高中常用数学公式大全

数学常用公式及常用结论数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U xAxC A, U xC AxA. 2.德摩根公式 ();() UUUUUU CABC AC B CABC AC B=IUUI. 3.包含关系 ABAABB=IU UU ABC BC A U AC B= I U C ABR=U 4.容斥原理 ()()card ABcardAcardBcard AB=+UI ()()card ABCcardAcardBcardCcard AB=+UUI ()()()()card ABcard BCcard CAcard ABC+IIIII. 5 集合 12 , n a aaL的子集个数共有2n 个； 真子集有2n1 个； 非空子集有2n 1 个；非空的真子集有2n2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 2 ( )(0)f xaxbxc a=+; (2)顶点式 2 ( )()(0)f xa xhk a=+; (3)零点式 12 ( )()()(0)f xa xxxxa=. 7.解连不等式( )Nf xM常有以下转化形式 ( )Nf xM ( ) ( )0f xMf xN . 8.方程0)(=xf在),( 21 kk上有且只有一个实根,与0)()( 21 kfkf不等价,前者是后 者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(0 2 =+acbxax有且只有一个实根在 ),( 21 kk内,等价于0)()( 21 kfkf,或0)( 1 =kf且 22 21 1 kk a b k + ,或0)( 2 =kf且 2 21 22 k a bkk 0 时， 若qp a b x, 2 =， 则 minmaxmax ( )(),( )( ),( ) 2 b f xff xf pf q a =； qp a b x, 2 =， maxmax ( )( ),( )f xf pf q=， minmin ( )( ),( )f xf pf q=. (2) 当a ； （3）方程0)(=xf在区间(, )n内有根的充要条件为( )0f m 或 2 0 40 a bac 上是增函数； 1212 ()()()0 xxf xf x0) （1）)()(axfxf+=，则)(xf的周期 T=a； （2）0)()(=+=axfxf， 或)0)( )( 1 )(=+xf xf axf， 或 1 () ( ) f x a f x +=( ( )0)f x , 或 2 1 ( )( )(),( ( )0,1 ) 2 f xfxf xaf x+=+,则)(xf的周期 T=2a； (3)0)( )( 1 1)( + =xf axf xf，则)(xf的周期 T=3a； (4) )()(1 )()( )( 21 21 21 xfxf xfxf xxf + =+且 1212 ( )1( ()()1,0 | 2 )f af xf xxxa=）. (2) 1 m n m n a a =（0,am nN ，且1n ）. 31根式的性质 （1）()n n aa=. （2）当n为奇数时， nn aa=； 当n为偶数时， ,0 | ,0 nn a a aa a a = . (2) ()(0, ,) rsrs aaar sQ=. (3)()(0,0,) rrr aba b abrQ=. 注： 若 a0，p 是一个无理数，则 a p表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性 质，对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式 log b a NbaN=(0,1,0)aaN. 34.对数的换底公式 log log log m a m N N a = (0a ,且1a ,0m ,且1m , 0N ). 推论 loglog m n a a n bb m =(0a ,且1a ,0m n ,且1m ,1n , 0N ). 35对数的四则运算法则 若 a0，a1，M0，N0，则 (1)log ()loglog aaa MNMN=+; (2) logloglog aaa M MN N =; (3)loglog() n aa MnM nR=. 36.设函数)0)(log)( 2 +=acbxaxxf m ,记acb4 2 =.若)(xf的定义域为 R,则0a，且0a，且0.对于0=a的情形,需要 单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广 若0a ,0b ,0 x , 1 x a ,则函数log () ax ybx= (1)当ab时,在 1 (0,) a 和 1 (,) a +上log () ax ybx=为增函数. ， (2)当ab ， 0p ， 0a ，且 1a ，则 （1）log()log m pm npn + +. （2） 2 logloglog 2 aaa mn mn + . 38. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有 (1)xyNp=+. 39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系 1 1 ,1 ,2 n nn sn a ssn = = ( 数列 n a的前 n 项的和为 12nn saaa=+L). 40.等差数列的通项公式 * 11 (1)() n aanddnad nN=+=+； 其前 n 项和公式为 1 () 2 n n n aa s + = 1 (1) 2 n n nad =+ 2 1 1 () 22 d nad n=+. 41.等比数列的通项公式 1* 1 1 () nn n a aa qqnN q =； 其前 n 项的和公式为 1 1 (1) ,1 1 ,1 n n aq q sq na q = = 或 1 1 ,1 1 ,1 n n aa q q qs na q = = . 42.等比差数列 n a: 11 ,(0) nn aqad ab q + =+=的通项公式为 1 (1) ,1 () ,1 1 nn n bnd q a bqdb qd q q += = + ； 其前 n 项和公式为 (1) ,(1) 1 (),(1) 111 n n nbn ndq s dqd bn q qqq += = + . 43.分期付款(按揭贷款) 每次还款 (1) (1)1 n n abb x b + = + 元(贷款a元,n次还清,每期利率为b). 44常见三角不等式 （1）若(0,) 2 x ，则sintanxxx （4）柯西不等式 22222 ()()() , , , ,.abcdacbda b c dR+ （5）bababa+. 72.极值定理 已知yx,都是正数，则有 （1）若积xy是定值p，则当yx =时和yx +有最小值p2； （2）若和yx +是定值s，则当yx =时积xy有最大值 2 4 1 s. 推广 已知Ryx,，则有xyyxyx2)()( 22 +=+ （1）若积xy是定值,则当|yx 最大时,|yx +最大； 当|yx 最小时,|yx +最小. （2）若和|yx +是定值,则当|yx 最大时, |xy最小； 当|yx 最小时, |xy最大. 73.一元二次不等式 2 0(0)axbxc+，如果a与 2 axbxc+同号，则其解集在两根之外；如果a与 2 axbxc+异号，则其解集在两根之 间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. 121212 ()()0()xxxxxxxxx 0 时，有 2 2 xaxaaxa 或xa . （2） 2 ( )0 ( )0 ( )( )( )0 ( )0 ( ) ( ) f x f x f xg xg x g x f xg x 或. （3） 2 ( )0 ( )( )( )0 ( ) ( ) f x f xg xg x f xg x 时, ( )( ) ( )( ) f xg x aaf xg x; ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x . (2)当01a 或0或0或0或0所表示的平面区域上下两部分； 111222 ()()0AxB yCA xB yC+点P在圆外;dr=点P在圆上;drrrd; 条公切线外切3 21 +=rrd; 条公切线相交2 2121 +rrdrr; 条公切线内切1 21 =rrd; 无公切线内含的参数方程是 cos sin xa yb = = . 93.椭圆 22 22 1(0) xy ab ab +=焦半径公式 )( 2 1 c a xePF+=，)( 2 2 x c a ePF=. 94椭圆的的内外部 （1）点 00 (,)P xy在椭圆 22 22 1(0) xy ab ab +=的内部 22 00 22 1 xy ab +的外部 22 00 22 1 xy ab +. 95. 椭圆的切线方程 (1)椭圆 22 22 1(0) xy ab ab +=上一点 00 (,)P xy处的切线方程是 00 22 1 x xy y ab +=. （2）过椭圆 22 22 1(0) xy ab ab +=外一点 00 (,)P xy所引两条切线的切点弦方程是 00 22 1 x xy y ab +=. （ 3 ） 椭 圆 22 22 1(0) xy ab ab +=与 直 线0AxByC+=相 切 的 条 件 是 22222 A aB bc+=. 96.双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab =的焦半径公式 2 1 | ()| a PFe x c =+， 2 2 | ()| a PFex c =. 97.双曲线的内外部 (1)点 00 (,)P xy在双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab =的内部 22 00 22 1 xy ab . (2)点 00 (,)P xy在双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab =的外部 22 00 22 1 xy ab ，焦点在 x 轴上，0上一点 00 (,)P xy处的切线方程是 00 22 1 x xy y ab =. （2）过双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab =外一点 00 (,)P xy所引两条切线的切点弦方程是 00 22 1 x xy y ab =. （ 3 ） 双 曲 线 22 22 1(0,0) xy ab ab =与 直 线0AxByC+=相 切 的 条 件 是 22222 A aB bc=. 100. 抛物线pxy2 2 =的焦半径公式 抛物线 2 2(0)ypx p=焦半径 0 2 p CFx=+. 过焦点弦长pxx p x p xCD+=+= 2121 22 . 101.抛物线pxy2 2 =上的动点可设为 P), 2 ( 2 o o y p y 或或)2 ,2( 2 ptptP P(,)x y oo ，其中 2 2ypx= oo. 102.二次函数 2 22 4 () 24 bacb yaxbxca x aa =+ =+(0)a 的图象是抛物线： （1）顶 点坐标为 2 4 (,) 24 bacb aa ； （2）焦点的坐标为 2 41 (,) 24 bacb aa + ； （3）准线方程是 2 41 4 acb y a =. 103.抛物线的内外部 (1)点 00 (,)P xy在抛物线 2 2(0)ypx p=的内部 2 2(0)ypx p. 点 00 (,)P xy在抛物线 2 2(0)ypx p=的外部 2 2(0)ypx p. (2)点 00 (,)P xy在抛物线 2 2(0)ypx p= 的内部 2 2(0)ypx p. 点 00 (,)P xy在抛物线 2 2(0)ypx p= 的外部 2 2(0)ypx p . (3)点 00 (,)P xy在抛物线 2 2(0)xpy p=的内部 2 2(0)xpy p. 点 00 (,)P xy在抛物线 2 2(0)xpy p=的外部 2 2(0)xpy p. (4) 点 00 (,)P xy在抛物线 2 2(0)xpy p=的内部 2 2(0)xpy p. 点 00 (,)P xy在抛物线 2 2(0)xpy p= 的外部 2 2(0)xpy p . 104. 抛物线的切线方程 (1)抛物线pxy2 2 =上一点 00 (,)P xy处的切线方程是 00 ()y yp xx=+. （2） 过抛物线pxy2 2 =外一点 00 (,)P xy所引两条切线的切点弦方程是 00 ()y yp x x=+. （3）抛物线 2 2(0)ypx p=与直线0AxByC+=相切的条件是 2 2pBAC=. 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 1( , ) 0f x y =, 2( , ) 0fx y =的交点的曲线系方程是 12 ( , )( , )0f x yf x y+=(为参数). (2)共焦点的有心圆锥曲线系方程 22 22 1 xy akbk += ,其中 22 max,ka b时,表示椭圆; 当 2222 min,max,a bka b0）是参数，分别表 示个体的平均数与标准差. 176.标准正态分布密度函数 ( )() 2 2 1 , 2 6 x f xex = +. 177.对于 2 ( ,)N ，取值小于 x 的概率 ( ) x F x = . ()()() 12201 xxPxxPxxxP= ()() 21 F xF x= 21 xx = . 178.回归直线方程 $ yabx=+，其中 ()() () 11 2 22 11 nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynx y b xxxnx aybx = = = = = . 179.相关系数 ()() 1 22 11 ()() n ii i nn ii ii xxyy r xxyy = = = ()() 1 2222 11 ()() n ii i nn ii ii xxyy xnxyny = = = . |r|1，