第2章 信号和频谱PPT课件

.简洁的通信原理conciseprinciplesofcommunications，武汉理工大学计算机学院，第2章信号和频谱，学习目标，信号的分类和特性。 傅里叶级数和傅里叶变换。 能量(或功率)谱和相关函数。 平稳、高斯、窄带随机过程的统计特性。 高斯白噪声和低通(或带通)白噪声。 带宽概念和定义。 2.1信号分类和信号指的是消息的电(物理)量，例如电压、电流、电磁波等。 为了简单研究不同的问题，模拟和数字信号(详见第一章)和基带信号(详见第一章)以及调制信号和随机信号的周期和非周期信号的能量和功率信号，以及2.1.1和随机信号的信号是可以预先知道其变化规律的信号比如说。 随机信号(不确定信号)在定义域中的任何时候都不具有确定性函数值。 例如，通信系统中的接收信号、热噪声等。 2.1.2个周期信号和非周期信号的周期信号在(-)区间中定义，其中T0满足信号周期，T0是每隔一定时间以相同规则重复变化的信号。 问题：脉冲函数、正弦信号、Sa(x )函数、矩形脉冲序列、声音信号、周期信号是什么、 2.1.3能量信号和功率信号的电压v(t )或电流i(t )在电阻器r中产生的瞬时功率被“归一化”的瞬时功率(取R=1欧姆):s(t )表示v(t )或i(t)s(t ) (归一化)总能量被“归一化”的平均功率： e有限且P0时称为能量(有限)信号。 例如单一矩形脉冲。 如果p有限且E，则称为功率(有限)信号。 周期信号或随机信号等。 研究表明，信号的分析方法是信号分析的基础。 可以从时域和频域描述信号特性。 反映了时域的特性-信号的时间变化的特性，通过示波器可以观察信号的波形。 频率特性-反映信号各频率成分的分布状况，可通过频谱仪观察信号的频谱。 在数学上，周期信号的频谱可以用傅里叶级数来分析，非周期信号的频谱可以用傅里叶变换来分析。 2.2已确定的信号，2.2.1傅立叶级数周期信号s(t )可以表示为傅立叶级数(指数型)傅立叶级数，其中，傅立叶系数Cn是等式中f0=1/T0是信号的基频，nf0是n阶谐波频率。 Cn反映了信号中各高次谐波的振幅值和相位值，因此将Cn称为信号的频谱。 振幅随频率(nf0 )而变化的特性称为信号的振幅频谱，相位随频率(nf0 )而变化的特性称为信号的相位频谱。 如图2-2所示，一个周期的矩形脉冲信号的时域波形和振幅频谱简单地叙述了周期信号的频谱的特征，决定该信号所占据的带宽(信号带宽)。 解：周期信号的频谱具有“离散性(频谱)、谐波性和收敛性”的特征。 将振幅谱的主瓣宽度(指最初的零点频率范围)定义为信号带宽(零点带宽) :脉冲宽度越窄，b越宽。 对，2.2.2傅立叶变换的一个非周期性确定信号s(t )的傅立叶变换： (2-2-5)被称为该信号的频谱密度，简称为频谱。 傅立叶逆变换是原始信号： (2-2-6)对傅立叶变换关系可简单地描述为在引入脉冲函数之后对周期性信号和非周期性信号两者都应用傅立叶变换。 求出，【例2-2】振幅a，宽度单一的矩形脉冲(门函数)的频谱。 解：在对该信号进行傅立叶变换时，其频谱在表达式中也被称为采样函数。 谱的第一个零点频率是。 图2-3矩形脉冲信号及其频谱函数是，第一零点f=1/，注释： (1)非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状与图2-2所示的周期矩形脉冲信号的离散频谱的包络线相似。 (2)信号带宽与脉冲持续时间(脉冲宽度)成反比，即。 这意味着，当压缩信号的持续时间时，加宽带宽是有代价的。 【例2-3】已知求出的频谱(密度)。解：可利用Euler方程从傅立叶变换的频移特性中得到另一种解法：利用傅立叶变换的频域卷积特性求解。 注解：上述方程通常称为调制定理，其在通信系统中的调制和解调过程中经常使用。，2.2.3脉冲函数和脉冲序列1，单位脉冲函数(t)(t )是振幅无限大，宽度无限小，面积1的脉冲，(1)筛选特性(采样特性)或(2)移动特性(3)傅立叶变换和逆变换2，单位脉冲序列，和，以及的双曲馀弦值。 的双曲馀弦值。 1 .能谱密度(ESD)ESD指的是信号能量在频域中的分布。 或式表示的S()是能量信号s(t )的傅立叶变换。 信号能量将上式称为parse val (parseval )能量保存定理。2 .功率谱密度(PSD)PSD是指信号功率在频域中的分布。 如果是功率信号s(t )的短消息号，是傅立叶变换，则s(t )的功率谱密度相对于周期性功率信号，其平均功率在式中，=1/f0是信号周期|Cn|2是n次谐波的功率。 |Cn|2的与nf0分布相关联的特性被称为周期信号的(离散)功率谱密度，并且能够通过使用能谱E(f )针对能量信号而根据以下方程式来获得带宽b。 式中，百分比优选为90%、95%、99%等。 对于功率信号，功率谱P(f )通过求出带宽B:2.2.5波形的互相关和自相关函数来检查信号波形之间的相关程度或类似度。1 .相关函数表2-3不同类型的信号相关函数的公式中，时间差T0为周期。、2 .互相关函数的性质越大，表示两个信号相互不相关，表示没有时差时的两个信号越相似3 .自相关函数的性质能信号的R(0)=E (能量)功率信号的R(0)=P (功率)。，2.2.6相关函数和频谱密度能量信号的自相关函数及其能谱密度被称为一对傅立叶变换，即功率信号的自相关函数和其功率谱密度被称为一对傅立叶变换，即以上的关系被称为维纳辛定理。 该定理为频谱密度求解提供了另一种方法，用自相关函数求信号的频谱密度。 【例2-5】求馀弦信号的PSD和平均功率。 解：馀弦(或正弦)信号都是周期性功率信号，其自相关函数利用，积分和差三角函数表达式，利用维纳西汀定理，使信号的PSD :信号的平均功率或正弦信号和馀弦信号具有相同的PSD、自相关函数和平均功率。 习惯将和统称为签字信号。，2.3随机过程是这门课的数学基础。 通信中的信号和噪声具有一定的随机性，因此需要用随机过程的理论来描述。 随机过程的基本概念和数字特征；平稳、高斯、窄带过程的统计特征；随机过程通过线性系统的高斯白噪声的统计特征。 什么是、2.3.1随机过程？ 随机过程可以定义为所有样本函数的集合。 在任何时间点的值是随机变量，所以它们也可以被定义为在时间流逝中处于不同时间点的随机变量的集合。 图2-4随机过程的样本2.3.2数字特征分布函数或概率密度函数能够充分描述随机过程的统计特征。 数字特性描述了随机过程的基本特性。 常用的数字特性包括平均、方差和相关函数。1.平均或预期数学含义：平均值表示随机过程中n个采样曲线的摆动中心(参见图2-4中的虚线)。 2 .方差的意思：方差反映了随机过程的任意时刻的值与平均值的偏离程度。 3 .如果自相关函数是并行的，则相关函数可以写意义：描述随机过程不同时刻取值之间的关联度。，2.4平稳的随机过程，2.4.1平稳的性质(狭义)平稳：随机过程的统计特性不会随时间变化。广(广义)平稳：随机过程的数字特性不随时间变化：与平均和t无关，自相关函数只与时间间隔有关必然平稳，相反不一定宽(高斯过程例外)。 通信系统中的许多信号和噪声可以被认为是宽稳定的过程。 如果稳态过程的统计平均值等于其中一个样本的时间平均值，那么，2.4.2各状态的经验性就可以说该稳态随机过程具有各状态的经验性。 每个状态的经验意义：用样本的“时间平均值”替换随机过程的“统计平均值”(需要平均随机过程中的所有样本)，大大简化了测量和计算问题。，2.4.3自相关函数性质平稳的随机过程的自相关函数只是时间差函数，它具有以下性质： (1)的平均功率(2)的直流功率) (3) (方差) 的交流功率平均值为0时，(4)的偶函数(5)有最大值， 在，2.4.4的功率谱密度平稳的过程中，功率谱密度和自相关函数是一种对傅立叶变换关系，缩写为维纳辛定理。 建立稳定过程的频域和时域联系。 (1)当时功率谱密度(PSD )的积分面积等于归一化平均功率。 (2)功率谱密度(PSD )具有非负实性，即，2.5高斯随机过程，2.5.1定义和特性高斯过程的n维(n=1，2，)分布符合正态分布。 高斯过程的统计特性完全由其数字特征决定。 其一维分布可以通过平均和方差完全表示。 (1)如果高斯过程缓慢，则严格平稳。 (2)如果高斯过程在不同时刻取值无关，那么它们也是统计上独立的。 (3)高斯过程通过线性系统后的过程仍是高斯过程。 以上的一些性质在数学处理高斯过程中非常有用。2.5.2维高斯(或正态)分布高斯过程的任何时间值都是高斯概率变量，其一维概率密度函数具有曲线对称于该直线的特性。 的图形随着变小而变尖，显示随机变量x落入a点附近的概率变大。 在分析、，数字通信系统的抗噪声性能时，高斯随机变量x大多需要计算某个值以下的概率，在式中称为分布函数，为了容易计算作为概率密度函数的积分的(2-5-3)式的积分结果，在数学手册中使用函数例如，误差函数和互补误差函数的公式和性质如表2-4所示。 如果在处理、，表2-4的误差函数和互补误差函数，式(2-5-3)的积分区间后进行变量置换，与式(2-5-4)和式(2-5-5)相结合，则(2-5-8)具有用函数和函数表示F(x )的优点随机过程通过线性系统，对于线性时变系统，其输出过程与系统单位脉冲响应的卷积，即根据上式，用给定的统计特性求出的统计特性如表2-5所示。 表2-5中的平滑随机过程是线性系统的频率响应，通过线性系统表2-5，其中H(0)是线性系统的频率响应，即直流增益。，2.7窄带随机过程，窄带随机过程的概念。 例如，调频(FM )信号、数字相位调制(2PSK )信号、白噪声通过带通滤波器后的噪声等。 频谱特征：带宽(中心频率)且0。 样本波形：包络随机缓慢变化的正弦波。 式：等价式：式中分别称为同相成分和正交成分。，两个重要结论：结论1 :在平均值为零且具有方差的稳态高斯窄带过程中，其同相分量和正交分量为相同的稳态高斯过程，平均值均为零且方差均相等(相当于平均功率相等)。结论2 :对于均值为0、方差稳定的高斯窄带过程，其包络线一维分布为瑞利分布，相位一维分布均匀，且一维分布与统计无关。 以上两个结论将用于带通传输系统(例如调制系统)的抗噪声性能分析。 由、或2.8通信系统的噪声(例如电子设备的电阻元件产生的热噪声)是平均值为零的高斯白噪声。 常被用作信道的噪声模型。 2.8.1白噪声白噪声是一种带宽无限平稳的过程，具有一定的功率谱密度：式中常数表示单侧功率谱密度，单位为瓦特/赫兹。，白噪声只有(同一时刻)时的值相关。 如果白噪声的采集方法遵循高斯分布，那么将其称为高斯白噪声。2.8.2限带白噪声这是白噪声通过有限带宽信道和滤波器的情况。 一般形式为低通滤波器或带通滤波器的频率特性函数，白噪声通过的输出噪声的功率谱为(2-8-3)的积分面积与输出噪声功率相等： (2-8-4)、，)然后，为了便于计算，引入了等效噪声带宽(或等效矩形带宽) Bn，并且对于针对低通信信号f0=0的频带通信信号，f0是中心频率(通常是载波频率fc )。 Bn是滤波器功率传递函数的等效矩形宽度。 利用等效噪声频带Bn的概念，实际的滤波器的特性在矩形滤波器的特性(参照图中虚线)中是等效的。 在这种情况下，考