常州市2019~2020高三数学一模试卷含答案

启用前 绝密 江苏省常州市 2019 2020 学年度第一学期期末考试试卷 高 三 数 学 2020.01 一. 填空题（本题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分) 开 始 结 束 S0,i1 SS+i2 ii+2 i3 输出S 第3题图 1. 已知集合 A = 1,0,1,B = x | x2 0，则 AB =. 2. 若复数 z 满足 zi = 1i （其中 i 为虚数单位）, 则 z 的实部为. 3. 右图是一个算法的流程图，则输出的 S 的值是. 4. 函数 y = 2x 1 的定义域是. 5. 已知一组数据 17,18,19,20,21，则该组数据的方差是. 6. 某校开设 5 门不同的选修课程，其中 3 门理科类和 2 门文科类，某同学从中任选 2 门 课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率是. 7. 已知函数 f(x) = 1 x1, x 0 x 2 3, x 0 , 则 f(f(8) =. 8. 函数 y = 3sin ( 2x+ 3 ) ,x 0, 取得最大值时自变量 x 的值. 9. 等比数列 an 中，若 a1= 1,4a2,2a3,a4成等差数列，则 a1a7=. 10. 已知 cos ( 2 ) cos = 2，则 tan2 =. 11. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C : x2 a2 y2 b2 = 1(a 0,b 0) 的右顶点为 A, 过 A 做 x 轴的垂线与 C 的一 条渐近线交于点 B, 若 OB = 2a，则 C 的离心率为. 12. 已知函数 f(x) = |lg(x2)|, 互不相等的实数 a,b 满足 f(a) = f(b)，则 a+4b 的最小值为. 13. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆C : x22ax+y22ay+2a21 = 0 上存在点 P 到点 (0,1) 的距离为 2，则实数 a 的取值范围是. 14. 在 ABC 中，A = 3 , 点 D 满足 # AD = 2 3 # AC，且对任意 x R, ? ? ?x # AC+ # AB ? ? ? ? ? ?# AD # AB ? ? ? 恒成立，则 cosABC = . 二. 解答题（本题共 6 小题，共 90 分，解答时应写出字说明、证明过程或演算步骤） 15. (本小题满分 14 分) 在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c，已知 a = 1,cosB = 3 3 (1) 若 A = 3 ，求 sinC 的值； (2) 若 b = 2，求 c 的值. 江苏 2020 届考备考系列试卷第 1 页 (共 4 页) 16. (本小题满分 14 分) A B C D M N P 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA 平面 ABCD，四边形 ABCD 是矩形，AP = AD， 点 M,N 分别是线段 PD,AC 的中点。求证： (1) MN平面 PBC； (2) PCAM. Ox y A M N F1F2 17. (本小题满分 14 分) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C : x2 a2 + y2 b2 = 1(a b 0) 的左右焦点 分别为 F1,F2，椭圆右顶点为 A，点 F2在圆 (x2)2+y2= 1 上。 (1) 求椭圆C 的标准方程； (2) 点 M 在椭圆 C 上，且位于第四象限，点 N 在圆 A 上，且位于第一象限，已 知 # AM = 13 2 # AN，求直线 F1M 的斜率 江苏 2020 届考备考系列试卷第 2 页 (共 4 页) 18. (本小题满分 14 分) AB CD E F G H EF G H P请你设计一个包装盒，ABCD 是边长为 102 cm 的正方形 纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，在沿 虚线折起，使得 A,B,C,D 四个点重合于图 2 中的点 P，正 好形成一个正四棱锥形状的包装盒（图 2 所示） ，设正四棱 锥 PEFGH 的底面边长为 x cm. (1) 若要求包装盒侧面积 S 不小于 75 cm2，求 x 的取值范围； (2) 若要求包装盒容积 Vcm3最大，试问 x 应取何值? 并求出此时包装盒的容积 19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x) = (ax2+2x)lnx+ a 2x 2+1(a R). (1) 若曲线 y = f(x) 在 x = 1 处的切线的斜率为 2，求函数 y = f(x) 的单调区间； (2) 若函数 y = f(x) 在区间 (1，e) 上有零点，求实数 a 的取值范围； 江苏 2020 届考备考系列试卷第 3 页 (共 4 页) 20. (本小题满分 14 分) 设 m 为正整数， 若两个项数都不小于 m 的数列 An， Bn 满： 存在正数 L, 当 nm 时， 都有 |AnBn|L， 则称数列 An，Bn 是“(m,L) 接近的” 已知无穷数列 an 满足 8a3=4a2=1， 无穷数列 bn 的前 n 项和为 Sn,b1=1， 且 Sn(bn+1bn) bnbn+1 = 1 2,nN . (1) 求数列 an 的通项公式； (2) 求证：对任意正整数 m, 数列 an，a2 n+1 是“(m,1) 接近的” ； (3) 给定正整数 m(m5), 数列 1 an ，b2 n+k （其中 k R）是“(m,L) 接近的” ，求 L 的最小值，并求出 此时的 k(均用 m 表示).（参考数据 ln2 0.69） 江苏 2020 届考备考系列试卷第 4 页 (共 4 页) 高三数学答案第 1 页 （共 7 页） 常州市教育学会学生学业水平监测 高三数学参考答案2020 年 1 月 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共14 小题，每小题小题，每小题5 分，共计分，共计70分分 1.1 , 12.13.104.，05.26. 10 7 7. 5 1 8. 12 9.64 10. 22 11.212.1413. 2 171 , 10 , 2 171 14. 26 135 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分分 15（本小题满分 14 分） 解：（1）在ABC中，0B，则sin0B， 因为 3 cos 3 B，所以 22 36 sin1 cos1 () 33 BB 3 分 在ABC中，ABC，所以sin sin()sin()CABAB ，5 分 所以sinsin()sincoscossin 333 CBBB 331636 23236 8 分 （2）由余弦定理得 222 2cosbaacBc，则 22 3 ( 2)12 3 cc ，10 分 所以 2 2 3 10 3 cc， 3 (3)()0 3 cc，12 分 因为 3 0 3 c，所以 30c ，即 3c 14 分 16（本小题满分 14 分） 证明：（1）取PC，BC的中点,E F，连结 ME，EF，FN， 三角形PCD中，M，E 为PD，PC的中点，所以EMCD， 1 2 EMCD；三角形ABC中，F，N 为 BC,AC 的中点， 所以FNAB， 1 2 FNAB， 因为四边形ABCD是矩形，所以ABCD ABCD， 高三数学答案第 2 页 （共 7 页） 从而EMFN，=EMFN，所以四边形EMNF是平行四边形.4 分 所以MNEF，又EF平面PBC，MN平面PBC，所以MN平面PBC. 6 分 （2）因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD. 因为四边形ABCD是矩形，所以ADCD.8 分 又因为PAADA，PA 平面PAD，AD 平面PAD， 所以CD平面PAD. 又AM平面PAD，所以CDAM.10 分 因为APAD，M 为PD的中点，所以AMPD， 又因为PDCDD，PD平面PCD，CD平面PCD， 所以AM平面PCD12 分 又PC平面PCD，所以PCAM14 分 17（本小题满分 14 分） 解：（1）圆 A: 22 (2)1xy的圆心 )0 , 2(A ，半径1r，与 x 轴交点坐标为 )0 , 3(),0 , 1 ( 点 2 F在圆 A: 22 (2)1xy上，所以)0 , 1 ( 2 F，从而2a，1c， 所以312 2222 cab ，所以椭圆C的标准方程为 1 34 22 yx .4 分 （2）由题，设点),( 11 yxM，0, 20 11 yx；点),( 22 yxN，0, 0 22 yx. 则 11 (2,) AMxy， 22 (2,) ANxy，由 13 2 AMAN知点 A，M，N 共线. 5 分 直线 AM 的斜率存在，可设为 k（k0），则直线 AM 的方程为(2)yk x， 由 22 (2) (2)1 yk x xy ， ，得 2 2 2 2 1 2 1 1 1 k x k kk y k ， ，或 2 2 2 2 1 2 1 1 1 k x k kk y k ， ， 所以 22 22 11 (2) 11 kkk N kk ， ，7 分 高三数学答案第 3 页 （共 7 页） 由 22 (2) 1 43 yk x xy ， ，得 2222 (34)1616120kxk xk，解得 2 0 x y ， ，或 2 2 2 86 34 12 34 k x k k y k ， ， 所以 2 22 8612 () 3434 kk M kk ，10 分 代入 13 2 AMAN得 222 2222 86121311 (2)() 3434211 kkkkk kkkk ， ， 22 (49)(5251)0kk，又 k0，得 3 2 k，13 分 所以) 2 3 , 1 ( M，又)0 , 1( 1 F，可得直线MF1的斜率为 4 3 ) 1(1 2 3 14 分 18（本小题满分 16 分） 解：（1）在图 1 中连结 AC,BD 交于点 O，设 BD 与 FG 交于点 M，在图 2 中连结 OP， 因为 ABCD 是边长为210cm 的正方形，所以 OB=10（cm)， 由 FG=x，得 2 x OM ， 2 10 x BMPM，2 分 因为, 22 10, xx OMPM即所以100 x4 分 因为 2 20) 2 10(2 2 1 4xx x xPMFGS，6 分 由7520 2 xx，得155x，所以105 x 答：x的取值范围是105 x8 分 （图 1）（图 2） 高三数学答案第 4 页 （共 7 页） （2）因为在OMPRT中， 222 PMOPOM， 所以x xx OMPMOP10100) 2 () 2 10( 2222 ， 5422 10100 3 1 10100 3 1 3 1 xxxxOPFGV，100 x，10 分 设 54 10100)(xxxf，100 x， 所以)8(5005004)( 343 xxxxxf， 令0)( x f，得08xx或（舍去）12 分 列表得， 所以当 x8 时，函数)(xf取得极大值，也是最大值，14 分 所以当 x8 时，V 的最大值为 3 5128 答：当 x8 cm 时，包装盒容积 V 最大为 3 5128 （cm 3） 16 分 19（本小题满分 16 分） （1）函数 ( )f x的定义域为(0,)， 2 1 ( )(22)ln(2 )2(1)ln222(1)(ln1)fxaxxaxxaxaxxaxaxx x ，2 分 则(1)2(1)2 fa ，所以0a，3 分 此时( )2 ln1f xxx，定义域为(0,),( )2(ln1) fxx ， 令( )0 fx ，解得 1 e x；令( )0fx，解得 1 e x； x(0，8)8(8，10) f(x)0 f(x)极大值 高三数学答案第 5 页 （共 7 页） 所以函数 ( )f x的单调增区间为 1 ( ,) e ，单调减区间为 1 (0, ) e 6 分 （2）函数 22 ( )(2 )ln1 2 a f xaxxxx在区间1,e上的图象是一条不间断的曲线 由（1）知( )2(1)(ln1)fxaxx， 1）当0a时，对任意 (1,e)x ，10,ln10 axx，则 ( )0fx ，所以函数 ( )f x在区 间1,e上单调递增，此时对任意 (1,e)x ，都有( )(1)10 2 a f xf成立，从而函数( )f x 在区间(1,e)上无零点；8 分 2）当0a时，令( )0fx，得 1 e x或 1 a ，其中 1 1 e ， 若 1 1 a ，即1a，则对任意(1,e)x，( )0 fx ，所以函数 ( )f x在区间1,e上 单调递减，由题意得(1)10 2 a f，且 22 (e)e2ee10 2 a fa，解得 2 2(2e1) 2 3e a，其中 2 22 2(2e1)3e4e2 ( 1)0 3e3e ，即 2 2(2e1) 1 3e ， 所以a的取值范围是21 a；10 分 若 1 e a ， 即 1 0 e a， 则对任意(1,e)x，( )0 fx ， 所以函数 ( )f x在区间1,e 上单调递增，此时对任意 (1,e)x ，都有( )(1)10 2 a f xf成立，从而函数( )f x在 区间(1,e)上无零点；12 分 若 1 1e a ，即 1 1 e a，则对任意 1 (1,)x a ，( )0 fx ；所以函数 ( )f x在区 间 1 1, a 上单调递增，对任意 1 (1,x a ，都有( )(1)10 2 a f xf成立； 对任意 1 (,e) x a ，( )0 fx ，函数 ( )f x在区间 1 ,e a 上单调递减，由题意得 22 (e)e2ee10 2 a fa，解得 2 2(2e1) 3e a， 其中 222 2(2e1)13e4e2e2 ()0 e3e3e3e ，即 2 2(2e1)1 () e3e ， 所以a的取值范围是 2 2(2e1) 1 3e a15 分 综上可得，实数a的取值范围是 2 2(2e1) 2 3e a 16 分 高三数学答案第 6 页 （共 7 页） 20（本小题满分 16 分） 解：（1）设等比数列 n a公比为q，由 32 8=4=1aa得 2 11 8=4=1a qa q， 解得 1 1 = = 2 aq，故 1 = 2 n n a.3 分 （2） 222 11113113 (1)|(1)| |() +|=() + 24224224 nn nnnn |aa|.5 分 对任意正整数m，当 * nN，且nm时，有 111 0 222 mn ， 则 2 11313 () +=1 22444 n ，即 2 (1)|1 nn |aa成立， 故对任意正整数m，数列 n a， 2 1 n a 是“( ,1)m接近的”.8 分 （3）由 1 1 ()1 = 2 nnn nn S bb b b ，得到 11 1 ()= 2 nnnnn S bbb b ，且 1 0 nn bb ， 从而 1 0 nn bb ，于是 1