高考数学复习专题5.2：可转化为线性规划的问题的研究与拓展

专题5.2：可转化为线性规划的问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：设等差数列的前项和为，若，则的最大值为_.法1：待定系数法；法2：线性规划法变式1：设实数满足，则的最大值是 。解：取常用对数，得不等式组，求的取值范围（两种方法：二元一次不等式组线性规划问题；待定系数法）求得的取值范围是，所以的最大值为27（从而转化为线性规划问题）变式2：各项均为正数的等比数列中，若，则的取值范围是 . 拓展1：已知线段长度为,在线段上任取两点将线段分成段，则这三段长度能构成三角形的概率为_ 拓展2：已知是锐角三角形，其中既不是最大角也不是最小角，则的取值范围是_拓展3：（2011年清华等该高水平大学自主招生）在锐角中，已知，则的取值范围是_. 探究2：已知函数在区间上是减函数，则的最小值为_.变式：若改为求的最小值呢？结论如何？探究3：已知实数，满足不等式（1）的取值范围是_ （2）的取值范围是_ （3）则的取值范围是 变式1：设实数，若不等式对任意都成立，则的最小值为 .变式2：若不等式恒成立，则实数的最小值为 .变式3：已知x，y，满足，x1，则的最大值为 探究4：已知点到原点的距离为1，则的最大值为_变式1：已知，对于任意实数，的最大值为_.变式2：已知 ,.若，则的取值范围是 . 解：将视作曲线上的点与动点连线的斜率因，所以点的轨迹是两射线变式3：已知关于的实系数一元二次不等式的解集为，则的最小值是_. 8解析：分子分母同时除以，变形为（消元思想）（其中条件为），而后转化为的函数，易求得最小值为8探究5：在中，已知三边长满足，则的取值范围是_.变式1：在中，角所对的边分别为，且，（1）求角；（2）若在内任一点（含边界），点到三边距离之和为，设到的距离之和分别为，请用表示，并求的取值范围.（1）；（2），且，则的取值范围是变式2：已知正数满足:则的取值范围是_.解法1：令，则原不等式组可转化为，所求为满足不等式组的线性区域内的点与原点连线的斜率，利用线性规划易得取值范围是解法2：我们注意到所求的是的取值范围，和参数无关，所以可以将参数特殊化，不妨取,则条件可转化为,则由得,易得的取值范围是解法3：令,则,由得： ： 综上可得的取值范围是拓展1：已知点的坐标满足，则的取值范围为_.拓展2：函数，对有或成立.若，则实数的取值范围是_ 拓展3：在平面直角坐标系中，设是圆上相异三点，若存在正实数，使得，则的取值范围 解：平方得，为的夹角， 又，探究6：已知，若，则的最小值为 解：，由条件得： 当过点时，探究7：已知实数满足，且目标函数的最大值为最小值为，则的值为_（你考虑过的符号么？）解析：不管怎样，恒成立，的符号不确定；取得最大值的点必为与直线的交点；取得最小值的点必为与直线的交点；且为直线的两个点；易得答案为变式：已知实数满足，且目标函数的最大值为最小值为，则的值为_（你考虑过的符号么？）不管怎样，恒成立，的符号不确定探究8：已知a，b为常数，a 0，函数（1）若a = 2，b = 1，求在（0，+）内的极值；（2） 若a 0，b 0，求证：在区间1，2上是增函数； 若，且在区间1，2上是增函数，求由所有点形成的平面区域的面积变式：（2012年浙江）已知a0，b，函数（1）证明：当0x1时， 函数的最大值为； ；（2）若对x0，1恒成立，求ab的取值范围解：（1） 当b0时，0在0x1上恒成立，此时的最大值为：|2ab|a；当b0时，在0x1上的正负性不能判断，此时的最大值为：|2ab|a；综上所述：函数在0x1上的最大值为|2ab|a； 要证|2ab|a0，即证|2ab|a亦即证在0x1上的最大值小于(或等于)|2ab|a，令当b0时，0在0x1上恒成立，此时的最大值为：|2ab|a；当b0时，在0x1上的正负性不能判断，|2ab|a；综上所述：函数在0x1上的最大值小于(或等于)|2ab|a即|2ab|a0在0x1上恒成立（2）由（1）知：函数在0x1上的最大值为|2ab|a，且函数在0x1上的最小值比(|2ab|a)要大11对x0，1恒成立，|2ab|a