高中数学平面向量知识点总结

平面向量知识点总结平面向量知识点总结 第一部分：向量的概念与加减运算，向量与实数的积的运算。 一向量的概念： 1 向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。 2 向量的表示方法： （1） 几何表示法： 点射线 有向线段具有一定方向的线段 有向线段的三要素： 起点、方向、长度 记作（注意起讫） （2）字母表示法：AB可表示为a 3.模的概念：向量AB的大小长度称为向量的模。 记作：|AB| 模是可以比较大小的 4.两个特殊的向量： 1零向量长度（模）为 0 的向量，记作0。0的方向是任意的。 注意0与 0 的区别 2单位向量长度（模）为 1 个单位长度的向量叫做单位向量。 二向量间的关系： 1平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作：abc 规定：0与任一向量平行 2 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：a=b 规定：0=0 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示， 与起点无关。 3 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。 三向量的加法： 1定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。 注意： ；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2三角形法则： 强调： a b c a+b A A A B B B C C C a+b a+b a a b b b a a 1“向量平移” （自由向量） ：使前一个向量的终点为后一个向量的起 点 2可以推广到 n 个向量连加 3aaa00 4不共线向量都可以采用这种法则三角形法则 3.加法的交换律和平行四边形法则 1向量加法的平行四边形法则（三角形法则） ： 2向量加法的交换律：a+b=b+a 3向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c) 4.向量加法作图：两个向量相加的和向量，箭头是由始向量始端指向终向量 末端。 四向量的减法： 1.用“相反向量”定义向量的减法 1“相反向量”的定义：与 a 长度相同、方向相反的向量。记作 a 2规定：零向量的相反向量仍是零向量。(a) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (a) = 0 如果 a、b 互为相反向量，则 a = b, b = a, a + b = 0 3向量减法的定义：向量 a 加上的 b 相反向量，叫做 a 与 b 的差。 即：a b = a + (b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 2.用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若 b + x = a，则 x 叫做 a 与 b 的差，记作 a b 3.向量减法做图：AB表示 a b。强调：差向量“箭头”指向被减数 总结：1向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、 相等向量、共线向量 2向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律 五：实数与向量的积（强调： “模”与“方向”两点) 1.实数与向量的积 实数 与向量a 的积，记作：a 定义：实数 与向量a 的积是一个向量，记作：a 1|a |=| |a | 2 0 时a 与a 方向相同； 0(内分) (外分) 0 ( -1) ( 外分) 0 (-1 0 内分 0 外分 -1 若 P 与 P1重合， =0 P 与 P2重合 不存在 2 中点公式是定比分点公式的特例 3 始点终点很重要，如 P 分 21P P的定比 = 2 1 则 P 分 12P P的定比 =2 4 公式：如 x1, x2, x, 知三求一 十平面向量的数量积及运算律 （一）平面向量数量积 1定义：平面向量数量积（内积）的定义，a b = |a|b|cos， 并规定 0 与任何向量的数量积为 0。 2向量夹角的概念：范围 0180 P1 P1 P1 P2 P2 P2 P P P = 0 = 180 O O O O O O A A A A A A B B B B B B C 3注意的几个问题；两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 1两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos的符号所决 定。 2两个向量的数量积称为内积，写成 ab；今后要学到两个向量的外积 ab，而 ab 是两个数量的积，书写时要严格区分。 3在实数中，若 a0，且 ab=0，则 b=0；但是在数量积中，若 a0， 且 ab=0，不能推出 b=0。因为其中 cos有可能为 0。这就得性质 2。 4已知实数 a、b、c(b0)，则 ab=bc a=c。但是 ab = b c a = c 如右图：ab = |a|b|cos = |b|OA| bc = |b|c|cos = |b|OA| ab=bc 但 a c 5在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 显然，这是因为左端是与 c 共线的向量，而右端是与 a 共线的向量， 而一般 a 与 c 不共线。 （二）投影的概念及两个向量的数量积的性质： 1 “投影”的概念：作图 定义：|b|cos叫做向量 b 在 a 方向上的投影。 注意：1投影也是一个数量，不是向量。 2当为锐角时投影为正值； 当为钝角时投影为负值； 当为直角时投影为 0； 当 = 0时投影为 |b|； 当 = 180时投影为 |b|。 2向量的数量积的几何意义： 数量积 ab 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos的乘积。 3两个向量的数量积的性质： 设 a、b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量。 1ea = ae =|a|cos 2ab ab = 0 3当 a 与 b 同向时，ab = |a|b|；当 a 与 b 反向时，ab = |a|b|。 特别的 aa = |a|2或aaa | 4cos = |ba ba C O a A c b A O B B1 a b A O B B1 a b A O B (B1) a b 5|ab| |a|b| 十一. 平面向量的数量积的运算律 1. 交换律：a b = b a 2. 结合律：(a)b =(ab) = a(b) 3. 分配律：(a + b)c = ac + bc 十二. 平面向量的数量积的坐标表示 1.设 a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，x 轴上单位向量 i，y 轴上单位向量 j，则：i i = 1， jj = 1，ij = ji = 0 2.ab = x1x2 + y1y2 3.长度、角度、垂直的坐标表示 1a = (x, y) |a|2 = x2 + y2 |a| = 22 yx 2若 A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则AB= 2 21 2 21 )()(yyxx 3 cos = |ba ba 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx 4ab ab = 0 即 x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示原 则） 十三.平移 一、平移的概念：点的位置、图形的位置改变，而形状、大小没有改变，从而 导致函数的解析式也随着改变。这个过程称做图形的平移。 （作图、讲解） 一个平移实质上是一个向量 二、平移公式：设PP= (h, k)，即：PPOPOP (x, y) = (x, y) + (h, k) kyy hxx 平移公式 三、注意：1它反映了平移后的新坐标与原坐标间的关系 2知二求一 3这个公式是坐标系不动， 点P(x, y)按向量a = (h, k)平移到点P(x, y)。另一种平移是：点不动，把坐标系平移向量a，即： kyy hxx 。这两种变换使点在坐标系中的相对位置是一样 的， 这两个公式作用是一致的。 十四. 正弦定理 1正弦定理的叙述：在一个三角形中。各边和它所对角的正弦比相等 公式即： A a sin = B b sin = C c sin 它适合于任何三角形。 2可以证明 A a sin = B b sin = C c sin =2R （R 为ABC 外接圆半径） 3 每个等式可视为一个方程：知三求一 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1两角和任意一边，求其它两边和一角； 2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。 十五. 余弦定理 1余弦定理语言描述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 2. 余弦定理公式： Abccbacos2 222 Baccabcos2 222 Cabbaccos2