2020届南通高三数学基地学校第一次大联考含答案VIP

江苏省南通市 2020 届高三基地学校第一次大联考 数 学 I 2019.12 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题 第 20 题，共 20 题） 。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试 结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4. 作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。 5. 如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式： (1) 样本数据 x1,x2, ,xn的方差 s2= 1 n n i=1 (xix)2，其中 x = 1 n n i=1 xi (2) 直棱柱的侧面积 S = ch，其中 c 为底面周长，h 为高 (3) 棱柱的体积 V = Sh，其中 S 为底面积，h 为高 一. 填空题：本题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分. 请将答案填写在答题卡的指定位置，在其他位置作一律无效. 1. 已知集合 A = x|1 0) 在点 x = 1 处的切线为 l. 若 l 与该抛物线的准线的交点 横坐标为 7 32，则 p 的值为 . 10. 已知函数 y = f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时，f(x) = log2(x+1). 则满足不等式 f(a2a2)+4 0 的实 数 a 的取值范围是. 11. 已知 x,y 为正实数，则 2y x + 9x 2x+y 的最小值为. 12. 在 ABC 中，已知 A = 3 ,AB = 3. 若 D 为 BC 中点，且 AD = 7 2，则 # AC # AD =. 13. 在平面直角坐标系xOy中， 已知AB是圆O:x2+y2=4的直径.若与圆O外离的圆O1:(x6)2+(y8)2=r2(r 0) 上存在点 M，连接 AM 与圆 O 交于点 N, 满足 BMON, 则半径 r 的取值范围是. 14. 己知函数 f(x) = x2(m+1)x1 与 g(x) = lnx2x2m 的零点分别为 x1,x2和 x3,x4若 x1 x3 0) 的左焦点为 F(3,0) 点 A ( 3, 1 2 ) 在椭圆 C 上. (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 已知圆 O : x2+y2= a2, 连接 FA 并延长交圆 O 于点 B, H 为椭圆长轴上一 点（异于左、右焦点） ，过点 H 作椭圆长轴的垂线分别交椭圆 C 和圆 O 于 点 P,Q(P,Q 均在 x 轴上方). 连接 PA,QB. 记 PA 的斜率为 k1, QB 的斜率为 k2. 1求 k2 k1 的值; 2求证：直线 PA,QB 的交点在定直线上. 18. (本小题满分 16 分) AB CD EOP Q 某生态农场有一矩形地块，地块内有一半圆形池塘（如图所示） ，其中 AB = 4 百米，AD = 2 百米，半圆形池塘的半径为 1 百米，圆心 O 与线段 AB 的中点 重合，半圆与 AB 的左侧交点为 E. 该农场计划分别在 AE 和 CD 上各选一点 P,Q 修建道路 A#P#Q#C，要求 PQ 与半圆相切. (1) 若 QPE = 60，求该道路的总长程； (2) 若 AP,PQ 为观光道路, 修建费用是 4 万元/百米，CQ 为便道，修建费用是 1 万元/百米，求修建观光道路与便 道的总费用的最小值. 2020 届考备考系列试卷第 3 页 (共 4 页) 19. (本小题满分 16 分) 设 Sn为数列 an 的前 n 项和，若 Sn= Aa2 n+Ban+C(A,B,C 为常数）对任意 n N恒成立. (1) 若 an= 2n，求 A,B,C 的值； (2) 若 A = 1 6,B = 1 2C = 1 3 且 an 1. 1求数列 an 的通项公式; 2若数列 bn 满足 bnb2 n+1= 2a n, 且 b2b3= 8, 求证：数列 bn 为等比数列. 20. (本小题满分 16 分) 己知函数 f(x) = alnxx,(a R,a = 0),g(x) = ( x+ 1 x ) (x 0). (1) 若函数 y = f(x) 与 y = g(x) 有相同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） ，求实数 a 的值： ； (2) 记 F(x) = f(x)g(x). 1若在区间 (0,e（e 为自然对数底数）上至少存在一点 x0，使得 F(x0) 0 成立，求实数 a 的取值范围； 2若函数 y = F(x) 图象存在两条经过原点的切线，求实数 a 的取值范围。 2020 届考备考系列试卷第 4 页 (共 4 页) 江苏省南通市 2020 届高三基地学校第一次大联考 数 学 II（附加题） 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共 2 页，均为非选择题（第 21 题 第 23 题） 。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分钟。考试结束后，请 将本试卷和答题卡一并交回。 2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4. 作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。 5. 如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 21.【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两 题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A. 选修 4 2: 矩阵与变换 (本小题满分 10 分) 已知矩阵 A = 23 2t1 的一个特征值伪 4，求矩阵 A 的逆矩阵 A1 B. 选修 4 4: 坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 x = 1+ 1 2t, y = 3 2 t （t 为参数） ，曲线 C 的参数方程为 x = s2, y = 2s （s 为参数）. 若直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点，求弦 AB 的长 C. 选修 4 5: 不等式选讲 (本小题满分 10 分) 已知关于 x 的不等式 |xa| b 的解集为 x|2 x 4, 求 12at +3bt 的最大值 数学 II （附加题）第 1 页（共 2页） 【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 在某次数学测验中，学号为 i(i = 1,2,34) 的四位同学的考试成绩 f(i) 90,92,96,98, 且满足 f(1) f(2) f(3) f(4). (1) 求四位同学的考试成绩互不相同的概率； (2) 设四位同学中恰有 X 位同学的考试成绩为 96 分，求随机变量 X 的概率分布列及数学期望 23. (本小题满分 10 分) 已知 (1+x)n= a0+a1x+a2x2+anxn(n N) (1) 若 a2= 15, 求 n 的值； (2) 求 Sn= n k=0 (1)k 1 ak 的值 数学 II （附加题）第 2 页（共 2页） 学科基地密卷命题组 高三联考数学参考答案 第 1 页（共 9 页） 2020 届高三基地学校第一次大联考 数学学科参考答案及评分建议数学学科参考答案及评分建议 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 1 0 2 5 3 42 4 2 5 3 10 6 4 7 4 3 8 16 3 9 3 4 10 5 3 2 ， 116 24 12 65 4 134 8， 141 ， 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分 15 （本小题满分 14 分） 【证】 （1）因为AO 平面BCD，BD 平面BCD， 所以AOBD. 因为ABAD，O 为 BD 一点， 所以 O 为 BD 中点. 2 分 因为 E 为 CD 的中点， 所以 BCOE. 4 分 因为BC 平面 AOE，OE 平面 AOE， 所以 BC平面 AOE. 6 分 （2）因为AO 平面BCD，AO 平面ABD， 所以平面ABD 平面BCD. 8 分 因为BCBD，BCOE， 所以OEBD. 10 分 因为OE 平面BCD，平面ABD 平面BCDBD， 所以OE 平面ABD. 12 分 因为OE 平面 AOE， 所以平面 ABD平面 AOE. 14 分 16 （本小题满分 14 分） 【解】 （1）在ABC 中， 因为sinsin 2 BC aBb ， 所以sinsincos 22 AA aBbb 2 分 结合正弦定理得，sinsinsincos 2 A ABB， 即2sincossinsincos 222 AAA BB 4 分 因为(0)AB，所以sin0B ，cos0 2 A ， 学科基地密卷命题组 高三联考数学参考答案 第 2 页（共 9 页） 所以 1 sin 22 A 所以 26 A ， 3 A 6 分 （2）在ABC 中，因为 3 A ，则 2 0 3 B， 5 666 B ， 则 sin()0 6 B . 又因为 1 cos() 64 B ，则 215 sin()1cos () 664 BB. 8 分 所以coscos()CAB cos()AB cos() 3 B cos () 66 B cos()cossin()sin 6666 BB 31515311 + 24248 14 分 17 （本小题满分 14 分） 【解】 （1）设椭圆C的焦距为2c，则3c ， 所以 22 3ab 2 分 又因为 1 (3) 2 A ，在椭圆C上， 所以 22 31 1 4ab ， 解得 2 4a ， 2 1b ， 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y 5 分 （2）设( ,0)H t， 1 ( ,)P t y， 2 ( ,)Q t y， 则 2 2 1 1 4 t y， 22 2 4ty， 所以 2 2 1 1 4 t y ， 22 2 4yt，即 2 2 2 22 1 4 4 1 4 y t yt 又因为P，Q均在x轴上方，所以 2 1 2 y y 8 分 学科基地密卷命题组 高三联考数学参考答案 第 3 页（共 9 页） B A C D P Q O E H 因为 2 2 1 3 y k t ， 1 1 1 2 3 y k t ， 所以 221 1 11 121 2 11 22 kyy k yy 10 分 因为(3,0)F ， 1 (3) 2 A ，所以直线AF的方程为3x ， 易得(3,1)B ，所以直线QB的方程为 21 1(3)2 (3)ykxk x ， 又因为直线PA的方程为 1 1 (3) 2 yk x， 12 分 所以 1 12()21 2 yyy ，解得0y 所以直线PA，QB的交点在x轴上 14 分 18 （本小题满分 16 分） 【解】 （1）因为60QPE，所以 4 32 sin603 PQ 2 分 而 2 32 44 tan603 APQC ， 4 分 所以 4 32 32 3 44 333 APPQQC 答：道路的总长为 2 3 4 3 百米 6 分 （2）设QPE 若点P与点A重合，则 6 ； 若点P与点E重合，则 2 ， 所以由题意，的取值范围是 6 2 ， 8 分 设切点为H，连结OH 则 1 2 sin AP ， 2 sin PQ ， 1212cos 4(2)2 sintansin CQ 设修建观光道路与便道的总费用为( )f万元， 则 1212cos ( )4212 sinsinsin f 52cos 10 sin 11 分 学科基地密卷命题组 高三联考数学参考答案 第 4 页（共 9 页） 设 52cos ( ) sin t ， 6 2 ， 则 2 22 2sin(52cos )cos 25cos ( ) sinsin t 令( )0 t ，得 2 cos 5 ，令 0 2 cos 5 ，且 0 62 13 分 列表如下： 0 6 ， 0 0 2 ， ( ) t 0 ( )t 极小值 所以当 0 时，( )t 取得最小值 所以 min0 4 5 5 ( )()101021 21 5 ff 15 分 答：修建观光道路与便道的总费用的最小值为1021万元 16 分 19 （本小题满分 16 分） 【解】 （1）因为2n n a ，所以 1 2 n n a a ，所以数列 n a为等比数列 所以 12 22(21)2(1)22 12 n n nnn Saa ， 所以0A ，2B ，2C 4 分 （2） 2111 623 nnn Saa 当1n 时， 2 1111 111 623 Saaa，解得 1 2a 或 1 1a （舍去） 5 分 当2n时， 22 111 111111 ()() 623623 nnnnnnn aSSaaaa ， 化简得： 22 1111 ()()3() nnnnnnnn aaaaaaaa 又因为1 n a ，所以 1 3 nn aa ，所以数列 n a为等差数列， 所以23(1)31 n ann 8 分 因为 231 1 22 n an nn b b ，所以当2n 时， 2 23 32b b 又因为 23 8b b ，所以 3 4b ， 2 2b 学科基地密卷命题组 高三联考数学参考答案 第 5 页（共 9 页） 当1n 时， 2 1 2 4bb ，解得 1 1b 10 分 因为 231 1 2 n nn b b ，所以 232 12 2 n nn bb ， 两式相除得， 22 32 122 231 1 1 2 8 2 n nnn n nn nn bbb b b b b 因为 2 2 1 8 n nn b b b ，所以 2 3 12 8 n nn b bb ， 两式相除得， 3 22 3 n n n b b b ， 12 分 所以 222 231311 42 2 22 () nnnnn nn nn bbbbb b b bb 又因为 2 2 1 3 1 b bb ，所以 2 1 2 1 n nn b b b ，即 2 12nnn bb b 所以数列 n b为等比数列 16 分 20 （本小题满分 16 分） 【解】 （1）因为 1 ( )g xx x ，所以 22 (1)(1) 1 ( )1 xx g x xx 令( )0g x，解得 1 1x ， 2 1x （舍去） x (0 1)， 1 (1)， ( )g x + 0 ( )g x 极大值 所以1x 为函数 g(x)的极大值点 2 分 因为( )lnf xaxx，所以( )1 aax fx xx 令( )0fx，解得xa x (0)a， a ()a ， ( )g x + 0 ( )g x 极大值 所以xa为函数 f(x)的极大值点 因为函数 f(x)与 g(x)有相同的极值点，所以1a 4 分 学科基地密卷命题组 高三联考数学参考答案 第 6 页（共 9 页） （2） 1 ( )( )( )lnF xf xg xax x 先求( )0F x 在0 e，上恒成立，即有ln10axx 令( )ln1G xaxx，0 ex，则( )lnG xaxa， 令( )0G x，得 1 e x 若0a ，则当 1 0 e x时，( )0g x，g(x)单调递减； 当 1 e e x时，( )0g x，g(x)单调递减， 所以 min 1 ( )( )10 ee a g xg ，得0ea 若0a 时，同理得 min ( )(e)1e0g xga ，得 1 0 e a 综上，a 的取值范围为 1 | e aa 或ea 8 分 设切点 00 0 1 (ln)xax x ， 0 0 x ， 2 1 ( ) ax F x x ， 所以 0 00 2 0 0 1 ln 1 ax axx x x ，即 0 0 2 ln0axa x 设 2 ( )lng xaxa x ，x0， 题意即为，函数( )g x在(0)，上有两个零点 由于 22 22 ( ) aax gx x xx （）当0a 时， 2 ( )0g x x ，( )g x无零点； （）当0a 时，( )0g x，( )g x在(0)，上递减， 此时 g(x)不可能存在两个零点，故不满足条件； 11 分 （）当0a 时，令( )0g x， 2 x a ， x 2 0 a ， 2 a 2 a ， ( )fx 0 ( )f x 极小值 所以极小值 22 ( )lnga aa 要使函数( )g x在(0)，上有两个零点， 学科基地密卷命题组 高三联考数学参考答案 第 7 页（共 9 页） 则必须满足 2 ( )0g a ，所以2a 因为 2 (e)0 e g， 2 e a ，( )g x在 2 + a ，连续且为增函数， 所以( )g x在 2 + a ，有唯一零点 因为 212 e0 e a a aa ， 22 (e )2e(e)(e)0 aaaa gaaaa ， 而( )g x在 2 0 a ，连续且为减函数，故( )g x在 2 0 a ，有唯一零点， 所以当2a 时，( )g x在(0)，有两个零点，满足条件 故所求 a 的取值集合为 |2a a 16 分 数学（附加题） 21 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题 A选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 【解】因为矩阵 A 的特征多项式( )(2)(1)3ft， 所以(4)(42)(41)30ft，所以2t 5 分 因为 A 23 21 ，且2 12340 ， 所以 A-1 1313 4444 2211 4422 声明：试题解析著 作 10 分 B选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 【解】直线 l 的普通方程为3(1)yx 3 分 曲线 C 的普通方程为 2 4yx，它表示抛物线 6 分 由 2 3(1) 4 yx yx ， ， 消y，得 2 31030 xx， 解得 1 3x ， 2 1 3 x ， 所以AB，两点的坐标分别为(3 2 3)，和 2 31 () 33 ， 所以弦AB的长为 222 3116 (3)(2 3) 333 10 分 C选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 学科基地密卷命题组 高三联考数学参考答案 第 8 页（共 9 页） 【解】由|xab，得bxab ，即abxab 因为不等式的解集为 | 24xx，所以24abab， 解得31ab， 4 分 所以 (123 )3 123123322 6 2 tt atbttt 10 分 【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域 内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 【解】 （1）设“四位同学的考试成绩互不相同”为事