高考数学复习专题2.12：含绝对值的函数问题的研究与拓展（2）VIP

专题2.12：含绝对值的函数问题的研究与拓展（2）【探究拓展】探究1：已知为正的常数，函数（1）若，求函数的单调增区间；（2）设，求函数在区间上的最小值拓展：已知函数,.（1）当时,求函数在区间上的最大值；（2）若恒成立,求的取值范围；（3）对任意,总存在惟一的,使得成立,求的取值范围.解：（）当,时,所以在 递增,所以（）当时，恒成立, 当时，（i）当即时，在时为正数，所以在区间上为增函数,故当时，且此时(ii)当,即时，在时为负数，在间 时为正数,所以在区间上为减函数，在上为增函数,故当时，且此时 (iii)当,即 时，在时为负数，所以在区间1,e上为减函数，故当时，综上所述，函数的最小值为所以当时,得; 当()时,无解；当 （）时,得不成立. 综上,所求的取值范围是（）当时,在单调递增,由,得 当时，在先减后增,由,得, 设,yax所以单调递增且，所以恒成立得当时,在递增，在递减，在递增,所以由,得,设,则,所以递增，且,所以恒成立，无解. 当时，在递增，在递减，在递增,所以由得无解 综上,所求的取值范围是探究2：若，为常数，且（1）求对所有实数成立的充要条件（用表示）；（2）设为两实数，且,若.求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用（）恒成立（*）因为所以，故只需（*）恒成立综上所述，对所有实数成立的充要条件是：（）1如果，则的图象关于直线对称因为，所以区间关于直线 对称因为减区间为，增区间为，所以单调增区间的长度和为2如果.（1）当时.，当，因为，所以，故=当，因为，所以，故=因为，所以，所以即当时，令，则，所以，当时，所以=时，所以=在区间上的单调增区间的长度和=（2）当时.，当，因为，所以，故=当，因为，所以故=因为，所以，所以当时，令，则，所以，当时， ，所以=时，所以=在区间上的单调增区间的长度和=综上得在区间上的单调增区间的长度和为变式1：定义区间、的区间长度均为，则当时，不等式的区间长度之和为_ 2不等式的转化，分子构成的函数的两个零点和的大小研究根据二次函数的零点分布问题变式2：已知，且（1）当a=1时，求的解析式；（2）在（1）的条件下，若方程有4个不等的实根，求实数的范围；（3）当时，设 所对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间m,n的长度定义为），试求l的最大值.解: (1)当时,. 故 易知当时所以 5分（2），可画出和的图像，由数形结合可知，当时方程有4个不等的实根 9分（3）当时,因为,所以由,解得,从而当时, 当时,因为,所以由,解得,从而当时, 当时,因为,从而 一定不成立综上得,当且仅当时, 14分故 从而当时,取得最大值为 16分变式3：已知函数.(1) 若, 求+在2，3上的最小值；(2) 若时, , 求的取值范围； (3) 求函数在1，6上的最小值. 【解答】(1)因为,且2，3,所以 ,当且仅当x=2时取等号,所以在2，3上的最小值为(2)由题意知,当时,即恒成立所以,即对恒成立,则由,得所求a的取值范围是(3) 记,则的图象分别是以(2a-1,0)和(a,1)为顶 点开口向上的V型线,且射线的斜率均为.设的最小值为，的最小值为，分六种情况分别求，。得： ，的图像如下（粗体线部分）：综上所述, 函数在1，6上的最小值为： 。探究3：设是定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有0，使得，则称函数具有性质.（1）设函数，其中为实数（i）求证：函数具有性质； （ii）求函数的单调区间；（2）已知函数具有性质.给定设为实数，且，若|0，所以对任意的都有，在上递增。又。当时，且， 综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，从而在区间上单调递增。当时，有，得，同理可得，所以由的单调性知、，从而有|，符合题设。当时，于是由及的单调性知，所以|，与题设不符。当时，同