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,第四章线性方程组,4.1线性方程组的基本概念,下面将讨论一般线性方程组。,在第一章中，讨论了方程的个数与未知量的个数相等的,而实际问题中，方程组的方程个数与未知量的个数,不一定相等。,一、线性方程组的几种表示形式,方程组，,需要探讨的问题,是第i个方程第j个未知量xj的系数，,1.线性方程组的一般形式,为常数项。,否则称为齐次线性方程组(或者导出组)。,一、线性方程组的几种表示形式,1.线性方程组的一般形式,一、线性方程组的几种表示形式,2.线性方程组的矩阵形式,简记为,1.线性方程组的一般形式,一、线性方程组的几种表示形式,2.线性方程组的矩阵形式,3.线性方程组的向量形式,令,对于线性方程组,则得到向量形式为,即,将右端项表示成系数阵的列向量的线性组合,1.线性方程组解的存在性,二、线性方程组解的存在性与惟一性,若AX=b有解，,则b可由线性表示，,故向量组与等价，,充分性,1.线性方程组解的存在性,二、线性方程组解的存在性与惟一性,线性方程组AX=b有解的充要条件是,定理,证明,故b可由的线性表示，,则的极大线性无关组也是,即得AX=b有解。,的极大线性无关组，,1.线性方程组解的存在性,二、线性方程组解的存在性与惟一性,2.线性方程组解的惟一性,即AX=b的解是惟一的。,即存在，使得,(1)若,则线性无关，,故b只能由的惟一地线性表示，,1.线性方程组解的存在性,二、线性方程组解的存在性与惟一性,2.线性方程组解的惟一性,证明,故AX=b的解不惟一。,(2)若,线性相关，,即存在不全为零的，使得,可见也是AX=b的解，,则,1.线性方程组解的存在性,二、线性方程组解的存在性与惟一性,2.线性方程组解的惟一性,对于线性方程组AX=b，有,(2)当时，方程组有唯一解;,(1)当时，方程组有无穷多解;,(3)当时，方程组有无解。,有非零解,有非零解,二、线性方程组解的存在性与惟一性,3.关于齐次线性方程组的一些结论,(3)若m=n，即A为方阵，则,(1)一定有(零)解。,则必有非零解。,(2)只有零解,只有零解,特别，若mn，即方程的个数小于未知量的个数，,对于齐次线性方程组有如下结论：,三、等价的线性方程组,若存在可逆矩阵P，使PA=B，则线性方程组,定理,证明,AX=b与BX=Pb等价(同解)。,由,由,故线性方程组AX=b与BX=Pb等价。,三、等价的线性方程组,定理的重要意义,则线性
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