2018年奥林匹克数学竞赛第12讲 整式的乘除

奥林匹克数学竞赛第12讲整式的乘除考点方法破译缺奥赛部分1整式的乘法包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式等2整式的除法包括单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式等3乘法公式2BABA22BCACBACBA23223BAAB经典考题赏析【例】计算CBAC32312XX22141XX【解法指导】两个项数相同的多项式相乘，若两个多项式中只存在相同的项与相反的项，则将相同的项结合，相反数的项结合，然后利用平方差公式计算；多项式的积作为减数时一定要将积添上括号，作为一个整体；观察式子的特点，将能够利用公式的项先整合解CBAC3222249643BCABCA312XX3XX10864422211XX24X214X3566484【变式题组】01计算293YXYXCB2CBAC221513MM02规定一种运算“”对于任意实数对（X,Y）恒有（X,Y）X,YXY1,X2Y1若实数A,B满足（A,B）A,BB,A,则A_,B_【例】在边长为A的正方形中挖去一个边长为B的正方形（AB）（如图甲），把余下部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A22BBABACBBA2D22A【解法指导】图甲中阴影部分面积为，图乙中阴影部分面积为2BABA故选C【变式题组】01如图，在边长为A的正方形中剪去一个边长为B的小正方形（AB）把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证求法公式02完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数式也可以用这种形式表示，例如就可以用图1的形式表示2232BABA请写出图2所表示的代数恒等式；请画出一个几何图形，使它的面积能表示成22343BABA03利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性根据下列图形写出一个代数恒等式；已知正数A、B、C和M、N、L满足，试构KLCNBA造边长为K的正方形，利用图形面积证明2MLAAABBBB甲乙AAABBB第1题图BAAAABAAAAABBBBBB第2题图弦图1图2AAAABBBB【例】已知的值及求222,3,7BABA【解法指导】形如的式子均为完全平方公式这一家族的成,员，应由它们变形得来解，即3,722BA1022BA,102BA，52BA42BA1,【变式题组】01则,3,1202若XY3,XY2,求的值4YX03若，的值求ABBA222,504若XY1,X2Y23求的值3YX【例】已知A2009X2006,B2009X2007,C2009X2008,求多项式的值CCBA22【解法指导】多项式具有完全平方式的一些特征，经过变后ACB22可转化为，的代数和的形式，然后再结合已知即可求值2BACA解CB2ABCCBA22211A222CBBA2009X2006,B2009X2007,C2009X2008AB1,AC2,BC1原式342【变式题组】01如果，且则（）13CBAACBCBA232CBA12B14C16D1802如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面1393上两数之和相等，如果13，9，3的对面的数分别是A、B、C，求的值ACBCBA2203已知A、B、C满足，求ABC的值176,12,722C【例】若被除后余2,求K的值33KX【解法指导】被除后余2则能被221X233X123KX整除，即有一个因式为，因而关于X方程有一个12X13KX0根为，将代入可求K2若利用竖式除法也可解决解被除后余2，能被整除33KX1123KXX令0得代入0成立，123X，K30123K【变式题组】01若被除的余数为了3，则A23AXX02若能被整除，则MN4NM652X03若多项式能被整除，则ABCCBAX3431【例】设，则172623A【解法指导】应用整体代入求值即可解，AA712062A16326132A24024AA【变式题组】01若，那么代数式的值为（）012X723XA6B8C6D802已知，则的值等于5A17223A03若，求的值13X490X演练巩固反馈提高01下列计算正确的是（）ABXXX4128324332YXYCD61AA402在；32XYX1931222MM中运算错误的个数是（）4PQPA0B1C1或5D1或503在1，1，2这三个数中，任意两数之和的最大值是（）A1B1C2D304下列计算正确的是（）AB22BABA22BACD4YXYX24BA05下列关系式不成立的是（）ABABBA22BAB22CD2206已知长方形的面积为，且一边长为2A,则其周长为（）AB642ABCDBA348134B268BA07下列计算正确的是（）A2234129XYYXYXBAAA7783CBB3412422324D505XYXYX08如图，矩形花园ABCD中，ABA,ADB,如图中建有一条矩形道路LMPQ及一条平行四边形道路RSTK若LMRSC,则花园中可绿化部分的面积为（）ABCABACB2BA2ABBCACCABBCACC2DB2BCA2ABABLMRSDQPCTK09已知，那么的值为_13XY232YX10若,BABA则11已知的值112,14522XXX求12计算YXYXYX422212123936MMMAAA13若A2XY,B,求BA2的值232411YXYX14已知多项式M除以得商式2X6,余式为3X1,求多项式M423X15如图，有两种长方形卡片若干，卡片A的长为，宽为，卡片B的长为YX21YX，宽为，其中X4Y,且X、Y均为正数YX52YX213你能用A、B两种卡片若