《泛函分析》课程教学大纲.docx

泛函分析教学大纲首先，课程的基本信息课程代码：课程名称：功能分析英文名称：功能分析课程类别：选修课上课时间：54小时学分：3适用对象：名数学本科生评估方法：调查预备课程：数学分析，高等代数，实变函数二。课程介绍泛函分析是现代教学中相对较新的数学分支。它是高师数学专业的一门重要专业课。它是在学生掌握数学分析和高等代数理论知识的基础上，在实变函数之后开设的。本课程的主要内容包括：(1)度量空间和赋范线性空间；(2)有界线性算子和连续线性泛函；内积空间和希尔伯特空间；(Banach空间中的基本定理；(5)线性算子谱等。通过本课程的学习，学生不仅可以学习函数分析的基本理论和方法，而且对学习数学的其他分支并将其应用于数学经济、现代控制论、量子场论、工程技术等领域有很大帮助。三、课程的性质和教学目的1.这门课程是数学的基础之一。教学对象是数学学生。在教学中，应注重提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生良好的逻辑思维习惯，让学生掌握综合考虑问题的思维方法，这将有助于学生顺利学习其他现代专业数学理论课程。2.本课程的主要内容包括：(1)度量空间和赋范线性空间；(2)有界线性算子和连续线性泛函；内积空间和希尔伯特空间；(Banach空间中的基本定理；(5)线性算子的谱等。3.本教学大纲的总教学时数为54小时(包括练习课)。每章教学时数的具体分配见附表。4.本课程主要在课堂上讲授，辅以讨论和指导。课堂练习与家庭作业相结合。5.在制定本大纲时，为了明确大纲所列具体内容的要求程度，要求从低到高分为三个层次，即从低到高，概念和理论知识分别分为“知道”、“理解”和“理解”三个层次。从低到高，操作、方法和应用知识分别分为“能或能”、“精通”和“精通”三个层次。四、理论教学内容和教学基本要求1.第1章度量空间和赋范线性空间(14小时)(1)度量空间的进一步例子(2)度量空间中的极限、稠密集、可分空间(某些特殊点集、稠密性和可分性)(3)连续映射(度量空间上的连续映射)(4)柯西点序列和完备度量空间(5)度量空间的完备性(完全距离空间、第一和第二类型集、距离空间的完备性)(6)收缩映射原理及其应用(7)线性空间(8)赋范线性空间和Banach空间教学目的和要求：要求学生掌握距离空间的一些基本概念，为以后的学习打下基础。教学重点：距离空间的完备性和紧性，集合空间的不动点定理。判定具体距离空间的紧性的方法和不动点定理。2.第二章有界线性算子和连续线性泛函(6小时)(1)有界线性算子和连续线性泛函(2)有界线性算子空间和共轭空间(3)广义函数教学目的和要求：要求学生掌握有界线性算子和连续线性泛函的基本概念，特别是有界线性算子、连续线性泛函等概念及其等价条件。教学重点：本章重点讲解有界线性算子和连续线性泛函。教学难点：有界线性算子，连续线性泛函的等价条件。3.第三章内积空间和希尔伯特空间(10小时)(1)内部产品空间的基本概念(2)投影定理(3)希尔伯特空间中的正规正交系统(4)希尔伯特空间上的连续线性泛函(5)自伴算子、酉算子和正规算子教学目的和要求：要求学生掌握内积空间和希尔伯特空间的基本概念，特别是内积、直交和直交系统的定义。教学重点：本章重点介绍内积空间和希尔伯特空间。教学难点：希尔伯特空间，内积空间的特征。4.第四章巴拿赫空间中的基本定理(14小时)(1)函数扩张定理(2)c共轭空间(3)共轭算子(4)轮廓定理和一致有界性定理(5)强收敛、弱收敛和一致收敛(6)逆算子定理(7)闭像定理教学目的和要求：要求学生掌握Banach空间的概念和一系列重要的Banach空间基本定理，包括函数延拓定理、开映射定理、闭图像定理和共振定理。本章是功能分析的核心内容，因此必须予以强调。教学重点：Banach空间中的几个基本定理教学中的困难：这些也是上述定理。5.第5章线性算子谱(10小时)(1)光谱的概念(2)有界线性算子谱的基本性质(3)紧集和完全连续算子(4)自伴完全连续算子的谱理论(5)具有对称核的积分方程教学目的和要求：要求学生掌握线性算子谱的概念、有界线性算子谱的基本性质、全连续算子谱和自伴全连续算子谱。因此，这是必要的。这一章的内容比较深刻，大学生应该根据实际情况来解释。教学重点：有界线性算子谱的基本性质、全连续算子谱理论和自伴全连续算子。教学难点：全连续算子的谱理论和自伴全连续算子。四、考核方法开卷考试V.性能赋值它由考试分数和正常分数组成。六.在该课程中培养学生创新能力的措施1.贯彻理论联系实际的原则，尽量反映功能分析的实际背景和应用，并在每章安排适当的应用实例。2.把握基本内容，重点系统介绍距离空间、赋范线性空间和三个原理的基本理论和主要方法。3、注意通过典型事例的介绍，让学生理解和掌握基本概念，理解基本理论的作用和意义。4、注重基本技能的训练，安排一定数量的练习，并且难度适当地证明问题。5.加强与相关课程的联系与合作，运用数学分析、高等代数