高三数学第二轮复习教案：不等式问题的题型与方法

不等式问题的问题类型与方法1 .复习目标：高考资源网w w w.k s 5 u.c o m1 .在熟悉一维一次不等式(组)、一维二次不等式的解法的基础上，掌握其他简单不等式的解法。 通过复习不等式解法，提高学生分析问题、解决问题的能力和计算能力2 .把握求解不等式的基本思路。 即，将式不等式、绝对值不等式等不等式分类为整理式不等式(组)，用分类、源、数形结合的方法求解不等式3 .通过复习不等式的性质和常用证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生利用传统方法(即通性通法)证明不等式的相关问题4 .通过证明不等式的过程，培养自觉认识数学结合、函数等基本数学思想方法来证明不等式的能力5 .灵活运用不等式的基本知识、基本方法，解决不等式的相关问题6 .通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，加深数学知识之间的融通，提高问题解决能力。 在运用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生的数学素质和创新意识2 .试验要求：1 .理解不等式的性质及其证明。2 .把握2个(不扩展为3个)正数的算术平均不比那些几何平均小的定理，简单地应用。3 .掌握分析法、综合法、比较法证明简单不等式。4 .把握简单不等式的解法。5 .理解不等式| a|-|b |a b |a| b |。 的双曲馀弦值。3 .教育过程：(I )基础知识详情1 .求解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质是不等式变形的理论依据程的根、函数的性质和图像与不等式的解法密切相关，必须很好地把它们有机地联系起来。 在解不等式中，换元法和图式解法是常用的技法之一。 由此，可以将复杂的不等式归纳为相对简单或基本的不等式，通过结构函数、数形结合，可以将不等式的分解归纳为直观、图像的图形关系，对于包含参数的不等式，可以使用图解法明确分类基准。2 .整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是求解不等式的基础，利用不等式的性质和信息数的单调性是将式不等式、绝对值不等式等归纳为式不等式(组)是求解不等式的基本思想，分类、换算、数形结合是求解不等式的常用方法。 方程的根、函数的性质和图像与不等式的解密相关，它们应善于有机结合，相互转化，相互转用。3 .不等式求解中，换元法和图式解法是常用的技术之一，通过求解，可以形成复杂的不等式化可分为比较简单或基本的不等式，通过构造函数将不等式的分解分类为直观、图像关系，对于包含参数的不等式，可采用图解法，使分类标准更加明确。 通过复习，不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确得到不等式的解集合，不等式的同解变形理论起着重要作用。4 .比较法是不等式证明中最基本、最常用的方法，比较法的一般步骤是差(商)变形判定符号(值)5 .证明不等式的方法多样、内容丰富、技巧性强，是为了发展综合能力、正反思维在证明不等式之前，必须根据问题设置和等待证明不等式的结构特征、内在联系，选择合适的证明方法。 通过公式或不等式的运算，将等待证明的不等式变为明显熟悉的不等式，证明原来的不等式，相反，也可以从明显熟悉的不等式开始，经过一系列运算，导出已证明的不等式。 前者是“因果原因”，后者是“因果原因”，是联系的渠道，证明时并用分析统合法，从两面夹击，互补，多达想要证明的目的。6 .证明不等式的方法多种多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍然证明不等式根据基本方法、问题设置、问题结构特征和内在联系，选择合适的证明方法，熟悉各种证据法的推理思维，掌握相应的程序、技术和语言特征7 .不等式这一部分的知识渗透到中学数学的各个分支中，有着非常广泛的应用。 因此，不等式的应用问题体现了一定程度的综合性、灵活多样性，学生们通融学到的数学各部分知识，发挥了良好的促进作用。 解决问题最终归结为不等式求解和证明，必须选择问题设置、问题断裂的结构特征、内在联系和恰当的解决方案。 不等式的应用范围很广，它始终贯穿于中学数学中。 例如集合问题、方程(组)解的讨论、函数单调性的研究、函数定义域的确定、三角、数列、多个、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题不与不等式密切相关，许多问题最终可导致不等式的求解或证明。8 .不等式的应用问题体现了一定的综合性。 此类问题大致可分为两类：一类是建立不等式，解决不等式，另一类是建立函数公式求最大值或最小值。 在利用平均值不等式求函数的最大值时，特别要注意缺少“等于正数、值”三个条件，为了满足这三个条件，有时需要进行适当的拼凑。 利用不等式求解问题的基本步骤： 10审问题，20不等式模型，30数学问题，40答案。9 .注意事项：求解不等式的基本思想是转化、化归，一般转化为最简单的一次不等式(组)或一次二次不等式(组)求解。求解包含参数的不等式时，特别注意运用数学结合思想、函数和方程思想、分类讨论思想。不等式的证明方法有多种，应注意各种证明法的适用范围，在掌握常规证明法的基础上，选择一些特殊技术。 用收缩法证明不等式时，应注意调整收缩程度。根据主题结构的特点，落实果实的原因，往往是有效的想法。()2004年高考数学不等式综合试题选1.(2004年高考数学广西卷，5 )函数定义域为()A. B .C. D答案： a2.(2004年的大学入学考试数学广西卷，8 )不等式的解集是()A. B. C. D答案： d3.(2004年高考数学广西卷，11 )如果设定函数，参数取值的范围为()A. B .C. D答案： a4.(2004年高考数学广西卷，19 )一个村庄计划建设室内面积800个矩形蔬菜温室。 在温室中，沿着左.右两侧和后侧的内壁分别留下1幅通道，沿着前侧的内壁留下3幅空地。 长方形温室边长是多少？蔬菜种植面积最大。 最大种植面积是多少？分析：本小题主要将实际问题抽象化为数学问题，考察应用不等式等基础知识和方法解决问题的能力解：设矩形温室左侧边的长度为a m，后侧边的长度为b m，则ab=800蔬菜种植面积所以呢使变质答：矩形温室左侧边长40m，后侧边长20m，蔬菜种植面积最大，最大种植面积648m25.(2004年高考数学江苏卷，1 )集合Q=，2，3，4 ，q=，PQa. 1，2 b. 3，4 c.1 d.-2，- 1，0，1，2 答案： a6.(2004年高考数学江苏卷，10 )函数在闭区间-3，0 的最大值、最小值分别为()A.1，-1 B.1，-17 C.3，-17 D.9，-19答案： c7.(2004年高考数学江苏卷，12 )设置函数，区间M=a，b(a0的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _答案：9.(2004年高考数学江苏卷，22 )已知函数满足以下条件：任意实数x1，x2和，这里是大于0的常数假设实数a0、a、b满足和(I )证明，不存在，因此(ii )证明；(iii )证明分析：本问题主要考察综合利用函数、不等式等基本知识和数学知识解决问题的能力。证据法1:(I )任意取得和如你所见因此，假设有公式不存在(II )至明白由式子得出由和式可知，从、代入式(iii )由式可知(用式)(按公式)证明法2 :主题中有8个不同的字母参数和它们的抽象函数值相关。 参数量太多，让考生们在短时间内猜不出来。 因此，解决问题的关键是将“消元”想要证明问题设定条件的关系中的多个参数量变换为几个特定的变量来表现，并进行运算证明。 “消元”的模式并不简单。 在此提供与标准解答不同的“消元”构想供参考。问题设定的两个主要条件是关于和的二次公式。 点，是函数图像上的两点，是连接这两点的弦的斜率。 要证明的不等式关系如果也能转换成这样的倾斜表现，就能通过倾斜进行“全体消元”。如果设置为两个不相等的实数，则从问题设置条件中获得和。令对于任意不同的实数，有和。可以立即获得该函数，并且相对于任选地，该函数是r上的单调递增函数，因为增益函数在r上单调递增。如果是这样的话，因为。 即，不存在。 因此，(I )的结论成立。考虑结论(ii ) :因此，原不等式灬当时左右相等当时，原则不等式如下：，令、则原不等式化如下。因此，成立，即在(ii )中结论成立。看结论(iii ) :原不等式换句话说，注意到原不等式也就是说，如果命令，原不等式也就是说，因为如此成立，即(iii )的结论成立。一般的“消元”方法，正题三个小题中不同关系的证明过程差异很大。 特别是(ii )和(iii )，很多精英学生都无法证明(ii )的结论并解决(iii )。利用斜率k“整体消元”的思路，将(ii )、(iii )中的不均匀关系改变为相同的不均匀关系，从条件来证明，具有独特的优点。(iii )样本分析b)M对于m和m中的其他元素(c，d )，始终为ca，a=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _分析：阅读和阐明问题的数学本质是解决这个问题的突破口。 如何理解“m的其他要素(c、d )总是有ca”？ m的元素有什么特点？解：由问题可知，本问题与求出函数x=f(y)=(y 3)|y-1| (y 3)等价(2)1y3时在y=1情况下，xmin=4.说明：问题设定条件中出现了集合的形式，认识集合要素的本质属性，结合条件，明确数学本质。 即，求出集合m中要素满足关系式例2 .关于解的不等式：分析：本例主要复习包括绝对值不等式在内的解法，并对讨论思想进行分类。 本问题的关键不是讨论参数，而是在取绝对值时讨论最后的知数，得到两个不等式组，最后把两个不等式组的解集和解，得到原不等式的解集。解：当的双曲馀弦值。例3 .自己知道的三个不等式：(1)如果、的值也满足，则求出m的可取范围(2)满足的值满足和中的至少一方时，求出m的可取范围。分析：本例主要综合复习整式、分式不等式和绝对值不同的解法，结合数学思想，求解问题的关键在于，满足值的的充分条件，的对应方程式的2条分别在于内。 不等式及其相应的方程与函数图像有着密切的内在关系，在解决问题的过程中，必须及时地把它们的内在关系联系起来。解：记的解集为a，的解集为b，的解集为c。解得a=(-1，3，3 )得B=(1)、的值也为了同时满足、ABC于是，从原图像可知，方程式的小根小于0，小根为3以上时能够满足(2)为了满足的值满足和中的至少一方因为这个小根是-1以上，大根是4以下说明：中的x值同时满足中的充分条件，因为中对应的2x mx-1=0的两个方程分别在(-，0 )和3，)内，所以f(0)0且f(3)0，否则，对AB中的所有x值不能满足条件。 不等式及其相应的方程和图像有着密切的内在关系，在解决问题的过程中，必须及时把它们的内在关系联系起来。例4 .对于自然数a，已知存在以a为首的系数的整数二次三项式，其至少有2个正根，求证： a5分析：回想二次函数的几个特殊形式，设f(x)=axbxc(a0 )。最上点式. f(x)=a(x-x) f(x)(a0 )其中(x，f(x ) )是二次函数的顶点，x=(x，f(x ) )、(x，f(x ) )是二次函数图像上不同的三点时，系数a、b、c证明：将二次三项式设为f(x)=a(x-x)(x-x )、aN .根据问题意识，0 x 1，0 x 1，且xx .f(0)0，f(1)0。另外，f(x)=ax-a(x x)x axx是整数系数二次三项式因此，由于f(0)=axx、f(1)=a(1-x)(1-x )是正整数，因此成为f(0)1、f(1)1 .因此，f(0)f(1)1. 另一方面另外，由于xx且等号不同情况下成立由、得到的a16 .另外aN，因此a5说明：二次函数是