江苏省海安高级中学2020届高三下学期期初模拟考试数学试卷含答案VIP

高三数学试卷第 1 页（共 3 页） 江苏省海安高级中学高三模拟考试数学试卷 数学 I 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分请把答案填写在分请把答案填写在答题纸答题纸 相应位相应位 置置 上上 1已知集合 A1，0，2，Bx|x2n1，nZ，则 AB 中元素的个数为 2已知复数 z112i，z2a2i（其中 i 为虚数单位，aR） 若 z1 z2是纯虚数，则 a 的值为 3从集合1，2，3中随机取一个元素，记为 a，从集合2，3，4中随机取一个元素，记为 b，则 ab 的概率为 4对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本 容量为 400，右图为检测结果的频率分布直方图根据 产品标准，单件产品长度在区间25，30)的为一等品， 在区间20，25)和30，35)的为二等品，其余均为三等 品则样本中三等品的件数为 5右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 6若“13x ”是“20 xxa”的充分不必要条件， 则实数 a 的取值范围是 7已知圆锥的母线长为 5，侧面积为15，则此圆锥的体积为 (结果保留) 8函数 2 ( )sinsin cos1f xxxx的单调递减区间为 9在平面直角坐标系xOy中，已知01A，34B ，两点若点 C 在AOB的平分线上，且 10OC ，则点 C 的坐标是 10设 Sn为数列an的前 n 项和若 Snnan3n(n1)（nN*） ，且 a211，则 S20的值为 11在平面四边形 ABCD 中，ABC75，BC2，则 AB 的取值范围是 12已知函数 1 2 2 121 222 2 2 2 xx f xxx x x ， ， ， ，若 1 f tf t ，则实数 t 的取值范围是 13在平面直角坐标系xOy中，点集 22 1Axy xy，40 340Bxy xyxy， ， 10 15 20 25 30 40 35 （第 4 题） 0.0125 0.0500 0.0625 0.0250 0.0375 频率 组距 长度/毫米 S0 For i From 1 To 10 Step 1 SS 1 i(i1) End For Print S （第 5 题） 高三数学试卷第 2 页（共 3 页） G O F C A B D E （第 16 题） 则点集 12121122 Qxy xxxyyyxyAxyB， ，所表示区域的面积为 14 设函数 e21 x f xxaxa 若存在唯一的整数 0 x， 使得 0 0f x， 则 a 的取值范围是 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在分请在答题纸答题纸 指定区域内指定区域内 作答，解答时应写出作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤文字说明、证明过程或演算步骤 15(本小题满分 14 分) 已知函数 ( )2cos3cossin 222 xxx f x （1）设0，且( )31f，求的值； （2）在ABC 中，AB=1，( )31f C ，且ABC 的面积为 3 2 ，求 sinA+sinB 的值 16(本小题满分 14 分) 如图， 在多面体ABCDEF中， 四边形ABCD是菱形，ACBD，相交于点 O，/EFAB， 1 2 EFAB， 平面 BCF平面 ABCD，BFCF，G 为 BC 的中点求证： （1）/OG平面 ABFE； （2）AC平面 BDE 17(本小题满分 14 分) 某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为 n Ecv T，其中v为行进时相对于水 的速度，T为行进时的时间（单位：小时） ，c为常数，n为能量次级数如果水的速 度为 4 km/h，该生物探测器在水中逆流行进 200 km （1）求T关于v的函数关系式； （2）(i) 当能量次级数为 2 时，求该探测器消耗的最少能量； (ii) 当能量次级数为 3 时，试确定v的大小，使该探测器消耗的能量最少 高三数学试卷第 3 页（共 3 页） 18(本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 2 2 22 1(0) y x ab ab 的焦距 12 FF的长为 2，经过第二象限内 一点()P mn，的直线 22 1 ny mx ab 与圆 222 xya交于A，B两点，且2OA （1）求 12 PFPF值； （2）若 12 8 3 AB FF，求mn，的值 19(本小题满分 16 分) 已知函数( ) sincos sin21f xaxxxaR， （1）写出函数( )f x的最小正周期（不必写出过程） ； （2）求函数( )f x的最大值； （3）当1a 时，若函数( )f x在区间 * 0 ()kkN，上恰有 2015 个零点，求 k 的值 20(本小题满分 16 分) 已知正整数，为常数，且1无穷数列 n a的各项均为正整数，其前 n 项和为 n S，且 * nn SanN，记数列 n a中任意不同两项的和构成的集合为 A （1）求证：数列 n a为等比数列，并求的值； （2）若2015A，求的值； （3）已知1m，求集合 1 3232 mm xxxA ，的元素个数 x y O A B F1 F2 P （第 18 题） x y O A B F1 F2 P 高三数学试卷(附加)第 1 页（共 1 页） A B D O （第 22 题） E B1 A1 C C1 D1 数学数学(附加题) 21 【选做题】 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作 答 若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 A 选修 42：矩阵与变换(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，先对曲线 C 作矩阵 A cos sin sin cos ( 02 )所对应的变 换，再将所得曲线作矩阵 B 1 0 0 k ( 0k1 )所对的变换若连续实施两次变换所对应的矩 阵为 0 1 1 2 0 ，求 k， 的值 B选修 44：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在极坐标系中，已知 A( 1， 3 )，B( 9， 3 )，线段 AB 的垂直平分线 l 与极轴交于点 C，求 l 的 极坐标方程及ABC 的面积 C选修 45：不等式选讲(本小题满分 10 分) 已知实数 a，b 满足| ab |2，求证：| a22ab22b |4(|a|2) 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分请在请在答卷纸指定区域内答卷纸指定区域内 作答解作答解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22在正方体 1111 ABCDABC D中，O 是 AC 的中点，E 是线段 D1O 上一点，且 D1EEO. （1）若 =1，求异面直线 DE 与 CD1所成角的余弦值； （2）若平面 CDE平面 CD1O，求 的值. 23一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得 1 分，反面向上得 2 分. （1）设抛掷 5 次的得分为，求的分布列和数学期望 E ； （2）求恰好得到 n * ()nN分的概率 高三数学试卷第 1 页（共 4 页） 江苏省海安高级中学高三模拟考试数学试卷 数学 I 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分请把答案填写在分请把答案填写在答题纸答题纸 相应位相应位 置置 上上 1答案：1 2答案：4 3答案：8 9 4答案：100 5答案：10 11 6答案： 4 ， 7答案：12 8答案： 37 Z 88 kkk， 9答案：13， 10答案：1240 11答案： 62 62， 12答案： 2 01 ， 13答案：18 14答案： 3 2 35e 13e 2e2 ， 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在分请在答题纸答题纸 指定区域内指定区域内 作答，解答时应写出作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤文字说明、证明过程或演算步骤 15解： （1） 2 ( )2 3cos2sincos 222 xxx f x =3(1cos )sinxx= 2cos3 6 x 3 分 由 2cos331 6 ，得 1 cos 62 ， 5 分 于是 2 () 63 kkZ，因为0，所以 6 7 分 （2）因为(0)C ，由（1）知 6 C 9 分 因为ABC 的面积为 3 2 ，所以 31 sin 226 ab，于是2 3ab . 在ABC 中，设内角 A、B 的对边分别是 a，b. 由余弦定理得 2222 12cos6 6 ababab，所以 22 7ab 由可得 2 3 a b ， 或 3 2. a b ， 于是23ab 12 分 由正弦定理得 sinsinsin1 12 ABC ab ， 所以 31 sinsin1 22 ABab 14 分 16证明： （1）因为四边形 ABC D 为菱形，对角线 AC，BD 交于点 O， 所以 O 为 AC 中点 2 分 因为 G 为 BC 中点，所以 OG /AB，OG 1 2 AB 4 分 又因为 AB平面 ABFE，OG平面 ABFE， 高三数学试卷第 2 页（共 4 页） 所以 OG/平面 ABFE 6 分 （2）连接 EO，FG因为 BF=CF，G 为 BC 中点，所以 FGBC， 因为平面 BCF平面 ABC D，平面 BCF平面 ABC D=BC， FG平面 BCF，所以 FG平面 ABC D 因为 AC平面 ABC D，所以 FGAC 10 分 因为 OG/AB，EF/AB，OG 1 2 AB， 1 2 EFAB， 所以 OG/EF，OG=EF，所以四边形 OGFE 为平行四边形， 所以 OE/FG，所以 OEAC 12 分 又因为四边形 ABC D 为菱形，所以 ACBD， 因为 OEBD=O，OE、BD平面 BDE， 所以 AC平面 BDE 14 分 17解： （1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为 200 T ， 又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小 4 km/h，即4v， 所以 200 T 4v，即 200 4 T v ，4v ； 4 分 （2）() 当能量次级数为 2 时，由（1）知 2 200 4 v Ec v ，4v ， 2 (4)4 200 4 v c v 16 200(4)8 4 cv v 16 2002 (4)8 4 cv v 3200c=（当且仅当 16 4 4 v v 即8v km/h 时，取等号） 8 分 () 当能量次级数为 3 时，由（1）知 3 200 4 v Ec v ，4v ， 所以 2 2 2(6) 2000 (4) v v Ec v 得6v ， 当6v 时，0E；当6v 时，0E， 所以当6v 时， min E21600c= 12 分 答：() 该探测器消耗的最少能量为3200c； () 6v km/h 时，该探测器消耗的能量最少 14 分 18解： （1）由2OA，知2a ， 又1c ，所以 222 1bac， 高三数学试卷第 3 页（共 4 页） 所以椭圆的方程为 2 2 1 2 x y. 3 分 因为()P mn，在直线1 2 mx ny上，所以 2 2 1 2 m n， 从而点()P mn，在椭圆 2 2 1 2 x y上， 5 分 根据椭圆定义知， 12 2 2PFPF. 7 分 （2）设 11 ()A xy， 22 ()B xy， 由 12 8 3 AB FF得， 21 4 3 xx， 9 分 由 22 2 2 1 2 2 1 2 mx ny xy m n ， ，得， 222 44410mxmxm， 12 分 解得 1 2(1) 2 m x m ， 2 2(1) 2 m x m ， 14 分 从而 2(1) 2 m m 2(1) 2 m m 4 3 ， 解得1m， 2 2 n . 16 分 19解： （1）T； 2 分 （2）只需考虑( )f x在0，上的最大值即可. 当0 2 x ，时，令sincostxx，则12t ， 2 ( )( )12f xu ttatt ，； 4 分 当( 2 x ，时，令sincostxx，则12t ， 2 ( )( )2,1, 2f xv ttatt； 6 分 由可知， max ( )max ( )( )f xu tv t，12t ，. 又 2 ( )( )220v tu tt， 所以 maxmax ( )( )max (1), ( 2)max1, 2 f xv tvvaa. 8 分 所以当21a时，的最大值为1a ；当21a 时，最大值为2a. 10 分 高三数学试卷第 4 页（共 4 页） （3）因为1a ，探究( )f x在(0)，上的零点个数. 当(0, 2 x 时，令 2 ( )( )0f xu ttt ，解得 t=0 或 1. 则2sin()0 4 tx 在(0 2 ，上无解， 2sin()1 4 tx 在(0 2 ， 上仅有一解 2 x ， 12 分 当(,) 2 x 时，令 2 ( )( )20f xv ttt ，解得 t=2 或 1. 则2sin()2 4 tx 在() 2 ，上无解，2sin()1 4 tx 在() 2 ，上也无解. 又因为 x时，( )0f 14 分 综上，( )f x在(0，上有且仅有 2 个零点，分别为 2 x 与x. 又因为( )f x是以为周期的函数，所以( )f x在(0)k，上恰有21n个零点，由题意得212015k ， 则1008k 16 分 20 （1）证明：当2n时， nn Sa， 11nn Sa ， 所以 1nnn aaa ，因为1，0 n a ，所以 1 1 n n a a ， 所以数列 n a是以 1 为公比的等比数列； 2 分 又因为 n a为无穷数列且各项为正整数，所以 1 1 11 为正整数， 所以正整数2； 4 分 （2）解析：由（1）知2 nn Sa，则 1 a，故 1 2n n a ， 所以 11 221N* ij Aijij ， 因为2015A，所以 1 2015=2125 13 31 ij i ， 6 分 因为0ji ，所以12 j i 为不小于 3 的奇数， 而1213 31 5 31 13 31 5 13 31 j i ， ，均不满足，所以125 5 13 j i ，； 8 分 当125 j i 时，2ji ， 1 2403 i ，则1i ，3j ，403满足； 当1265 j i 时，6ji ， 1 231 i ，则1i ，7j ，31满足； 综上：31或 403； 10 分 （注：少一解扣 1 分） 高三数学试卷第 5 页（共 4 页） （3）解：因为 1 3232 nn n BxxxA ，即 111 322232 nijn ， 集合中元素等价于满足 1 3 2223 2 nijn 的不同解N*ijijij， ， ， 若2jn，则 31 22223 2 ijinn ，矛盾； 若2jn，则 11 2222223 2 ijinnnn ，矛盾； 所以2jn 14 分 又因为 12 223 2120 nnn -， 所以 12222121 3 2222222223 2 nnnnnnnn ， 即12in ， ， ，满足，故共有 n 个不同的 n xB 16 分 数学数学(附加题) 21【选做题】【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共 20 分 B选修选修 42：矩阵与变换矩阵与变换 解：依题意，BA 1 0 0 k cos sin sin cos 0 1 1 2 0 ， 5 分 从而 cos0 sin1， ksin1 2， kcos0 因为 02，所以 2 ， k1 2 10 分 C选修选修 44：坐标系与参数方程坐标系与参数方程 解：易得线段 AB 的中点坐标为(5， 3)， 2 分 设点 P(，)为直线 l 上任意一点， 在直角三角形 OMP 中，cos( 3)5， 所以，l 的极坐标方程为 cos( 3)5， 6 分 令 0，得 10，即 C(10，0) 8 分 高三数学试卷(附加)第 1 页（共 2 页） 所以，ABC 的面积为：1 2 (91) 10 sin 320 3 10 分 22解：(1)不妨设正方体的棱长为 1，以 1 ,DA DCDD 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz 则 A(1，0，0)， 11 0 22 O， ，0 1 0C，D1(0，0，1)， E 111 442 ， ， 于是 111 442 DE ， ， 1 01 1CD ， ，. 由 cos 1 DE CD， 1 1 | | DE CD DECD 3 6 . 所以异面直线