可靠度统计分析法讲义

致 远 管 理 学 院 工 业 工 程 与 管 理 系课 程：可 靠 度 工 程授 课 者：林 东 成 助理教授时间：2003/2/* 2003/6/*参 考 资 料1. Kapur, K. C. and Lamberson, L. R. , Reliability in Engineering Design , John Wiley & Sons, Inc., 1977.2. 柯辉耀 编着，可靠度保证，中华民国质量学会发行。3. 柯辉耀 编着，预防性失效分析-FMECA & FTA之之应用，中华民国质量学会发行。4. Keki R. Bhote and Adi K. Bhote, World Class Quality, 2nd Edition, American Management Association.5. 潘淅楠 着，预防性质量保证，华泰书局。6. Integrated Logistics Support Handbook.7. 李登梅，赵浡霖 合着，装备可靠度工程，五洲出版社。8. 关季明 编着，维护度工程与系统可用度，中华民国质量学会发行。授 课 目 录第1章 基本可靠度原理第2章 可靠度统计分析第3章 可靠度目标订定、配当与保固第4章 系统可靠度模式第5章 可靠度设计分析第6章 可靠度试验之规划与执行第7章 以可靠度为中心之维护作业规划第8章 符合国际标准质量系统需求之可靠度方案管理一位品管工程师须具备之条件：1. A Good Coordinator2. A Good Teacher3. A Good Engineer with Computer Knowledge4. A Good Statistical Data Analysis第二章 可靠度统计分析2.1 前言BS 5760可靠度概述指南谓：在达成可靠度之实务中，有80%是属于管理性的工作，只有20%须运用统分析技术。统计分析技术可协助管理者作决策。产品可靠度现况可由各种统计推定之-估计(Estimation)点估计与区间估计与检定(Test)，即对产品失效时间分布的参数推定之。本章目的介绍基本统计推定分析技术、数据处理、机率分布模式选定、参数估计、以及产品可靠度估计。2.2 常用的寿命分布、可靠度函数与失效率函数每一种可靠度函数R(t)均有其特定的相关失效时间分布f(t)，因此每一可靠度函数只有一个且唯一的失效率函数l(t)，反之亦然。2.2.1 二项式分布(离散随机变数)有些只使用一次的产品单发功能装置(One-Shot Device)，如频道切换、发动机点火、弹头引爆、飞弹命中目标与汽车安全气囊等，其功能或性能值的属性为计数型，使用结果只有好或不好，而无连续数据。一般均以二项分布(Binomial)表示，其机率密度函数为，f(r) = C(n, r) pr(1-p)n-rr= 0, 1, 2, ,n (2.1)(2.1)式代表在n次试验中，r (= n-y)次失效(y代表成功次数)。此机率密度函数有两项假设(1) 每一产品之失效机率均同为p。(2) 所有样品之测试结果均互为独立事件。由此可预估每一次测试之失效机率为，Er/n = p(2.2)进行n次试验发生失效机率之期望值(m)与变异数(s2)m Er= np(2.3a)s2 Vr= np(1-p)(2.3b) 2.2.2 卜氏分布(离散随机变数)由于可靠度分析主要是每单位时间内，有限的失效次数，卜氏分布亦相当适用。另此分布函数为二项分布之机率密度函数(np = m 常数, p 0, n )之极限推导为，f(r) = mre-m /r!r= 0, 1, 2, (2.4)其机率期望值(m)与变异数(s2)m Er= m(2.5a)s2 Vr= m(2.5b)另卜氏分布有其程序(Poisson Process)，并基本假设则包括，(1) 每一时段dt内只发生一次失效。(2) 每一时段dt内所发生的失效次数与以前所发生之失效无关。(3) 在任一时段dt内，发生一次失效的机率与dt成正比，其比例常数为 l (一次失效/dt)。2.2.3 指数分布(连续随机变量)倘随机变量t符合指数分布，其机率密度函数为f(t) = e-t/q/q , t 0(2.6)此处t所代表之数值为失效发生的时间间隔，或里程等。可靠度函数之形式，则为R(t) = e-t/q , t 0(2.7)此分布有一参数q，且q 0。指数分布与卜氏分布有密切关系，假设在时间t以前发生r次失效之机率为f(r) = mre-m /r! r= 0, 1, 2, (2.4)Pr(r) = (lt)re-(lt)/r!= (lt)rexp(-lt)/r! r = 0, 1, 2, (2.8)其中时间t为确定值(Determinate)，而失效数r为随机变数。依可靠度定义，在时间t以前不发生失效之机率，亦即，R(t) = Pr (r= 0) = exp(-lt)此时，失效数(r = 0)为确定数，而其失效时间则为随机变量。另dR(t) /dt = -f(t) f(t) = -l exp(-lt)若令 l= 1/q，则上式与(2.6)式指数分布之失效时间机率密度函数完全相同。故以指数分布为产品失效时间机率密度函数时，其原始假设系产品发生失效之事件须遵循卜氏程序。因此，倘在一时间内失效发生之次数为卜氏分布，则失效的间隔时间为指数分布，反之亦然。由(2.6)式知，产品指数分布之失效函数、期望值(m)与变异数(s2)为f(t) = e-t/q/qR(t)= !t f (x)dx= !t e-x/q/qdx= e-x/q| t =e-t/ql= f(t)/R(t)= e-t/q/q/ e-t/q= 1/q(2.9a)m Et= !0 tf (t)dt= 1/l= q(2.9b)s2 Vt= 1/l2 = q2(2.9c)其中q即产品之平均失效间隔时间MTBF。对于使用零组件大多是标准化或已发展成熟之电子产品而言，均以此值为其可靠度指标。产品在MTBF时间范围内可靠度高，但 R(t = q) = 0.368，即产品寿命如为指数分布，则能运作达到MTBF之机会并不大。另卜氏程序(Poisson Process)之基本假设第2项所述- 每一时段dt内所发生的失效次数与以前所发生之失效无关，亦称为卜氏分布或指数分布的”无记忆(No Memory)”特征。换言之，假设某一产品已使用t时间，尚未失效，欲知该产品还能再使用继续使用a时间之机率(系条件机率)，Pr(x t+a |x t) = e-(t+a)/q/e-t/q= e-a/q此机率与使用过但未失效之使用时间t无关，此即表示此产品并未因使用的时间稍长，而有磨耗的影响。注意”无记忆”产品须机率密度函数属于常数失效率(l= Constant)之型式。但实务上此现象不多见。假设整个系统的可靠度为Rs(t)，而第i个分系统的可靠度为Ri(t)，则对于由m个分统串联组成之系统，则Rs(t)为Rs(t) = Pi=1m Ri(t)(2.10)假设而各个分系统的失效率函数型式为，ls(t) = li(t) + ci tk ，i = 1, 2, m, li，ci，k= Const.R(t) = e -l(t)dt(1.21)Ri(t) = exp-lit + ci tk+1/(k+1) tk)(2.11)Rs(t) = exp-t i=1m li + tk+1/(k+1) i=1m ci)(2.12)当m增加，假设i=1m li 、且i=1m ci /(k+1)i=1m li为有限值，则limm Rs(t) = exp(-i=1m li t) (2.13, 14, 15)此表示系统的寿命分布趋近于指数。2.2.4 常态分布(连续随机变量)倘随机变量t符合常态分布，其机率密度函数f(t)与累积分布函数F(t)为f(t) =1/(2p)1/2sexp-(t-m)2/2s2 , - t (2.16)F(t) =!-tf (x)dx=!-t1/(2p)1/2sexp-(x-m)2/2s2 dx , (2.17) 其中m代表平均值，即位置参数(Location Parameter)，s代表标准差，即尺度(或离散)参数(Scale Parameter)。其期望值、变异数、可靠度函数R(t)、与失效率函数l(t)为，Et= m；Vt= s2 (2.18a, b)R(t)=!tf(x)dx=!t1/(2p)1/2sexp-(x-m)2/2s2dx(2.19)l=f(t)/R(t)=exp-(t-m)2/2s2/!texp-(x-m)2/2s2dx(2.20)依中央极限定理(Central Limit Theorem)，变数个数愈多时，多个随机变数之和的机率分布愈接近常态分布。因此，常态分布适用于多个随机因素之和的物理量。此外，常态分布的失效率函数属于随操作时间增加而递增(Increasing Failure Rate; IFR)的形式，很适合用于描述磨耗型的失效。常态分布之标准化转换，z(t) = (t-m)/s(2.21)则标准常态分布之机率密度函数、累积分布函数、可靠度函数与失效率函数为，f(z) =1/(2p)1/2exp-z2/2= f(z) , - t 0，q 0，d 0。b为形状参数(Shape Parameter)或韦氏斜率(Slope)，q为尺度参数(Scale Parameter)或特征寿命(Characteristic Life)，d为位置参数(Location Parameter)或最低寿命(Minimum Life)。倘最低寿命为零( d = 0 )即成为两个参数的韦氏分布，则F(t;q,b)= 1- exp(-t/q)b , t 0 (2.26)则其机率密度函数、可靠度函数与失效率函数为，f(t;q, b)= (b/q)(t/q)b-1 exp-(t/q)b, t 0(2.27)R(t)= exp-(t/q)b, t 0(2.28)l(t) = (b/q)(t/q)b-1, t 0(2.29)其期望值与变异数为，Et= m= qG(1+1/b)(2.30-33a)Vt= s2= q2 G(1+2/b)- G2(1+1/b)(2.33b) 当形状参数b 1时，l(t)随时间而渐增； 当b值3.6 3.8时，韦氏分布特征将近似于常态分布。当t = q 代入(2.26)式(F(t;q,b)= 1- exp(-t/q)b , t 0) F(t = q)= 1- exp(-q/q)b = 1- exp(-1) = 0.632 故不论任何韦氏分布，在t = q以前，失效的机率小于0.632，亦即 q 可将任何 b 值的韦氏分布为两部份，在t = q以前的机率0.632，在t = q以后的机率0.368。此即 q 被称为特征寿命(Characteristic Life)的主要原因。2.3 数据分析基本上，统计方法为处理由量测或试验所得数据所描述现象的科学方法，可靠度统计分析亦是如此，其分析步骤，(1) 确认产品形态(构型)(Configuration)，界定合适之试件(确定样本空间)；(2) 规划并执行可靠度试验与抽样；(3) 数据分析(包括原始数据分析、适合度检定、失效时间分布之参数估计；(4) 研究某种产品之可靠度特征，并对该产品之可靠度作推论。2.3.1 母体与样本 所谓母体(Population)系指所有可能观察得到之同类事件的全体。一个母体必有其特征，而其特征则是由一个(或一组)参数(Parameter)来描述。现实中，不易观察母体之真实特征，需采抽样(Sampling)来描述母体之特征值。 以样本代表母体时，须是母体的每一个份子均具有相同的机会被抽中。一般均假设样本为随机样本，意指每一个样本值彼此互为独立，从母体中抽样时，该母体的分布情形均相同。 在可靠度工程方面，须在研发阶段(为量产之前)，即对研制件进行可靠度水平的估计或检定，其所依据的数据即是针对原型试制件或先导生产件估计而来。2.3.2 原始数据分析进行失效数据分析时应注意其结果在工程及统计上的显著性。2.3.2.1 对早期失效是否不正常的检验方法在产品寿命试验中，极短的失效时间可能是由于制造工艺不良，或由次等零组件(料材)所引起，此缺点不足代表产品质量。故在分析测试数据之前，宜将此类数据予剔除。设(t1 ,t2 ,tr )为r个独立、且属相同”指数分布”之随机变数。则可建立一符合F分布之随机变量为，F2, 2r-2 = (r-1)t1 / i=2r ti(2.34)上式t1即代表所发生之最短失效时间。倘失效时间(t1)显著过小，则此比值亦显然很小。换言之，若F1-a, 2, 2r-2 (r-1)t1 / i=2r ti(2.35)则表示t1为一不正常的早夭失效。亦即Fa, 2r-2, 2 i=2r ti /(r-1)t1(2.36)2.3.2.2 对不正常过长失效时间的检定依上述原则，亦可检定不正常过长失效时间。以t1为不正常的过长失效时间，则F0.05, 2, 2r-2 (2.40)则对虚无假设(Null Hypothesis)应产生怀疑，亦即应否定原假设分布之假设；反之，则可接收虚无假设。以卡方分布做适合度检定对失效分布并无任何预设假设，亦即可对任何失效分布进行假设检定。但为避免期望数值过小对卡方分布之影响，常将期望数值过小者之数个区间合并计算，一般均要求区间内理论上之失效期望数值不可小于5。2.3.3.2 Kolmogorov-Smirnov检定(MiL-HDBK 338A)K-S检定较卡方检定更为简便，且由于此法系以累积等级数据(Cumulative Ranked Data)为基础，故可与机率绘图法配合使用。此法之程序如下，(1) 将失效资料制表整理。计算其| Oi - Ei |值，其中Oi分别代表第i个累积等级值，Ei则为假设分布之期望累积位级值；(2) 确认最大之| Oi - Ei |值；(3) 将此最大值与K-S值比较；(4) 若最大值小于K-S值，则作接受的决策，反之则否。2.4 参数估计决定描述数据的机率模式后，续之即估计该分布之参数值。然即使随机变量的机率分布及其参数值已知，仍无法准确的预测某特定事件一定或不一定发生，而只能预测此事件发生之机率为若干。此不确定性发生的原因主要是因为自然现象有固有的随机性(Inherent Randomness)。但不确定性的其它因素则可能包括分布模式选择的不适切，或参数推定不准确所致。虽然参数推定值的准确性可因样本数的增加而提高。但固有的变异性确可能因为样本数增加而益形显著。一般而言，参数估计有：点估计(Point Estimation)与区间估计(Interval Estimation)。2.4.1 点估计(Point Estimation) 假设随机变量X的母体机率密度函数f(x|q)，其中q为未知的参数。为估计此未知的参数，则由母体中抽取出数样本，得到观测值为x1, x2,xn。 利用点估计方法算出一估计式(Estimator)，以表示。再将观测值为x1, x2,xn代入估计式中得到一数值，此数值称之为参数q的估计值(Estimate)。 常用方法：(1) 最大概似法，(2) 动差法。 最大概似法(Maximum Likelihood Method) 由Fisher (1912)提出。假设随机变量X的母体机率密度函数f(x|q)，其中q为未知的参数，为估计此未知的参数，则由母体中抽取出数样本，得到观测值为x1, x2,xn。则概似函数定义为L(x1, x2,xn；q) = f(x1,q)f(x2,q)f(xn,q)使概似函数L(x1, x2,xn；q)值为最大，则能求出估计值，称此为最大概似估计式(MLE, Maximum Likelihood Method)。范例、某公司新推出光盘刻录机，其使用寿命服从指数分配f(x) = le-lx。为估计参数 l 以了解平均使用寿命，随机抽取出11台样本做测试，测得其寿命结果如下：8，10，13，14，19，21，27，28，34，41，52 (百小时)。试以最大概似法估计l值。SOL：L(x1, x2,xn；l) = f(x1, l)f(x2, l)f(xn, l)ln L(x1, x2,xn；l)= n ln l-d (ln L)/d l = n / l -= 0Estimator(估计式) =11/(8+10+13+14+19+21+27+28+34+41+52)= 11/267范例、假设随机变量XN(m, s2)，从其中随机抽取出一组样本x1, x2,xn，试以最大概似法估计m, s2值。SOL：L(x1, x2,xn；m, s2) = f(x1, m, s2)f(x2, m, s2)f(xn, m, s2)ln L(x1, x2,xn；m, s2) = ln = -(n/2) ln (2p) - (n/2) ln (s2)- (xi-m)2)/ 2s2动差法(Moment Method) 由Pearson (1894)提出。假设随机变量X的k次动差为mk= EXk，则样本动差定义为即为对k次动差mk点估计。对母体平均值m、变异数s2做点估计一次动差( k=1) 二次动差(k=2) 对常态分配m、s2而言，用动差法估计与用最大概似法估计的结果是一样的。但对其他分配，其结果有异。范例、假设随机变量XU(0, q)代表致远校门口学生等候出租车时间所满足之分配，兹从学生等候出租车时间，随机抽取出5样本：0.5、1、2、3.5、8 (分钟)，试以动差法估计q值。SOL：均匀分配以XU(a, b)表示，其期望值与变异数为：EX=(a+b)/2VX = (b-a)2/12XU(0, q) EX = q/2 m = q/2 q = 2m 2(0.5+1+2+3.5+8)/5 = 6 (动差法)若用最大概似法估计U(0, q)，易得q之最大概似法估计式xi = 0.5、1、2、3.5、8= 8如何评量点估计的优良性同一未知参数的估计式有很多种，何者最佳? 统计学定义三个准则：(1) 不偏 (2) 有效性(3) 最小变异数。定义：不偏估计式(Unbiased Estimator)设未知参数q的估计式为，可视为一随机变数。因此，随机变量会服从某一机率分配，当此分配的期望值E正好等于未知参数时，即E= q，称为q的不偏估计式。定义：有效性(Efficiency)设兹有二个不偏估计量，即为。若VV，则称比有效率。定义：最小变异不偏估计式(Minimum-Variance Unbiased )若一不偏估计式，且其变异数比其它不偏估计式的变异数小，则称此不偏估计式为最小变异不偏估计式，亦称最佳估计式(Best Estimator)。区间估计(Interval Estimation)用点估计方法找出q的估计式为时，通常的样本估计值不一定会准确的落于q上，而是略大于或小于q，即的样本估计值会落于q附近区间内。将估计结果以区间的形式表示之-区间估计，即此区间包含了真正的参数q。以机率表示：P(L q U) = 1-a其中1-a 为信赖水平(Confidence Level)。a 为显著水平(Significance Level)。(L, U)为信赖区间(Confidence Interval)，即对参数q所做估计的1-a 信赖水平的信赖区间。L为信赖区间下限，U为信赖区间上限。以样本平均值的95%信赖区间为例，即在100次抽样中有95次包含母体平均值，亦就是表示会有5次没有包含母体平均值。a = 5%，P(L q U) = 1-a = 1- 5% = 95%。令信赖区间长度 = L - U，在1- a 信赖水平下，区间长度愈短，表示此区间估计的精确度愈高。亦即对未知的母体参数q的可能变动范围较小，其掌握度较高。2.5 可靠度估计2.5.1 二项式分布在可靠度分析的应用中，若测试数据属二项分布时，产品可靠度点估计值为， = y/n(2.69)其中n为测试样本数，y为成功(或正常)数。此外，其100 g%信赖水平之可靠度下限估计值为， = 1/1+(n-y+1)/yF1-g, 2(n-y+1), 2y(2.70)当试验结束失效数为零(即成功数等于试验样本数)时，依(2.69)式，其可靠度点估计值为1.0。但任一产品均非十全十美，故建议采用， = n/(n+1)(2.69) = (1- g)1/(n+1)(2.70)2.5.2 指数分布指数分布之 q 为失效率 l 之倒数。当产品之可靠度变量为寿命时，产品在工作时间(t)之可靠度点估计值即为， =(2.73)其中点估值()可由总试验时间(累积操作时间)T，及所发生之失效数(r)计算为， = T/r(2.74)此时，其100 g%信赖水平之双边规格信赖区间(qL, qU)为，(qL, qU) = (2T/c2a/2, 2r , 2T/c21-a/2, 2r)(2.75)其中g = 1-a。(2.75)式系假设数据属完整型数据(Complete Data)或属于失效检剔型(Failure Censored; Type II Censored)数据时之表达式。若属于时间检剔型(Time Censored; Type I Censored)数据，则其100 g%信赖水平之双边规格信赖区间(qL, qU)为，(qL, qU) = (2T/c2a/2, 2(r+1) , 2T/c21-a/2, 2r)(2.76)时间试件123456完整数据(Complete Data)n = 6时间试件123456单阶时间检剔数据(Single Type I Censored Data)tcn = 6，r =3时间试件123456单阶失效剔除数据(Single Type II Censored Data)trn = 6，r = 4上图所示，各类不同的试验型态之总试验时间(T)之计算为，(a) 完整数据T = i=1n ti (2.77a)(b) 时间检剔数据T = i=1r ti +(n-r)tc(2.77b)(c) 完整数据T = i=1r ti +(n-r)tr(2.77c)其中n为试验样本数，n为失效数，ti为