高一数学三角函数的图象和性质经典例题

解决方法：在单位圆上，在正弦曲线MP上画出锐角，如图2-9所示。在MPO，mpom op=1表示mpom 1sin cos1在P1和P2，P1和P2分别作为P1M1x轴和P2M2x轴，具有垂直的脚点kZ【说明】学习用单位圆解决三角函数和不等式问题的一般方法是：用边值确定角的最终边缘位置；(2)根据不等式确定角度范围；(3)找出角的代表0，2；(4)找出交点，找出单位圆中的重叠部分；写出角度范围的表达式，注意加句号。示例3找到下列函数的域：解决方法：(1)为了使函数有意义，必须满足2s2x cosx-10由单位圆组成，如图2-12所示kZ注函数的定义域通常是不等式组的解，这是用“数形结合”的方法，在数轴上画线求交点来实现的。在求解三角函数，特别是综合性很强的三角函数的领域中，我们也可以用“数形结合”在单位圆上画三角函数线，找出代表三角不等式解集的扇形区域的交点。(4)为了使功能有意义，它必须满足以下要求：当k=0和-1时，交点为-4 x或0x函数的域是(-4，- 0，注要找到三角函数的定义域，我们应该注意三角函数本身的特点和性质。例如，在把三角函数转化为不等式或不等式组后，我们应该注意它的符号性和单调性。在三角函数的变形过程中，要注意三角函数在每一步中的恒定变形，即不能改变原函数自变量的取值范围。例4找出下列函数的值域：该函数的范围是y | 0 y 11 sinx cosx0 t-1注为了找到三角函数的范围，除了正确使用必要的变换外，我们还应注意函数概念的指导作用和正弦和余弦函数的有界性。例5判断下列函数的奇偶性：分析首先确定函数的域，然后根据奇数函数的偶数函数的定义判断函数的奇偶性。f(1-x)=-sin(-2x)=sin2x=-f(x)(2)函数的定义域是r，并且f(-x)=sincos(-x)=sin(cosx)=f(x)函数f(x)=sin(cosx)是一个偶数函数。(3)因为1 sinx0和8756；sinx-1，函数的定义域是x|xR和x2k它既不是奇数函数，也不是偶数函数。例6求下列函数的最小正周期：分析为了求三角函数的周期，三角函数f(x)通常被转换成函数y=Asin(x j) b或y=Acos(x j) b的等价形式，这很容易找到周期。函数y=Asin()“一个用于多阶，一个用于高阶”将给定的函数转换为单个角度和单个函数。(2)y=cos4x sin4x=(cos2x sin2x)2-2s in2 xcos 2x=|cosx| |sinx|=f(x)积极时期。(x T)| |cos(x T)|=|sinx| |cosx|保持。特别是当x=0时，有| sinT | | cosT |=sinT例8找出下列函数的最大值和最小值，并找出使该函数获得最大值和最小值的一组X。使y得到最大值的x的集合是x|x=(2k 1)，kZ使y得到最小值的x的集合是x|x=2k，kZ当cosx=1，即x=2k(kZ)时，y的最大值为3。【描述】求三角函数最大值的类型和方法：1.形状类似于y=asinx b或y=acosx b，根据sinx和cosx的有界性可以得到最大值；2.形如y=asin2x bsinx c或y=acos2x bcosx c被认为是关于sinx或cosx的二次函数，并且变成y=a(sinx m)2 k或y=a(cosx m)2 k。然而，在寻找最大值时，我们应该注意它与二次函数的区别。此时|sinx|1，|cosx|1例9求下列函数的单调区间：分析利用基本函数的单调性和单调区间，得到复三角函数的单调区间。(2)函数y=sin2x-2sinx 2，由y=u2-2u 2和u=sinx组成，是8756；| u | 1示例10当a0时，求函数f(x)=(sinx a)(cosx a)的最大值和最小值，以及相应的x值分析第因为a是常数，所以这里只需要y=(sinx cosx a)2的最大值和最小值。图2-14显示了物体线图像的两种可能性。注为了研究像这个例子那样的解析公式中带字母系数的函数的性质，经常使用分类和讨论的思想。其中，为什么和如何分类讨论是两个基本问题。示例11函数f(x)=Asin(x j)的图像如图2-15所示。试着根据图指出。(1)f(x)的最小正周期；(2)使f(x)=0的一组x值；(3)为f (x) 0，0，2)分析要从图像中确定函数的解析表达式，必须观察图像的特征、形状和位置以及给定的条件。通过判断、分析和计算，可以确定A、和，得到该函数的解析表达式。示例13假设y=asin ( x j) (a 0， 0，| j |j|)是最高点d标记为(6，0)，(1)找出a，和j的值；(2)找出函数的频率、初始相位和单调区间。y单调增加，所以增加的区间是16k-6，16k 2，kZy单调递减，所以递减区间是16k 2，16k 10，kZA.sincosctgB.cossinctgC.sinctgcosD.cosctgsin解决方案1(直接方法):所以选择一个。解决方案2(图示法):制作三角函数线，如图2-17所示MP=sin，OM=cos，BS=ctg通过观察和测量，Mp om bs因此sin cos sin因此，b和d可以消除。则sin 0， 0) x r的图像可以通过以下列顺序变换y=sinx的图像来获得。(1)先翻译，然后扩展和收缩：(1)将y=sinx图像沿x轴方向向左(j 0)或向右(j 1)或缩短(0 a 1)或延长(0 1)或缩短(0 a 1)到原始的a倍横坐标(振幅变换)如果横坐标减少到原始图像的一半，纵坐标扩大到原始图像的4倍，则获得的图像的解析表达式是选择了一个等式sin2x=sinx在区间(0，2)中的解数为 a1 b . 2 c . 3d . 4这个问题有两种解决方法(1)找出方程在(0，2)范围内的所有解，并计算其解的个数。这种方法通常不用于选择题。(2)在同一坐标系中制作函数y=sin2x和y=sinx的图像，如图2-18所示。它们在(0，2)内的相交数就是方程的解数，所以应该选择c。它体现了数字和形状的结合。例18如果f(x)是一个奇数函数示例19有一个半径为R、中心角为60的扇形铁板。下一个内接矩形从该扇形中切割出来，即矩形的每个顶点都在扇形的半径或圆弧上，并且计算该内接矩形的最大面积。分析从这个话题开始，我们应该解决两个问题。(1)放置内接矩形有两种情况，如图2-19所示，应分别处理。(2)为了找到最大值，这里应该构造一个函数，以及如何选择便于表示矩形面积的自变量。解决方案：如图2-19(1)所示，如果FOA=，FG=RSIN 如果矩形EFGH的面积是S，那么0 60，因