高中数学函数解题技巧方法总结(高考)

1 高中数学函数知识点总结 1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 ( 两点必须同时具备 ) 2. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 例：函数的定义域是y xx x 4 3 2 lg （答：，）022334 函数定义域求法： 分式中的分母不为零； 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 正切函数xytankkxRx, 2 ,且 余切函数xycotkkxRx,且 反三角函数的定义域 函数 yarcsinx的定义域是 1, 1 ，值域是，函数 yarccosx 的定义域是 1, 1 ， 值域是 0, ， 函数 yarctgx的定义域是 R ， 值域是. ， 函数 yarcctgx的定义域是 R ， 值域是 (0, ) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他 们的交集，就得到函数的定义域。 3. 如何求复合函数的定义域？ 的定，则函数，的定义域是如：函数)()()(0)(xfxfxFabbaxf 义域是 _ 。（答：，）aa 复合函数定义域的求法： 已知)(xfy的定义域为nm,，求)(xgfy的定义域，可由nxgm)(解 出 x 的范围，即为)(xgfy的定义域。 例若函数)(xfy的定义域为2, 2 1 ，则)(log2xf的定义域为。 分析： 由函数)(xfy的定义域为 2, 2 1 可知：2 2 1 x；所以)(log 2 xfy中有2log 2 1 2 x。 解：依题意知：2log 2 1 2x 解之，得42x )(log 2 xf 的定义域为42|xx 2 4、函数值域的求法 1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例 求函数 y= x 1 的值域 2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例、求函数 y= 2 x-2x+5，x-1 ，2 的值域。 3、判别式法 对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方 法进行化简，不必拘泥在判别式上面 下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂 . 1 1 2 . 2 2 2 2 2 2 22 b a y型：直接用不等式性质 k+x bx b. y型, 先化简，再用均值不等式 xmxn x1 例： y 1+x x+ x xmxn c y型 通常用判别式 xmx n xmxn d. y型 xn 法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉 xx1 （x+1） （x+1） +1 1 例： y（x+1）1211 x1x1x1 4、反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例 求函数 y= 65 43 x x 值域。 5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单 调性，最常用的就是三角函数的单调性。 例 求函数 y= 1 1 x x e e ， 2sin1 1sin y， 2sin1 1cos y的值域。 3 2 2 2 11 0 11 2sin11 |sin| | 1, 1sin2 2sin1 2sin1(1cos ) 1cos 2sincos1 1 4sin()1,sin() 4 1 sin()11 4 即 又由知 解不等式，求出，就是要求的答案 x x x ey ye ye y y y yy yy y yxyx y y x y y 6、函数单调性法 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数 y= 2 5x log3 1x（2x10）的值域 7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。 例 求函数 y=x+1x的值域。 8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例：已知点 P（x.y ）在圆 x 2+y2=1上， 2 ,(2), 2 ( ,20, (1)的取值范围 (2)y-2的取值范围 解:(1) 令则是一条过 (-2,0)的直线 . d为圆心到直线的距离 ,R为半径 ) (2)令y-2即也是直线 d d y x x y kyk x x R d xbyxbR 例求函数 y= )2( 2 x + )8( 2 x 的值域。 解：原函数可化简得： y=x-2 +x+8 上式可以看成数轴上点P（x）到定点 A（2） ，B（-8）间的距离之和。 由上图可知：当点 P 在线段 AB上时， y=x-2 +x+8=AB =10 4 当点 P在线段 AB的延长线或反向延长线上时， y=x-2 +x+8 AB =10 故所求函数的值域为： 10 ，+） 例求函数 y=136 2 x x + 54 2 x x 的值域 解：原函数可变形为： y= )20()3( 22 x + ) 10() 2( 22 x 上式可看成 x 轴上的点 P（x，0）到两定点 A （3，2） ，B（-2 ，-1）的距离之和，由图可知当 点 P为线段与 x 轴的交点时， y min =AB = ) 12()23( 22 =43， 故所求函数的值域为 43，+） 。 注：求两距离之和时，要将函数 9 、不等式法 利用基本不等式 a+b2ab，a+b+c3abc3（a，b，c R ） ，求函数的最值，其题型特征解析 式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方 等技巧。 例： 3 3 ()1 3 () 3 2 x (3-2x)(0x1.5) xx+3-2x =xx (3-2x) (应用公式abc时，应注意使3者之和变成常数） abc 10. 倒数法 有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例求函数 y= 3 2 x x 的值域 3 3 2 (0) 1111 33 33 2 22 x =xx (应用公式a+b+c时，注意使者的乘积变成常数） x x xxxx abc 5 2 3 20 12111 220 2 22 20 1 2 时， 时， =0 0 x y x x x xy y xx xy y 多种方法综合运用 总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法， 一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 5. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 切记：做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯 我当年的错误，与到手的满分失之交臂 如：，求fxexf x x 1( ). 令，则txt10 xt 2 1 f tet t ( ) 2 12 1 f xexx x ( ) 2 12 10 6. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （反解 x；互换 x、y；注明定义域） 如：求函数的反函数f x xx xx ( ) 10 0 2 （答：）fx xx xx 1 11 0 ( ) 在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看 这个例题： (2004. 全国理 )函数)1(11xxy的反函数是（ B ） Ay=x 22x+2(x=1, 则 反函数定义域为 x=1, 答案为 B. 6 我题目已经做完了，好像没有动笔（除非你拿来写*书） 。思路能不能明白呢？ 7. 反函数的性质有哪些？ 反函数性质： 1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x 对应原函数中的y） 2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y 对应原函数中的 x） 3、反函数的图像和原函数关于直线=x 对称（难怪点（ x,y ）和点（ y，x）关于直线 y=x 对称 互为反函数的图象关于直线yx 对称； 保存了原来函数的单调性、奇函数性； 设的定义域为，值域为，则yf(x)ACaAbCf(a) = bf 1 ( )ba ff afbaf fbf ab 111 ( )( )( )( )， 由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如 （04. 上海春季高考）已知函数)2 4 (log)( 3 x xf，则方程4)( 1 xf的解x_. 8 . 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 判断函数单调性的方法有三种： (1) 定义法： 根据定义，设任意得x1,x2，找出 f(x1),f(x2)之间的大小关系 可以变形为求 12 12 ()()f xf x xx 的正负号或者 1 2 () () f x f x 与 1 的关系 (2) 参照图象： 若函数 f(x) 的图象关于点 (a， b)对称，函数 f(x) 在关于点 (a， 0)的对称区间具有相同的单调性；（特 例：奇函数） 若函数 f(x) 的图象关于直线xa 对称，则函数 f(x) 在关于点 (a，0)的对称区间里具有相反的单调 性。 （特例：偶函数） (3) 利用单调函数的性质： 函数 f(x) 与 f(x) c(c 是常数 )是同向变化的 函数 f(x) 与 cf(x)(c是常数 ) ，当 c0 时，它们是同向变化的；当c0 时，它们是反向变化的。 如果函数 f1(x) ，f2(x) 同向变化，则函数f1(x) f2(x) 和它们同向变化；（函数相加） 如果正值函数 f1(x) ，f2(x) 同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2) 与 f2(x) 同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘） 函数 f(x) 与 1 ( )f x 在 f(x) 的同号区间里反向变化。 若函数 u(x) ，x ， 与函数 yF(u) ，u ( ) ，( ) 或 u ( ), () 同向变 化，则在 ， 上复合函数 yF (x) 是递增的；若函数u(x),x， 与函数 yF(u) ，u ( ) ，( ) 或 u ( ) ，( ) 反向变化，则在 ， 上复合函数 yF(x) 是递减 的。 （同增异减） 若函数 yf(x) 是严格单调的，则其反函数xf 1(y) 也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。 f(g ) g(x ) fg(x ) f(x)+g( x) f(x)*g( x) 都是 正数 增增增增增 增减减/ / 减增减/ / 减减增减减 7 如：求的单调区间yxxlog 1 2 2 2 （设，由则uxxux 2 2002 且，如图：log 1 2 2 11uux u O 1 2 x 当，时，又，xuuy(log01 1 2 当，时，又，xuuy)log12 1 2 ） 9. 如何利用导数判断函数的单调性？ 在区间，内，若总有则为增函数。（在个别点上导数等于abfxf x( )( )0 零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？fx( )0 如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大af xxaxa01 3 ( )值是（） A. 0 （令 fxxax a x a ()33 33 0 2 则或x a x a 33 由已知在，上为增函数，则，即f x a a( )1 3 13 a 的最大值为 3） 10. 函数 f(x) 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x) 定义域关于原点对称） 若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxf xf x()( )( ) 若总成立为偶函数函数图象关于轴对称fxf xf xy()( )( ) 注意如下结论： （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与 奇函数的乘积是奇函数。 （ ）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0 8 如：若 为奇函数，则实数f x aa a x x ( ) 22 21 （为奇函数，又，f xxRRf( )( )000 即 ，） aa a 22 21 01 0 0 又如：为定义在，上的奇函数，当，时，f xxf x x x ( )()()( )1101 2 41 求在，上的解析式。f x( )11 （令，则，xxfx x x 1001 2 41 () 又为奇函数，f xf x x x x x ( )( ) 2 41 2 14 又， ， ， ）ff x x x x x x x x ( )( ) () 00 2 41 10 0 2 41 01 11. 判断函数奇偶性的方法 一、定义域法 一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件. 若函数的 定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数. 二、奇偶函数定义法 在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算)( xf，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶 性. 这种方法可以做如下变形 f(x)+f(-x) =0 奇函数 f(x)-f(-x)=0 偶函数 f(x) 1 偶函数 f(-x) f(x) 1 奇函数 f(-x) 三、复合函数奇偶性 f(g) g(x) fg(x ) f(x)+g( x) f(x)*g( x) 奇奇奇奇偶 奇偶偶非 奇 非 偶 奇 偶奇偶非 奇 非奇 9 12. 你熟悉周期函数的定义吗？ （若存在实数（），在定义域内总有，则为周期TTf xTf xf x0( )( ) 函数， T是一个周期。） 如：若，则f xaf x( ) （答：是周期函数，为的一个周期）f xTaf x( )( )2 我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这 个函数周期 2t. 推导： ()()0 ()(2 ) ()(2 )0 fxfxt fxfxt fxtfxt ， 同时可能也会遇到这种样子： f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思： 函数 f(x) 关于直线对称，对称轴可以由括号内的2 个数字相加再除以2 得到。比如， f(x)=f(2a-x),或者 说 f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。 如： ( ) ()()()() ( )(2) (2)(2) ( )(2) 2,222 ,( )(22 ) ( )(22 ) ,( )2|(, , f xxaxb f axf axf bxf bx f xfax faxfbx f xfbx taxbxtba f tf tba f xf xba f xbaa b 又如：若图象有两条对称轴， 即， 令则 即 所以 函数以为周期 因不知道的大小关系 为保守起见 我加了一个绝对值 13. 你掌握常用的图象变换了吗？ f xfxy( )()与的图象关于轴 对称联想点（ x,y ）,(-x,y) f xf xx( )( )与的图象关于轴 对称联想点（ x,y ）,(x,-y) f xfx( )()与的图象关于 原点 对称联想点（ x,y ）,(-x,-y) f xfxyx( )( )与的图象关于 直线对称 1 联想点（ x,y ）,(y,x) f xfaxxa( )()与的图象关于 直线对称2联想点（ x,y ）,(2a-x,y) f xfaxa( )()()与的图象关于 点，对称20联想点（ x,y ）,(2a-x,0) 将图象 左移个单位 右移个单位 yf x a a a a yf xa yf xa ( ) () () () () 0 0 上移个单位 下移个单位 b b b b yf xab yf xab () () () () 0 0 （这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实 根本不用这么麻烦。 你要判断函数 y-b=f(x+a) 怎么由 y=f(x) 得到，可以直接令 y-b=0,x+a=0, 画出点的 偶 偶偶偶偶偶 10 坐标。 看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。） 注意如下“翻折”变换： ( )|( ) |x ( )(|)y f xf x f xfx 把 轴下方的图像翻到上面 把 轴右方的图像翻到上面 如：f xx( )log21 作出及的图象yxyxloglog 22 11 y y=log2x O 1 x 14. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？ (k0) y=b O (a,b) O x x=a （ ）一次函数：10ykxb k(k 为斜率， b 为直线与 y 轴的交点 ) （）反比例函数：推广为是中心，200y k x kyb k xa kOab() 的双曲线。 （ ）二次函数图象为抛物线30 2 4 4 2 2 2 yaxbxc aa x b a acb a 顶点坐标为，对称轴 b a acb a x b a2 4 42 2 开口方向：，向上，函数ay acb a 0 4 4 2 min ay acb a 0 4 4 2 ，向下， max 11 121212 2 ,| | b x a bc xxxxxx aaa 根的关系： 2 2 1212 1212 ( )() ( )()(mn ( )()()(,2 ( )()()(, )(, ) fxaxbxc fxa xmn fxa xxxxx x fxa xxxxhx hxh 二次函数的几种表达形式： 一般式 顶点式，（， ）为顶点 是方程的个根） 函数经过点（ 应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程 axbxcxxyaxbxcx 2 12 2 00，时，两根、为二次函数的图象与轴 的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。axbxc 2 00() 求闭区间 m ，n上的最值。 2 max(),min( ) 2 max( ),min() 2 2 2 4 min,maxmax(),( ) 4 m,n 0 b nff mff n a b mff nff m a b nm a cba fff mf n a a 区间在对称轴左边（） 区间在对称轴右边（） 区间在对称轴边 （） 也可以比较和对称轴的关系， 距离越远，值越大 ( 只讨论的情况） 求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 一元二次方程根的分布问题。 如：二次方程的两根都大于axbxck b a k f k 2 0 0 2 0( ) y (a0) O k x1x2x 一根大于，一根小于kkf k( )0 12 y O x k k 0 mn2 2 ()0 ( )0 mn()( )0 b mn a f m f n f m f n 在区间（， ）内有根 在区间（， ）内有 1根 （ ）指数函数：，401yaaa x （ ）对数函数，501yx aa a log 由图象记性质！（注意底数的限定！） y y=a x(a1) (0a1) 1 O 1 x (00时，f ( x)0， f (1) 2 求 f ( x)在区间 2,1 上的值域 . 分析：先证明函数 f （x）在 R上是增函数（注意到f （x2）f （x2 x 1）x1 f （x2 x 1）f （x 1） ） ；再根据区间求其值域 . 例 2 已知函数 f（x）对任意实数 x、y 均有 f （xy）2f（x）f（y） ，且当 x0 时，f ( x)2， f (3) 5 ，求不等式f （a 22a2）0,xN；f（ab） f （a）f （b） ，a、 bN；f （2）4. 同时成立？若存在，求出f （x）的解析式，若不存在，说明理由. 分析：先猜出 f （x）2 x；再用数学归纳法证明 . 例 6 设 f （x）是定义在（ 0，）上的单调增函数，满足f （xy）f （x）f （y） ，f （3） 1，求： （1）f （1） ； （2）若f（x）f（x8）2，求x的取值范围 . 分析： （1）利用 313； （2）利用函数的单调性和已知关系式. 例 7 设函数 y f （x）的反函数是 yg（x）. 如果 f （ab）f （a）f （b） ，那么 g（ab） g（a） g（b）是否正确，试说明理由. 分析：设 f （a）m ，f （b）n，则 g（m ）a，g（n）b， 进而 m nf （a）f （b） f （ab）f g（m ）g（n） . 例 8 已知函数 f （x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件： x1 、x 2是定义域中的数时，有f （x1 x 2） )()( 1)()( 12 21 xfxf xfxf ； f （a） 1（a0，a 是定义域中的一个数）； 当 0x2a 时，f （x）0. 15 试问： （1）f （x）的奇偶性如何？说明理由； （2）在（0，4a）上， f （x）的单调性如何？说明理由. 分析： （1）利用 f （x1x2） f （x1x2） ，判定 f （x）是奇函数； （3）先证明 f （x）在（ 0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数 . 对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意. 有些抽象函数 问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数. 因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求 特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题. 例 9 已知函数 f （x） （x0）满足 f （xy）f （x）f （y） ， （1）求证：f （1）f （1）0； （2）求证：f （x）为偶函数； （3）若 f （x）在（ 0，）上是增函数，解不等式f （x）f （x 2 1 ）0. 分析：函数模型为： f （x）lo ga| x| （a0） （1）先令 xy1，再令 xy 1； （2）令 y 1； （3）由 f （x）为偶函数，则 f （x）f （| x| ）. 例 10 已知函数 f （x）对一切实数 x、y 满足 f （0）0，f （xy）f （x） f （y） ，且当 x0 时，f （x）1，求证： （1）当 x0 时，0f （x）1； （2）f （x）在 xR上是减函数 . 分析： （1）先令 xy0 得 f （0）1，再令 yx； （3）受指数函数单调性的启发： 由 f （xy）f （x）f （y）可得 f （xy） )( )( yf xf ， 进而由 x1x2，有 )( )( 2 1 xf xf f （x1x2）1. 练习题： 1. 已知： f （xy）f （x）f （y）对任意实数 x、y 都成立，则（） （A）f （0）0 （B）f （0）1 （C）f （0）0 或 1 （D ）以上都不对 2. 若对任意实数 x、y总有f（xy）f（x）f（y） ，则下列各式中错误的是（ ） （A）f （1）0 （B）f （ x 1 ） f （x） （C）f （ y x ） f （x）f （y）（D）f （x n）nf （x） （nN ） 3. 已知函数 f（x）对一切实数 x、y 满足：f（0）0，f （xy）f （x）f（y） ，且当 x0