高考数学复习专题6.15：数列与简易数论问题的研究与拓展_第1页
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专题6.15：数列与简易数论问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：设是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列.（1）若，是否存在，使？（2）数列中，若，公比，且，仍是中的项，则 .（3）满足试证明任给,总存在使成等比数列. 探究2：已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。（1）若，是否存在，有说明理由； （2）找出所有数列和，使对一切,并说明理由探究3：从数列中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列的一个子数列设数列是一个首项为、公差为的无穷等差数列（1）若，成等比数列，求其公比（2）若，从数列中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为的无穷等比子数列，请说明理由拓展：若，从数列中取出第1项、第项（设）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当为何值时，该数列为的无穷等比子数列，请说明理由探究4：设数列，对任意都有，(其中、是常数)（1）当，时，求；（2）当，时，若，求数列的通项公式；（3）若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”. 当，时，设是数列的前项和，试问是否存在封闭数列，对任意，且都有,若存在，求数列的首项的所有取值；若不存在，说明理由解：（1）当，时， 用去代得， -得，在中令得，则0，数列是以首项为1，公比为3的等比数列，=（2）当，时， 用去代得， -得， ， 用去代得， -得，即，数列是等差数列 ，公差，（3）由（2）知数列是等差数列，。又是“封闭数列”，得：对任意，必存在使，得，故是偶数，又由已知，故一方面，当时，对任意，都有另一方面，当时，则，取，则，不合题意当时，则，当时，又，或或或拓展1：设数列是等差数列，且公差为，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.（1）若，判断该数列是否为“封闭数列”，并说明理由？（2）试问：数列为“封闭数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明.拓展2：若数列对任意的正整数满足：为常数），则该数列称为“等差比数列”.（1）若数列的前项和满足，求的通项公式，并判断是否为“等差比数列”？（2）若数列为等差数列，试判断是否为等差比数列？并说明理由？（3）试写出一个“等差比数列”的通项公式，使此数列既不是等差数列，也不是等比数列？（4）类比“等差比数列”的定义，请你给出“等比差数列”的定义，并仿照（3）给出该数列的一个通项公式？探究5：（1）设是从1,0,1这三个整数中取值的数列，若，则中数字0的个数为 . 7（2）已知是正整数，若成等差数列，成等比数列，则这四数依次为 .（3）已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于1的正整数，且，对于任意的，总存在，使得成立，则 .（4）一个正数，它的小数部分、整数部分及它本身，依次构成等比数列，
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