高中数列经典习题(含答案)

1、在等差数列an中,a1=250,公差d=2,求同时满足下列条件的所有an的和,(1)70n200;(2)n能被7整除.翰林汇2、设等差数列an的前n项和为Sn.已知a3=12, S120,S130.()求公差d的取值范围；()指出S1,S2,S12,中哪一个值最大,并说明理由.翰林汇3、数列是首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开始变为负的，回答下列各问：(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n项和为,求的最大值;(3)当是正数时,求n的最大值.翰林汇4、设数列的前n项和.已知首项a1=3,且+=2,试求此数列的通项公式及前n项和.5、已知数列的前n项和n(n1)(n2),试求数列的前n项和.6、已知数列是等差数列,其中每一项及公差d均不为零,设=0(i=1,2,3,)是关于x的一组方程.回答：(1)求所有这些方程的公共根;(2)设这些方程的另一个根为,求证, ,也成等差数列.7、如果数列中,相邻两项和是二次方程=0(n=1,2,3)的两个根,当a1=2时,试求c100的值.翰林汇8、有两个无穷的等比数列和,它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有,试求这两个数列的首项和公比.翰林汇9、有两个各项都是正数的数列,.如果a1=1,b1=2,a2=3.且,成等差数列, ,成等比数列,试求这两个数列的通项公式.10、若等差数列log2xn的第m项等于n，第n项等于m(其中mn)，求数列xn的前mn项的和。11、设an为等差数列,bn为等比数列,且a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3分别求出an及bn的前10项的和S10及T1012、已知等差数列an的前项和为Sn，且S13S6S14,a2=24(1)求公差d的取值范围；（2）问数列Sn是否成存在最大项，若存在求,出最大时的n，若不存在,请说明理由13、设首项为正数的等比数列，它的前n项和为80，前2n项的为6560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的首项和公比14、 设正项数列an的前n项和为Sn，且存在正数t，使得对所有正整数n，t与an的等差中项和t与Sn的等比中项相等，求证数列为等差数列，并求an通项公式及前n项和15、已知数列是公差不为零的等差数列，数列是公比为的等比数列，且求的值；求数列前项和.16、 若a、b、c成等差数列，且a1、b、c与a、b、c2都成等比数列，求b的值 答案：1、 解： a1=250, d=2, an=250+2(n1)=2n252同时满足70n200, n能被7整除的an构成一个新的等差数列bn.b1=a70=112, b2=a77=98, bn=a196=140其公差d=98(112)=14. 由140=112+(n1)14, 解得n=19bn的前19项之和.2、解： ()依题意,有 ，即由a3=12,得 a1=122d (3)将(3)式分别代入(1),(2)式,得 ，.()由d0可知 a1a2a3a12a13.因此,若在1n12中存在自然数n,使得an0,an+10,则Sn就是S1,S2,S12中的最大值.由于 S12=6(a6+a7)0, S13=13a70，即 a6+a70, a70.由此得 a6a70.因为a60, a70,故在S1,S2,S12中S6的值最大.3、 (1)由a6=235d0和a7=236d0,得公差d=4.(2)由a60,a70,S6最大, S6=8.(3)由a1=23,d=4,则=n(504n),设0，得n12.5,整数n的最大值为12.4、a1=3, S1=a1=3.在Sn+1Sn=2an+1中,设n=1,有S2S1=2a2.而S2=a1a2.即a1a2a1=2a2.a2=6. 由Sn+1Sn=2an+1,(1) Sn+2Sn+1=2an+2,(2)(2)(1),得Sn+2Sn+1=2an+22an+1，an+1an+2=2an+22an+1即 an+2=3an+1此数列从第2项开始成等比数列,公比q=3.an的通项公式an=此数列的前n项和为Sn=32323223n 1=3=3n.5、=n(n1)(n2)(n1)n(n1)=n(n1).当n=1时，a1=2,S1=1(11)(21)=2,a1= S1.则n(n1)是此数列的通项公式。1.6、 (1)设公共根为p,则则- ,得dp2+2dp+d=0,d0为公差,(p1)2=0.p=1是公共根.(直接观察也可以看出公共根为1).(2)另一个根为,则(1)=.+1= 即,易于证明是以为公差的等差数列.7、解由根与系数关系, =3n,则()()=3,即=3.a1,a3,a5和a2,a4,a6都是公差为3的等差数列,由a1=2,a1+a2=3,a2=5.则=3k2,a100=152, =3k5,a101=148,c100= a100 a101=224968、设首项分别为a和b,公比q和r. 则有.依据题设条件,有=1, =2, , 由上面的, 可得(1q)2=2(1r).令n=1,有(1q)2=2(1r),设n=2.则有(1q)2q2=2(1r)r, 由和,可得q2=r,代入 得(1q)2=2(1q2).由于q1,有q=,r =.因此可得a=1q=,b=2(1r)=.和经检验,满足的要求.9、依据题设条件,有由此可得=.0,则2。是等差数列.=.又 =,=10、2m+n-1翰林汇11、解：设an的公差为d，bn的公比为q，则：解得：12、解：(1)由题意： （2）由（1）知，a100,a10+a110,a100a11，又公差小于零，数列an递减，所以an的前10项为正，从第11项起为负，加完正项达最大值。n=10时，Sn最大。13、解：设该等比数列为an，且公比为q若q=1，则Sn=na1,S2n=2na1,与题意不符，故q1。两式相除，得1+qn=82，qn=81，q=a1+11，数列an为递增数列，前n项中最大的项为an=a1qn-1=解得：a1=2,q=314、证明：由题意：即 当n=1时， 当n2时，。因为an为正项数列，故Sn递增，不能对正整数n恒成立，即数列为等差数列。公差为，所以数列为等差数列，an通项公式为an=(2n