高等数学-第9章 - (方向导数与梯度)ppt课件

.,高等数学,.,课程相关,教材及相关辅导用书高等数学第一版，肖筱南主编,林建华等编著,北京大学出版社2010.8.高等数学精品课程下册第一版，林建华等编著,厦门大学出版社,2006.7.高等数学第七版,同济大学数学教研室主编，高等教育出版社,2014.7.高等数学学习辅导与习题选解（同济第七版上下合订本）同济大学应用数学系编高等教育出版社,2014.8.,.,第九章多元函数微分学9.1多元函数的基本概念9.2偏导数9.3全微分9.4多元复合函数的求导法则9.5隐函数的求导公式9.6多元函数微分学的几何应用9.7方向导数与梯度9.8多元函数的极值9.9综合例题,4,.,1.空间曲线的切线与法平面,切线方程,法平面方程,参数式情况.,空间光滑曲线,切向量,内容回顾,5,.,空间光滑曲面,曲面在点,法线方程,1)隐式情况：,的法向量,切平面方程,2.曲面的切平面与法线,6,.,空间光滑曲面,切平面方程,法线方程,2)显式情况：,法线的方向余弦,法向量,.,第九章,第七节,一、方向导数,二、梯度,方向导数与梯度,三、数量场和向量场,.,第七节方向导数与梯度,一.方向导数偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率,但许多物理现象告诉我们,除了考虑函数沿坐标轴方向的变化率外,还应该考虑其它方向的变化率.现在我们研究函数沿任一指定方向的变化率问题.,.,一、方向导数的定义,讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题,.,当沿着趋于时，,是否存在？,.,记为,方向导数的几何意义,.,上式极限存在就意味,曲线C在点P0有唯一的切线,它关于方向的斜率,就是方向导数,.,证明,由于函数可微，则增量可表示为,两边同除以,得到,.,故有方向导数,.,解,.,解,由方向导数的计算公式知,.,故,.,推广可得三元函数方向导数的定义,.,解,令,故,方向余弦为,.,故,.,二、梯度,其中,称为向量微分算子或Nabla算子.,.,因此梯度向量是使函数在一点的方向导数达到最大值的方向,.,.,.,在几何上表示一个曲面,曲面被平面所截得,所得曲线在xoy面上投影如图2,梯度的几何解释,.,所得曲线在xoy面上投影为平面曲线,称为函数的等值线,方程两边微分：,或者说：梯度的方向就是等值线在这点的法线方向。,.,等值线,梯度为等值线上的法向量,.,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.,梯度的概念可以推广到三元函数,.,三元函数梯度的几何解释：,三元函数的等值面：,由切平面的讨论，知梯度,是等值面在点(x,y,z)处的法向量。,故梯度向量,在任何点都垂直于函数的等值面，并且从函数值较小的等值面指向函数值较大的等值面。,.,梯度的运算律类似于导数的运算律,其中C为常数。,.,解,由梯度计算公式得,故,.,例5.设函数,解:(1)点P处切平面的法向量为,在点P(1,1,1)处的切平面方程.,故所求切平面方程为,即,(2)求函数f在点P(1,1,1)沿增加最快方向的方向导数.,求等值面,(2)函数f在点P处增加最快的方向为,沿此方向的方向导数为,注意:对三元函数,与垂直的方向有无穷多,.,向量场,VectorFields,.,.,.,.,1、方向导数的概念,（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）,三、小结,三元函数,在点,沿方向l(方向角,的方向导数为,二元函数,在点,的方向导数为,沿方向l(方向角为,.,2、梯度的概念,（注意梯度是一个向量）,三元函数,在点,处的梯度为,二元函数,在点,处的梯度为,方向:f变化率最大的方向,模:f的最大变化率之值,梯度的特点,.,3、方向导数与梯