高考数学复习专题2.6：折线函数问题的研究与拓展VIP

专题2.6：折线函数问题的研究与拓展【课本溯源】（1）画出和的图像；（2）画出的图像，并研究其性质；【探究拓展】探究1：画出的图像，并研究其性质；并归纳函数的图像性质；变式1：设函数的图像关于直线对称，则的值为_.变式2：函数 的值域为_，+）变式3：若函数的最小值为3，则实数的值为_.变式4：对于定义在区间D上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意D，当时，恒成立，则称函数为区间D上的“平底型”函数（1）判断函数和是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；（2）设是（1）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式 对一切R恒成立，求实数的取值范围；（3）函数是区间上的“平底型”函数，求和值解：（1）对于函数，当时，当或时，恒成立，故是“平底型”函数 对于函数，当时，；当时，所以不存在闭区间，使当时，恒成立故不是“平底型”函数 （2）若对一切R恒成立，则所以又，则 则，解得故实数的范围是（3）因为函数是区间上的“平底型”函数，则存在区间和常数，使得恒成立所以恒成立，即解得或 当时，当时，当时，恒成立此时，是区间上的“平底型”函数 K当时，当时，当时，此时不是区间上的“平底型”函数 综上，m1，n1为所求 拓展1：某地街道呈现东-西、南-北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点，若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点、为报刊零售点. 请确定一个格点（除零售点外）_为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.拓展2：已知，且，则满足条件的所有整数的和是_.变式：已知，下列命题中真命题的序号是 （1）是偶函数；（2）在上是增函数；（3）不等式的解集为；（4）方程有无数个实数解拓展3：已知函数的图象有对称中心，则实数a =_ 解：中间是平底型折线，则函数的图像两边是二次函数的一部分，中间是一条线段，则函数的对称中心即为线段的中点，而后利用极大值和极小值点的中点进行计算探究2：能否利用我们之前研究平底型折线的方法（从特殊到一般的数学思想）来研究（且是等差数列）的图像和性质呢？它的图像一定是平底型折线吗？一定是轴对称图像吗？小结：一般地，设a1a2a3an(nN*)，f(x)=|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+|x-an|若n为奇数，则当x=时，f(x)取最小值，图像为尖底型折线；若n为偶数，则x时，f(x)取最小值，图像为平底型折线。变式1：函数的最小值为_.变式2：在平面直角坐标系中，将从点出发沿纵、横方向到达点的任一路径称为到的一条“折线路径”，所有“折线路径”中长度最小的称为到的“折线距离”如图所示的路径与路径都是到的“折线路径”某地有三个居民区分别位于平面内三点，现计划在这个平面上某一点处修建一个超市（1）请写出点到居民区的“折线距离”的表达式（用表示，不要求证明）；（2）为了方便居民，请确定点的位置，使其到三个居民区的“折线距离”之和最小解：（1）点到居民区的“折线距离”， （2）点到居民区、的“折线距离”之和为， 下面分别确定和的值，使最小令，当时，的最小值为. 当时，最小值为， 答:当点取在时，到三个居民区的“折线距离”之和最小为. 拓展1：在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径与路径都是M到N的“L路径”. 某地有三个新建居民区, 平面内三点处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.（1）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明)；（2）若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小.拓展2：已知函数f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+|100x-1|，则当x=_时，f(x)取得最小值解：f(x)=，f(x)共表示为5050项的和，其最中间两项均为x=，同时使第1项|x-1|与第5050项的和，第2项与第5049项的和，第3项与第5048项的和，第2525项与第