高考数学复习专题3.3：一类以“ ”为背景的问题的研究与拓展_第1页
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专题3.3：一类以“”为背景的问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：证明不等式变式1：设，其中若对于任意，恒成立，则参数的取值范围是_ 变式2：设，其中，若对于任意，恒成立，则参数的取值范围是_ 变式3：设，其中，若对于任意，恒成立，则参数的取值范围是_ 探究2：不等式有哪些等价变形？（想一想以下等价变形是如何获得的）变形1：变形2：变形3：变形4：变形5：变形6：拓展1：已知函数=，其中a0.（1）若对一切xR，1恒成立，求a的取值集合.（2）在函数的图像上取定两点，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）若，则对一切，这与题设矛盾，又，故.而令当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值于是对一切恒成立，当且仅当.令则当时，单调递增；当时，单调递减.故当时，取最大值.因此，当且仅当即时，式成立.综上所述，的取值集合为.（2）由题意知，令则令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即从而，又所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使单调递增，故这样的是唯一的，且.故当且仅当时， .综上所述，存在使成立.且的取值范围为.【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切xR，f(x) 1恒成立转化为，从而得出a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.拓展2：（1）已知函数，求函数的最大值；（2）设，均为正数，证明：若，则.解：（1）的定义域为，令，在上递增，在上递减，故函数在处取得最大值（2）由（）知当时有即，即拓展3：已知函数.（1）若，求的取值范围；（2）证明： .解：（）， ,题设等价于.令，则当，；当时，是的最大值点， 综上，的取值范围是.()有（）知，即.当时，；当时， 所以拓展4：设函数。（1）若，求的单调区间；（2）若当时，求的取值范围.（1）时，.当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加（2）由（I）知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，而，于是当时，.由可得.从而当时，故当时，而，于是当时，.综合得的取值范围为.拓展5：设函数（1）证明：当时，；（2）设当时，求a的取值范围【参考答案】【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解
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