切线、, 且与抛物线分别相切于、两点.（1）求的重心的轨迹方程. （2）证明.探究2 已知抛物线:中弦过焦点，过弦的两端点作抛物线的切线 、，两切线交于点，则点的轨迹为准线，且面积的最小值为.变式2.1 （2006全国卷二理21）已知抛物线的焦点为，、是抛物线上的两动点，且.过、两点分别作抛物线的切线，设其交点为.(1)证明为定值；(2)设的面积为，写出的表达式，并求的最小值.探究3 已知抛物线:的焦点为，过弦的两端点作抛物线的切线 、，两切线交于点，点为的中点，则平行于轴.变式3.1（2007江苏卷理19） 如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于,两点.一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线:交于点,.(1)若，求的值；(2)若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；(3)试问(2)的逆命题是否成立？说明理由.变式3.2 （2008山东卷理22）如图，设抛物线方程，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为,.(1)求证：,三点的横坐标成等差数列；(2)已知当点的坐标为时，求此时抛物线的方程；(3)是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足 (为坐标原点).若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由.探究4 已知直线与抛物线:没有公共点，过直线上一点引抛物线的切线 、，切点为、，则弦过一定点.变式4.1（2008江西卷理21）设点在直线上，过点作双曲线的两条切线 、，切点为、，定点.(1)过点作直线的垂线，垂足为，试
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