等差数列及其前n项和全面总结ppt课件

.,要点梳理1.等差数列的定义如果一个数列，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母表示.2.等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是.,6.2等差数列及其前n项和,从第二项起每一项与它相邻前面一项,的差是同一个常数,公差,d,an=a1+（n-1）d,基础知识自主学习,.,3.等差中项如果，那么A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的常用性质（1）通项公式的推广：an=am+，（n，mN*）.（2）若an为等差数列，且k+l=m+n，（k，l，m，nN*），则.（3）若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为.（4）若an，bn是等差数列，则pan+qbn是.,2d,ak+al=am+an,(n-m)d,等差,数列,.,（5）若an是等差数列，则ak，ak+m，ak+2m，（k，mN*）是公差为的等差数列.5.等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn=或Sn=.6.等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn=.数列an是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn=f（n）是n的，即Sn=.,md,An2+Bn，（A2+B20）,二次函数或一次函数且不含常数,项,.,7.在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最值；若a10,d0,则Sn存在最值.8.等差数列与等差数列各项的和有关的性质（1）若an是等差数列，则也成数列，其首项与an首项相同，公差是an公差的.（2）Sm，S2m，S3m分别为an的前m项，前2m项，前3m项的和，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成数列.,小,等差,等差,大,.,（3）关于等差数列奇数项与偶数项的性质若项数为2n，则S偶-S奇=，=.若项数为2n-1，则S偶=（n-1）an，S奇=an，S奇-S偶=，(4)两个等差数列an、bn的前n项和Sn、Tn之间的关系为：=.,nd,n,an,.,基础自测1.(2009辽宁)an为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d=（）A.-2B.C.D.2解析根据题意得a7-2a4=a1+6d-2(a1+3d)=-1,a1=1.又a3=a1+2d=0,d=,B,.,2.已知数列an中,a1=1,则a10等于（）A.B.C.D.以上都不对解析由a1=1,得为等差数列.,B,.,3.（2009福建）等差数列an的前n项和为Sn,且S3=6,a3=4,则公差d等于（）A.1B.C.2D.3解析设an首项为a1,公差为d,则S3=3a1+d=3a1+3d=6,a3=a1+2d=4,a1=0,d=2.,C,.,4.已知等差数列an的前13项之和为39，则a6+a7+a8等于（）A.6B.9C.12D.18解析由S13=13a7=39得a7=3，a6+a7+a8=3a7=9.,B,.,5.设Sn是等差数列an的前n项和，若则等于（）A.1B.-1C.2D.解析由等差数列的性质，,A,.,题型一等差数列的判定【例1】已知数列an的通项公式an=pn2+qn(p、qR，且p、q为常数).（1）当p和q满足什么条件时，数列an是等差数列；（2）求证：对任意实数p和q,数列an+1-an是等差数列.(1)由定义知,an为等差数列,an+1-an必为一个常数.(2)只需推证(an+2-an+1)-(an+1-an)为一个常数.,思维启迪,题型分类深度剖析,.,(1)解an+1-an=p(n+1)2+q(n+1)-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使an是等差数列,则2pn+p+q应是一个与n无关的常数,所以只有2p=0,即p=0,.故当p=0,时，数列an是等差数列.(2)证明an+1-an=2pn+p+q,an+2-an+1=2p(n+1)+p+q,(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为一个常数.an+1-an是等差数列.,.,探究提高证明或判断一个数列为等差数列,通常有两种方法:(1)定义法:an+1-an=d;(2)等差中项法:2an+1=an+an+2.就本例而言,第(2)问中,需证明(an+2-an+1)-(an+1-an)是常数,而不是证an+1-an为常数.,知能迁移1设两个数列an,bn满足bn=若bn为等差数列，求证：an也为等差数列.,证明由题意有a1+2a2+3a3+nan=从而有a1+2a2+3a3+（n-1）an-1=bn-1，（n2）,.,由-，得nan=整理得an=其中d为bn的公差（n2）.从而an+1-an=（n2）.又a1=b1,a2=d+b1,a2-a1=d,所以an是等差数列.,.,题型二等差数列的基本运算【例2】在等差数列an中，（1）已知a15=33,a45=153,求a61;（2）已知a6=10,S5=5，求a8和S8；（3）已知前3项和为12，前3项积为48，且d0,求a1.在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a1和d是两个最基本量，利用通项公式与前n项和公式，先求出a1和d.,思维启迪,.,解（1）方法一设首项为a1,公差为d,依条件得33=a1+14da1=-23,153=a1+44dd=4.a61=-23+(61-1)4=217.方法二由由an=am+(n-m)d,得a61=a45+16d=153+164=217.,解方程组得,（2）a6=10,S5=5,解方程组得a1=-5,d=3,a8=a6+2d=10+23=16,a1+5d=105a1+10d=5.,.,S8=8=44.(3)设数列的前三项分别为a-d,a,a+d,依题意有(a-d)+a+(a+d)=12(a-d)a(a+d)=48,a=4a=4a(a2-d2)=48d=2.d0,d=2,a-d=2.首项为2.a1=2.,方程思想是解决数列问题的基本思想，通过公差列方程（组）来求解基本量是数列中最基本的方法，同时在解题中也要注意数列性质的应用.,探究提高,.,知能迁移2设an是一个公差为d(d0)的等差数列，它的前10项和S10=110且a1,a2,a4成等比数列.（1）证明a1=d;（2）求公差d的值和数列an的通项公式.（1）证明因为a1,a2,a4成等比数列，故=a1a4.而an是等差数列，有a2=a1+d,a4=a1+3d.于是(a1+d)2=a1(a1+3d),即+2a1d+d2=+3a1d.化简得a1=d.（2）解因为S10=110，S10=10a1+d，所以10a1+45d=110.由（1）a1=d,代入上式得55d=110,故d=2,an=a1+(n-1)d=2n.因此，数列an的通项公式为an=2n,n=1,2,3,.,.,题型三等差数列的性质及综合应用【例3】（12分）在等差数列an中，已知a1=20,前n项和为Sn，且S10=S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值.（1）由a1=20及S10=S15可求得d,进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解.（2）利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号.,思维启迪,.,解方法一a1=20，S10=S15，1020+d=1520+d，d=4分an=20+（n-1）8分a13=0.即当n12时，an0,n14时，an0.10分当n=12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12=S13=1220+=130.12分,.,方法二同方法一求得d=4分Sn=20n+=8分nN+,当n=12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12=S13=130.12分方法三同方法一得d=4分又由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0.8分5a13=0,即a13=0.10分当n=12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12=S13=130.12分,.,探究提高求等差数列前n项和的最值，常用的方法：（1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；（2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；（3）利用等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A、B为常数）为二次函数，根据二次函数的性质求最值.,.,知能迁移3在等差数列an中，a16+a17+a18=a9=-36,其前n项和为Sn.（1）求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值；（2）求Tn=|a1|+|a2|+|an|.解（1）设等差数列an的首项为a1,公差为d,a16+a17+a18=3a17=-36,a17=-12,d=3,an=a9+(n-9)d=3n-63,an+1=3n-60,an=3n-630an+1=3n-600S20=S21=当n=20或21时，Sn最小且最小值为-630.,令,得20n21,.,（2）由（1）知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数.当n21时，Tn=-Sn=当n21时，Tn=Sn-2S21=,综上，Tn=,（n21，nN*）（n21,nN*）.,.,方法与技巧1.等差数列的判断方法有(1)定义法：an+1-an=d(d是常数)an是等差数列.(2)中项公式：2an+1=an+an+2(nN*)an是等差数列.(3)通项公式：an=pn+q(p,q为常数）an是等差数列.(4)前n项和公式：Sn=An2+Bn（A、B为常数）an是等差数列.,思想方法感悟提高,.,2.方程思想和基本量思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程（组）获得解.3.等差数列的通项公式本身可以由累加法得到.4.等差数列的前n项和公式Sn=很像梯形面积公式，其推导方法也与梯形面积公式的推导方法完全一样.5.等差数列的前n项和公式Sn=na1+d可以变形为类似于匀加速直线运动的路程公式，只要把d理解为加速度.,.,失误与防范1.如果p+q=r+s,则ap+aq=ar+as,一般地，ap+aqap+q，必须是两项相加，当然可以是ap-t+ap+t=2ap.2.等差数列的通项公式通常是n的一次函数，除非公差d=0.3.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是n的常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列.4.公差d=类似于由两点坐标求直线斜率的计算.5.当d不为零时，等差数列必为单调数列.6.从一个等差数列中，每隔一定项抽出一项，组成的数列仍是等差数列.,.,一、选择题1.(2008广东)记等差数列an的前n项和为Sn,若a1=，S4=20，则S6等于（）A.16B.24C.36D.48解析S4=2+6d=20，d=3，故S6=3+15d=48.,D,定时检测,.,2.（2009安徽）已知an为等差数列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于（）A.-1B.1C.3D.7解析由已知得a1+a3+a5=3a3=105,a2+a4+a6=3a4=99,a3=35,a4=33,d=-2.a20=a3+17d=35+(-2)17=1.,B,.,3.（2009湖南）设Sn是等差数列an的前n项和，已知a2=3,a6=11,则S7等于（）A.13B.35C.49D.63解析a1+a7=a2+a6=3+11=14.S7=,C,.,4.（2009宁夏、海南）等比数列an的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列，若a1=1,则S4=（）A.7B.8C.15D.16解析设等比数列的公比为q，则由4a1,2a2,a3成等差数列，得4a2=4a1+a3.4a1q=4a1+a1q2.q2-4q+4=0.q=2,S4=,C,.,5.已知等差数列an的公差为d(d0)，且a3+a6+a10+a13=32,若am=8，则m为（）A.12B.8C.6D.4解析由等差数列性质a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,a8=8.m=8.,B,.,6.各项均不为零的等差数列an中，若-an-1-an+1=0(nN*，n2)，则S2009等于（）A.0B.2C.2009D.4018解析=an-1+an+1=2an,an0,an=2.Sn=2n,S2009=22009=4018.,D,.,二、填空题7.（2009辽宁）等差数列an的前n项和为Sn,且6S5-5S3=5,则a4=.解析由题意知6+45d=15(a1+3d)=15a4=5,故a4=.,.,8.（2009全国）设等差数列an的前n项和为Sn,若a5=5a3,则=.解析设等差数列的公差为d,首项为a1,则由a5=5a3知a1,9,.,9.已知Sn为等差数列an的前n项和，若a2a4=76，则S7S3等于.解析,21,.,三、解答题10.在数列an中，a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n2).（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列an的通项.（1）证明因为3anan-1+an-an-1=0(n2),整理得=3(n2).所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列.（2）解由（1）可得=1+3(n-1)=3n-2,所以an=,.,11.已知数列a