高等数学矩阵的运算ppt课件

.,2.2矩阵的运算,一、矩阵的加法,定义:设两个同型的mn矩阵A=(aij)与B=(bij),那末矩阵A与B的和定义为(aij+bij),记作A+B,即,例如:,.,说明:只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.,矩阵加法的运算规律,(1)交换律:A+B=B+A.(2)结合律:(A+B)+C=A+(B+C).,(3),称为矩阵A的负矩阵.,(4)A+(A)=O,AB=A+(B).,.,二、数与矩阵相乘,定义:数与矩阵A=(aij)的乘积定义为(aij),记作A或A,简称为数乘.即,设A,B为同型的mn矩阵,为数:(1)()A=(A).(2)(+)A=A+A.(3)(A+B)=A+B.,数乘矩阵的运算规律,矩阵的加法与数乘运算,统称为矩阵的线性运算.,.,定义:设A=(aij)是一个ms矩阵,B=(bij)是一个sn矩阵,定义矩阵A与矩阵B的乘积C=(cij)是一个mn矩阵,其中,三、矩阵与矩阵相乘,(i=1,2,m;j=1,2,n).并把此乘积记作C=AB.,例1:,例2:,.,例3:求AB,其中,注意:只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘.,.,矩阵乘法的运算规律,(1)结合律:(AB)C=A(BC);(2)分配律:A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA;(3)(AB)=(A)B=A(B),其中为数;(4)AmnEn=EmAmn=A;,并且满足幂运算律:AkAm=Ak+m,(Am)k=Amk,其中k,m为正整数.,注意:矩阵乘法不满足交换律,即:ABAB,(5)若A是n阶方阵,则Ak为A的k次幂,即,例如:设,则,(AB)kAkBk,因此,.,故,ABBA.,例4:计算下列矩阵乘积:,(1),(2),解(1):,解(2):,a11x1+a21x2+a31x3,a12x1+a22x2+a32x3,a13x1+a23x2+a33x3,.,当矩阵为对称矩阵时,结果为,=(a11x1+a21x2+a31x3)x1+(a12x1+a22x2+a32x3)x2+(a13x1+a23x2+a33x3)x3,解:,例5:,.,由此归纳出,用数学归纳法证明.当k=2时,显然成立.,假设,当k=n时结论成立,对k=n+1时,.,所以对于任意的k都有:,.,四、矩阵的其它运算,定义:把矩阵A的行列互换,所得到的新矩阵,叫做矩阵A的转置矩阵,记作AT.,例如:,、转置矩阵,(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(A)T=AT;(4)(AB)T=BTAT;,转置矩阵的运算性质,.,解法1:因为,所以,解法2:,(AB)T=BTAT,.,由矩阵转置和对称矩阵的定义可得:,方阵A为对称矩阵的充分必要条件是:A=AT.方阵A为反对称矩阵的充分必要条件是:A=AT.,证明:因为,例7:设列矩阵X=(x1x2xn)T,满足XTX=1,E为n阶单位矩阵,H=E2XXT,证明:H为对称矩阵,且HHT=E.,HT=(E2XXT)T=ET2(XXT)T=E2XXT=H.,所以,H为对称矩阵.,HHT=H2=(E2XXT)2,=E2E(2XXT)(2XXT)E+(2XXT)(2XXT)=E4XXT+4(XXT)(XXT)=E4XXT+4X(XTX)XT=E4XXT+4XXT=E,.,例7:证明任一n阶方阵A都可表示成对称阵与反对称阵之和.,证明:设C=A+AT,所以,C为对称矩阵.,从而,命题得证.,则CT=(A+AT)T=AT+A=C,设B=AAT,则BT=(AAT)T=ATA=B,所以,B为反对称矩阵.,2、方阵的行列式,定义:由n阶方阵A的元素所构成的行列式叫做方阵A的行列式,记作|A|或detA.,例如:,则,.,方阵行列式的运算性质,(1)|AT|=|A|;(2)|A|=n|A|;(3)|AB|=|A|B|=|B|A|=|BA|.,定义:行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵,3、伴随矩阵,称为矩阵A的伴随矩阵.,性质:AA*=A*A=|A|E.,证明:设A=(aij),AA*=(bij).,.,则,故,同理可得,AA*=(|A|ij)=|A|(ij)=|A|E.,=(|A|ij)=|A|(ij)=|A|E.,A*A=,4、共轭矩阵,定义:当A=(aij)为复矩阵时,用表示aij的共轭复数,记,称为A的共轭矩阵.,运算性质,设A,B为复矩阵,为复数,且运算都是可行的,则:,.,矩阵运算,加法,数与矩阵相乘,矩阵与矩阵相乘,转置矩阵,对称阵与伴随矩阵,方阵的行列式,共轭矩阵,五、小结,(1)只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.(2)只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.(3)矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.,注意,.,思