高代这是真的这不是梦高代char1

,第1章线性方程组的解法,机动目录上页下页返回结束,第1章,1.1线性方程组的初等变换1.2矩阵消元法1.3线性方程组解集合的初步讨论,1.1线性方程组的初等变换,机动目录上页下页返回结束,第1章,例1已知正整数n,求,解,称为n元一次方程，也称n元线性方程（linearequationinnvariables),其中一次项系数a1,an和常数项b都是已知数.,定义n个未知数x1,x2,xn的如下形式的方程,机动目录上页下页返回结束,（1.1.1）,如果c1,c2,cn是n个数，且将x1=c1,x2=c2,.,xn=cn代入方程（1.1.1）能使方程变为等式，即,数组中的第i个数ci（即xi的取值）称为解的第i分量.,成立，则这一组数(c1,c2,.,cn)称为方程（1.1.1）的一个解（solution）.,称为n元线性方程组（linearequationsinnvariables）.,机动目录上页下页返回结束,如果一组数(c1,c2,.,cn)是方程组（1.1.2）中所有方程的公共解，也就是说：,将x1=c1,x2=c2,xn=cn代入方程组的每一个方程，能使所有这些方程都变为等式，,就称这组数（c1,c2,cn）为这个方程组的解.,例2二次函数y=f(x)的图像过三个已知点(1,1),(2,2),(3,0).求f(4).,分析：设所求二次函数为f(x)=ax2+bx+c，图像过三个已知点(1,1),(2,2),(3,0)，则,方程的加法：,方程的线性组合,将两个线性方程,（1）（2）,机动目录上页下页返回结束,左、右两边分别相加得到一个新的方程,（3）,称为原来两个方程（1）与（2）的和.,同样可定义若干个方程的和.,机动目录上页下页返回结束,方程乘常数：,将方程,乘以已知常数，,也就是将它的每一项都乘以，,得到一个新方程,称为原方程的倍.,方程与常数相乘，也称方程的数乘.,方程的线性组合：,机动目录上页下页返回结束,将m个方程,(1)(2)(m),分别乘以m个已知常数,再将所得的,m个方程相加，得到的新方程,机动目录上页下页返回结束,称为原来的n个方程（1）,（2），（m）的一个线性组合（linearcombination）,其中xj的系数,由各方程中xj的系数分别乘以,再相加得到，,由各方程的常数项分别乘以,再相加得到.,常数项,注一组方程u1,um中的每一个方程都是所有这些方程的线性组合。,如果方程组（二）中每个方程都是方程组（一）中的方程的线性组合，就称方程组（二）是方程组（一）的线性组合.,此时方程组（一）的每一组解也都是方程组（二）的解.,如果方程组（一）与方程组（二）互为线性组合，就称这两个方程组等价（equivalent）.此时两个方程组同解.,机动目录上页下页返回结束,基本的同解变形,定理1.1.1,方程组的以下三种变形是同解变形：,1.交换其中任意两个方程的位置，其余方程不变.,2.将任一个方程乘以一个非零的常数,其余方程不变.,3.将任一方程的常数倍加到另一方程上，其余方程不变.,机动目录上页下页返回结束,证明,将原方程组（一）的m个方程一次记为,经过变形得到的新方程组,（二）的m个方程依次记为,第一步：证明经过这三种变形之后得到的新方程组是原方程组的线性组合.,变形1：设在原方程组中将第i个方程与第j个方程互换位置得到新方程组，其中ij,机动目录上页下页返回结束,则,而,它们都是原方程,的线性组合.,变形2：设将原方程组的第i个方程乘以得到新方程组.即,而,都是原方程组的线性组合.,变形3：设将原方程组的第i个方程乘以加到第j个方程上得到新方程组，其中ij,则,都是,的线性组合.,机动目录上页下页返回结束,第二步：证明原方程组（一）也可以由新方程组（二）经过所说的三种类型的变形得到.,变形1：设在（一）中将第i个方程与第j个方程互换位置得到（二），则在（二）中将第i个方程与第j个方程互换位置得到（一）.,变形2：设在（一）中将第i个方程乘以非零常数得到（二），则在（二）中将第i个方程乘以非零常数-1，得到,机动目录上页下页返回结束,变形3：设在（一）中将第i个方程乘以常数加到第j个方程上得到（二），则在（二）中将第i个方程乘以常数-加到第j个方程上得到（一）.,第三步：第一步已证明（二）是（一）的线性组合.,第二步证明（一）可以由定理所说的三类变形得到，再用第一步的结论知（一）也是（二）的线性组合.,机动目录上页下页返回结束,这就证明了（一）与（二）等价，因而（一）与（二）同解.证明完毕,定理1.1.1所说的线性方程组的三类同解变形，称为线性方程组的初等变换（elementarytransformation）,例2解法1：所求二次函数f(x)=ax2+bx+c的系数满足方程组,例2解法2：所求二次函数f(x)=ax2+bx+c的系数满足方程组,例3在一次智力测验中，老师写出某个数列的前两项1，2，让学生按照前两项的规律写出第三项。有的同学写3，有的同学写4，老师都判为正确。有一个学生给出的答案是0，老师判为错误。试给出某个数列的通项公式是这个数列的前三项依次为1，2，0，来说明这个学生的答案也是正确的。并按照这个通项公式写出第4项。,1.2矩阵消元法,机动目录上页下页返回结束,第1章,定义1.2.1（矩阵）对任意正整数m,n,由数域F中mn的个数排成m行、n列所得到的数表,称为F上的mn矩阵.数表中的每个数称为矩阵的一个元,也称为矩阵的一个分量,其中排在第i行第j列数称为矩阵的第(i,j)元或第(i,j)分量.,行向量1xn矩阵只有一行，称为n维行矩阵，也称为n维行向量,列向量mx1矩阵只有一列，称为m维列矩阵，也称为m维列向量.当m=n时，mxm矩阵是一个正方形的数表，称为m阶方阵,元素全为0的矩阵称为零矩阵，通常记为O,元素全为0的行向量与列向量称为零向量，记为0。,（1.2.1）,写成mx(n+1)矩阵形式：,（1.2.2）,其中前n列是分别是n个未知数的系数，最后一列是常数项。矩阵的第i行对应第i个方程。系数矩阵:任何一个线性方程组的各方程中未知数系数组成的矩阵.增广矩阵：系数矩阵添加一列常数项组成的。,向量的加法设是两个n维向量,将它们按分量相加得到的向量称为这两个向量的和,记作.,向量与数的乘法将任一遍乘任一的各分量,所得到的向量称为的倍,记作.向量的线性组合将一组向量分别乘以数再相加,得到的向量称为向量的线性组合.,方程的三类初等变换，相应可以用增广矩阵的各行的三类初等变换来实现:将某两行互换位置;用F某个非零的数乘以某行;将某行的常数倍加到另一行上.,以上所说的三类变形称为矩阵的初等行变换,定义方阵的第元称为方阵的对角元,个对角元所在位置组成的一条线称为方阵的主对角线.如果方阵A主对角线左下方所有元素aij(ij)全部为0，这样的方阵称为上三角形矩阵.如果方阵A主对角线右上方所有元素aij(i1.,则矩阵(1.3.3)具有形状,其中某个,如果,则i22，将矩阵（1.3.3）的第2行,与第i2行互换可化为,的情形。再将矩阵,（1.3.3）的第2行乘以,可化,为1.,故总可设,现在进行下一步消元：,对每个i2(即i=1或3im)，将第2行的,倍加到第i行上可将,化为0.这样就将第j2列,中除第2行以外的元全都化为0.,矩阵化为：,（1.3.4）,其中,3.如果矩阵（1.3.4）只有2行，或者除了前2行以外的各行的前n列元,全都等于0，则消元过程结束.若不然，在第3行到第m行的前n列元组成的矩阵,中必有某个元不为0，从中可以找到最左边的不为0的列，设为第j3列.当然j3j2.,则矩阵（1.3.4）具有形状,其中某个,如果,则i33，将第3行与第i3行互换,可以化为,的情形，再将第3行乘以,可化为,的情形.故总可设,现在可进行下一步消元：,对每个i3,(即i2或4im),将第3行的,倍加到第i行上可将,化为0.这样就将第,j3列中除第3行以外的元全都化为了0.,矩阵化为：,其中,将上述过程重复k次之后，矩阵化为如下的阶梯形：,(1.3.5),其中前k行每行的第一个非零元,这k个非零元的左方、上方和,下方全是0，而第k行以下各行的前jk列元全是0.,如果此时第k+1至m行的前n列全是0，则消元过程结束.否则，重复前面的步骤.,在第k+1至m行组成的矩阵中找出最左边的非零列，设为第jk+1列（jkjk+1n）,其中含有某个元当时,还可将矩阵的第k+1行与第i行互换使,再将第k+1行乘以化为的情形。在此基础上进行下一步消元：将第k+1行的倍加到每个第i行（ik+1）,将的上方和下方的元全部化为0.,重复以上过程，直到矩阵化为下面的形状：,（1.3.6）,其中前r行每行的第一个非零元,这r个非零元的左方、上方和下方,全是0，而第r行以下各行的前n列全是0.（最简）阶梯形矩阵,引理1.3.1设B=(bij)mxn是数域F上的mxn矩阵，则B能够通过有限次初等行变换化成最简阶梯形矩阵。B能够通过有限次第三类初等行变换化成梯形矩阵，且各阶梯元所在列的其余元素都为0。,矩阵消元结束.这个矩阵（1.3.6）所代表的方程组：,（1.3.7）,称上述形式的方程组具有最简形式.矩阵消元法的过程就是将原方程组化为最简形式的过程.方程组化为最简形式之后，可以立即判断它是否有解，当它有解时可立刻得出它的解.,情况1矩阵（1.3.6）的最后m-r行不全为零，i0对某个r+1im成立.此时第i个方程0=i的等号不可能成立，方程组无解.,情况2矩阵（1.3.6）的最后m-r行全为零，这些行所代表的m-r个方程0=0全都是恒等式，可以从最后的方程组中删去而不影响方程组的解.最后的方程组只剩下r个方程.,r个未知数分别只在r个方程中的一个中出现而且系数为1，在其余方程中都不出现.我们称这r个未知数为非独立未知数，其余n-r个未知数都称为独立未知数.,当然rn.而且当r=n时不存在独立未知数，所有的未知数都是非独立的.以下再分r=n和rn两种情况讨论.,情况2.1r=n.此时n个未知数全都是非独立未知数，jk=k对1kn成立，矩阵（1.3.6）具有形式,对应的方程组为,显然有唯一解（1，2，n）.,情况2.2rn，除了等r个非独立未知数外，剩下还有n-r个独立未知数，设为,其中jk+1，jn是从前n个正整数1，2，n中去掉1，j2,jr之后剩下的n-r个整数.,对每个方程移项，只保留它所独有的那个非独立未知数在左边，而将其余各项全部移到右边，则方程组化为如下形状：,这r个方程将非独立未知数表示为独立未知数的一次函数.将各个独立未知数,在允许值范围数域F内任意取值t1,tn-r,由上述r个表达式就可以算出非独立未知数的值，得到一个解，解的分量都是n-r个独立参,数t1,tn-r的一次多项式.这就是方程组的通解.当所有的参数t1,tn-r分别独立取遍F时，就得到所有的解.,由上面的讨论可以知道：,1.矩阵消元法可以求出任何一个线性方程组的解.,2.将原方程组化为最简形式之后，可以立即判断它是否有解、有解时是有唯一解还是有无穷多组解，在有解时可以立即写出它的通解.,方程组化为最简形式之后，等号左边的非独立未知数的个数r对于判断方程组是否有解以及解集的大小有重要的作用.,将最简形式的方程组中的恒等式0=0删去，不影响方程组的解.设剩下的方程个数为r.,1.如果rr，则方程组无解.,2.如果r=r，则方程组有解.此时r就是具有最简形式的方程组中除去恒等式0=0之后的方程个数.,当r=n时方程组有唯一解.,当rn时方程组有无穷多解，并且通解中n-r个独立取值的自由参数.,问题：能不能不经过方程组的变形，直接根据原方程组判断它是否有解，以及在有解时判断它的解是唯一还是有无穷多？,对于一般方程组，难以直接判断.但对齐次线