宿迁中学2020学年度下期高三数学期初综合检测卷含答案

1 / 4 宿迁中学2020学年度下期高三数学期初综合检测卷 2020.3 班级：高三()班姓名：成绩： 一、填空题：本大题共 14 个小题，每小题 5 分，共 70 分. 请把答案写在答题卡相应位置上. 1. 函数sin(2) 3 yx 的最小正周期为 2. 函数 2 ( )2(3)1f xxax在区间(, 3) 上单调递减，则实数 a 的取值范围是. 3. 已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为340 xy，则双曲线的离心率为. 4. 已知函数( ) x x ax f xxe e （其中 e 为自然对数的底数）为偶函数，则实数 a 的值为 5. 在ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且ADDB，2BEEC，记ABa ，ACb ，若 DExayb ，则xy的值为 6. 已知各项均为正数的等比数列 n a满足 3 4a ， 3 7S ，则 2 a的值为 7. 已知x，y为正数，且 14 1 2xy ，则xy的最小值为 8. 函数( )sin()(0f xAxA，0)的部分图象如图所示 若函数( )yf x 在区间m，n上的值域为2,2，则nm的最小值是 9. 已知函数( )3f xx xx，若 2 ( )(2)0f af a，则实数 a 的取值范围为. 10. 已知,A B为平面内的两点，2AB ，M是AB的中点，点P在该平面内运动，且满足3PAPB， 则PM的最大值为 11. 已知1240 xx a对一切(x ，1上恒成立，则实数a的取值范围是 12. 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的上顶点为B，若椭圆上离点B最远的点为椭圆的下顶点，则椭圆离心 率的取值范围为 2 / 4 13. 已知, ,a b cR，且满足 222 2, 2, abc abc 则c的取值范围为 14. 已知函数 3 4 , 2, ( ) (1) , 02, x f xx xx 若关于x的方程( )f xkx有且仅有 1 个实根，则实数k的取值范围 是 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 15. 设向量(sin , 3cos )axx (0 x，)，( 1,1)b ，(1,1)c (1) 若()abc ，求实数x的值； (2) 若 1 2 a b ，求sin() 6 x 的值 16. 如图，在ABC中， 4 B ，3AB ，AD为边BC上的中线，记BAD，且 2 5 cos 5 (1) 求AD的长； (2) 求sinC的值 3 / 4 17. 在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点坐标分别是(0,0)A，(2,2)B，(1,3)C，记ABC外接 圆为圆M (1) 求圆M的方程； (2) 在圆M上是否存在点P，使得 22 4PAPB？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由 18. 如图，已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的离心率为 3 2 ，过左焦点(3F ，0)且斜率为k的直线交椭 圆E于A，B两点，线段AB的中点为M，直线:40l xky交椭圆E于C，D两点 (1) 求椭圆E的方程； (2) 求证：点M在直线l上； (3) 是否存在实数k，使得3 BDMACM SS ？若存在，求出k的值若不存在，说明理由 4 / 4 19. 已知函数 32 ( )21()f xxaxaR (1) 若3a ，求函数( )f x的单调区间； (2) 当0a 时，若函数( )f x在 1，1上的最大值和最小值的和为 1，求实数a的值 20. 已知常数0a ，数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a ，且(1) n n S aa n n (1) 求证：数列 n a为等差数列； (2) 若3( 1) nn nn ba ，且数列 n b是单调递增数列，求实数a的取值范围； (3) 若 1 2 a ，数列 n c满足： 2019 n n n a c a ，对于任意给定的正整数k，是否存在p， * qN，使 qkp ccc？若存在，求p，q的值（只要写出一组即可） ；若不存在，说明理由 1 / 6 高三数学参考答案 2020.3 班级：高三()班姓名：成绩： 一、填空题：本大题共 14 个小题，每小题 5 分，共 70 分. 请把答案写在答题卡相应位置上. 1. 函数sin(2) 3 yx 的最小正周期为 【答案】 2. 函数 2 ( )2(3)1f xxax在区间(, 3) 上单调递减，则实数 a 的取值范围是. 【答案】a|a6 3. 已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为340 xy，则双曲线的离心率为. 【答案】 5 4 4. 已知函数( ) x x ax f xxe e （其中 e 为自然对数的底数）为偶函数，则实数 a 的值为 【答案】1 5. 在ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且ADDB，2BEEC，记ABa ，ACb ，若 DExayb ，则xy的值为 【答案】 1 2 【解析】因为ADDB，2BEEC，所以 1 2 DBAB ， 22 () 33 BEBCACAB ，且,ABa ACb . 所以 1212 () 2363 DEDBBEabaab ，又DExayb . 所以根据平面向量基本定理得， 12 , 63 xy ，所以 1 2 xy 6. 已知各项均为正数的等比数列 n a满足 3 4a ， 3 7S ，则 2 a的值为 【答案】2 【解析】设等比数列 n a的公比为q，由题可得 2 44 47 qq ，即 2 3440qq， 解之得 2 3 q (舍)或2q ，所以 3 2 2 a a q . 7. 已知x，y为正数，且 14 1 2xy ，则xy的最小值为 【答案】7 【解析】 因为 14 1 2xy ， 则 144(2) 22(2)()23347 22 yx xyxyxy xyxy 8. 函数( )sin()(0f xAxA，0)的部分图象如图所示若函数( )yf x在区间m，n上的值域 为2,2，则nm的最小值是 【答案】3 【解析】函数( )sin()(0f xAxA，0)的部分图象如图所 示 2 8T ，解得 4 ，当2x 时，2A ，所以sin()1 2 ，解 得2()kkZ，当0k 时0 由于函数( )2sin() 4 yf xx 在区间m，n上的值域为2,2， 所以当2n时取得最大值，当1x 时，函数取得最小值，则nm的最 小值为2( 1)3 2 / 6 9. 已知函数( )3f xx xx，若 2 ( )(2)0f af a，则实数 a 的取值范围为. 【答案】( 2,1) 【解析】函数 2 2 3 ,0, ( )3 3 ,0. xx x f xx xx xx x 则()( )fxf x ，即函数( )f x为奇函数，且在 R 上单调递增， 若 2 ( )(2)0f af a，则 2 (2)( )()f af afa ，所以 2 2aa ，解得：21a . 10. 已知,A B为平面内的两点，2AB ，M是AB的中点，点P在该平面内运动，且满足3PAPB，则 PM的最大值为 【答案】23 【解答】以AB所在直线为x轴，AB的中点M为原点建立平面直角坐标系，令( 1,0)A ，(1,0)B. 设( , )P x y，由3PAPB列方程并整理得， 22 (2)3xy， 故P点轨迹为以(2,0)为圆心，3为半径的圆，所以 max 23PM. 11. 已知1240 xx a对一切(x ，1上恒成立，则实数a的取值范围是 【答案】 3 ( 4 ，) 【解析】1240 xx a可化为 2 12 22 4 x xx x a ， 令2 x t ，由(x ，1，得 1 2t，)，则 2 att ， 22 11 () 24 ttt 在 1 2，)上递减， 当 1 2 t 时， 2 tt取得最大值为 3 4 ，所以 3 4 a 12. 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的上顶点为B，若椭圆上离点B最远的点为椭圆的下顶点，则椭圆离心 率的取值范围为 【答案】(0， 2 2 【解析】设点( , )P x y是椭圆上的任意一点，因为 22 22 1 xy ab ，则 2 22 2 (1) y xa b ， 则 22 22222222 22 |()(1)()(1)2 ya PBxybaybybyab bb 所以关于y的二次函数的对称轴为 3 22 2 2 2(1) bb y ac b 因为椭圆上离点B最远的点为椭圆的下顶点，所以 3 2 b b c ，即 2 2 1 b c ，所以 22 2ca，解得 2 0 2 e 所以椭圆离心率的取值范围为 2 (0, 2 13. 已知, ,a b cR，且满足 222 2, 2, abc abc 则c的取值范围为 【答案】 4 0, 3 【解析】 22222 2()22222()abcabcabacbcabacbc， 所以1abacbc，即()1abc ab，又因为2abc，所以(2)1abcc，即 2 12abcc ， 故可将a，b看成是关于x的方程 22 (2)(12)0 xc xcc的两根， 所以 222 (2)4(12)340ccccc ，解得 4 0 3 c，所以c的取值范围为 4 0, 3 . 3 / 6 14. 已知函数 3 4 , 2, ( ) (1) , 02, x f xx xx 若关于x的方程( )f xkx有且仅有 1 个实根，则实数k的取值范围 是 【答案】(， 1 0 2 ，1 【答案】画出函数( )f x和ykx的图象，如图，点(2,2)A，(2,1)B. 1 2 OB k，1 OA k. 由数形结合可得直线的斜率k满足0k或者 1 1 2 k 时，函数( )f x的图象和直线ykx有 1 个交点. 所以实数k的取值范围是：(， 1 0 2 ，1 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 15. 设向量(sin , 3cos )axx (0 x，)，( 1,1)b ，(1,1)c (1) 若()abc ，求实数x的值； (2) 若 1 2 a b ，求sin() 6 x 的值 【答案】(1) 因为()(sin1)( 3cos1)0abcxx ， 所以 13 sin3cos22( sincos )2sin()1 223 xxxxx ， 又 2 0, , 333 xx ，所以 5 326 xx 7 分 (2) 因为 1131 sin3cos2(sincos ) 2222 a bxxxx ， 所以 21 sin() 34 x ，所以 22 sin()sin()cos() 6323 xxx 又0 x，且 2122 sin()0(, ) 3433 xx ， 所以 22 22115 cos()1sin ()1( ) 3344 xx ，所以 15 sin() 64 x 14 分 16. 如图，在ABC中， 4 B ，3AB ，AD为边BC上的中线，记BAD，且 2 5 cos 5 (1) 求AD的长； (2) 求sinC的值 【答案】(1) 在ABD中， 4 B ，3AB ，AD为边BC上的中线. 因为 2 5 cos 5 ，所以 22 2 55 sin1cos1() 55 ， 在ABD中，BADB ，所以 3 4 ADB， 4 / 6 所以 333 sinsin()sincoscossin 444 ADB 2 2 5253 10 () 252510 . 在ABD中，由正弦定理得 sinsinsin ABBDAD ADBB ，即 3 3 1052 1052 BDAD ， 则 5 3 510 5 32 53 103 10 10 BD ， 2 3 210 2 35 23 103 10 10 AD .7 分 (2) 由(1)知，22 2BCBD， 在ABC中，由余弦定理得 222 2cosACABBCAB BCB， 所以 222 3(2 2)232 2cos5 4 AC ，所以5AC ， 在ABC中，由正弦定理得 sinsin ABAC CB ，所以 2 3 sin3 10 2 sin 105 ABB C AC .14 分 17. 在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点坐标分别是(0,0)A，(2,2)B，(1,3)C，记ABC外接 圆为圆M (1) 求圆M的方程； (2) 在圆M上是否存在点P，使得 22 4PAPB？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由 【答案】(1) 根据题意，设ABC外接圆圆M的方程为 22 0 xyDxEyF， ABC的顶点坐标分别是(0,0)A，(2,2)B，(1,3)C，则有 0 2280 340 F DE DE ， 解得：4D ，0E ，0F ，则圆M的方程为 22 40 xyx.7 分 (2) 设P的坐标为( , )x y. 因为 22 4PAPB，所以 2222 (2)(2)4xyxy； 化简可得30 xy，即P的轨迹为直线30 xy；11 分 圆心M到直线30 xy的距离 | 23|2 2 211 d ， 则直线30 xy与圆M相交，故满足条件的点P有 2 个14 分 18. 如图，已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的离心率为 3 2 ，过左焦点(3F ，0)且斜率为k的直线交椭 圆E于A，B两点，线段AB的中点为M，直线:40l xky交椭圆E于C，D两点 (1) 求椭圆E的方程； (2) 求证：点M在直线l上； (3) 是否存在实数k，使得3 BDMACM SS ？若存在，求出k的 值若不存在，说明理由 【答案】(1) 因为左焦点(3F ，0)，则3c ， 离心率为 3 2 ，则 3 2 c a ，即有2a ，1b ， 则椭圆E的方程为 2 2 1 4 x y； 4 分 5 / 6 (2) 证明：设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 0 (M x， 0) y 设直线:(3)AB yk x， 由 22 (3) 44 yk x xy 消去y，得 2222 (14)8 31240kxk xk， 所以 2 12 2 8 3 14 k xx k ， 2 12 0 2 4 3 214 xxk x k ， 00 2 3 (3) 14 k yk x k ， 因为 2 22 4 33 40 1414 kk k kk ，所以点M在直线l上；10 分 (3) 由(2)知点A到直线CD的距离与点B到直线CD的距离相等， 因BDM的面积是ACM面积的 3 倍，所以3DMCM，又| |ODOC，于是M是OC的中点， 设点C的坐标为 3 (x， 3) y则 3 0 2 y y ，因为 22 4 44 xky xy ，解得 2 3 2 1 14 y k ， 于是 22 30 4yy，所以 2 22 13 4 () 1414 k kk ，解得 2 1 8 k ，所以 2 4 k 16 分 19. 已知函数 32 ( )21()f xxaxaR (1) 若3a ，求函数( )f x的单调区间； (2) 当0a 时，若函数( )f x在 1，1上的最大值和最小值的和为 1，求实数a的值 【答案】(1) 因为 32 ( )21f xxax， 所以由 2 ( )622 (3)0fxxaxxxa，得 1 0 x ， 2 3 a x ， 当3a 时，由( )0fx得0 x 或1x ，即函数( )f x在(,0)和(1,)上单调递增， 由( )0fx得01x，即函数( )f x在(0,1)上单调递减， 所以函数( )f x的单调递增区间为(,0)，(1,)，单调递减区间为(0,1).4 分 (2) 当0a 时，函数( )f x在(,0)，(,) 3 a 上单调递增，在(0,) 3 a 上单调递减， 此时函数( )f x有两个极值点，极大值为(0)1f，极小值为 3 ( )1 327 aa f ， 且( 1)1fa ，(1)3fa.6 分 若1 3 a ，即3a 时， max ( )(0)1f xf，此时( 1)(1)ff，所以 min ( )( 1)1f xfa ， 由( )( )1 maxmin f xf x可得1(1)1a ，即1a ，不符合题意，舍去.10 分 若01 3 a ，即03a时，比较(1)f与(0)f的大小. 1 若(1)f(0)f，即31a，也即02a时，此时 max ( )(1)3f xfa， 又因为 3 ( )10 327 aa f ，( 1)10fa ，所以 min ( )( 1)1f xfa ， 由( )( )1 maxmin f xf x可得(3)( 1)1aa ，即 1 2 a ，符合题意.13 分 2 若(1)f(0)f，即31a，即23a时，此时( )(0)1 max f xf. 又因为 3 ( )10 327 aa f ，( 1)10fa ，所以( )( 1)1 min f xfa ， 6 / 6 由( )( )1 maxmin f xf x可得1( 1)1a ，即1a ，不符合题意. 综上所述，所求实数a的值为 1 2 16 分 20. 已知常数0a ，数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a ，且(1) n n S aa n n (1) 求证：数列 n a为等差数列； (2) 若3( 1) nn nn ba ，且数列 n b是单调递增数列，求实数a的取值范围； (3) 若 1 2 a ，数列 n c满足： 2019 n n n a c a ，对于任意给定的正整数k，是否存在p， * q N，使 qkp ccc？若存在，求p，q的值（只要写出一组即可） ；若不存在，说明理由 【解答】(1) 因为(1) n n S a