高中数学必修2第二章知识点总结

第 1 页 共 32 页 高中数学必修2 知识点总结 立体几何初步 特殊几何体表面积公式（c 为底面周长， h 为高， h为斜高， l 为母线） chS直棱柱侧面积 2 1 chS正棱锥侧面积)( 2 1 21 hccS正棱台侧面积 rhS2 圆柱侧lrrS2 圆柱表 rlS圆锥侧面积 lrrS圆锥表 lRrS)(圆台侧面积 22 RRlrlrS圆台表 柱体、锥体、台体的体积公式 VSh 柱 1 3 VSh 锥 1 () 3 VSS SS h 台 2 VShr h 圆柱hrV 2 3 1 圆锥 22 11 ()() 33 VSSSS hrrRRh 圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球 = 34 3 R ； S 球面 = 2 4 R 第二章直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面含义：平面是无限延展的 2 三个公理： （1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 符号表示为 AL BL = L A B 公理 1 作用： 判断直线是否在平面内. （2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为： A、B、C三点不共线 = 有且只有一个平面， 使 A、B、C。 公理 2 作用： 确定一个平面的依据。 （3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为： P = =L，且 PL 公理 3 作用： 判定两个平面是否相交的依据. 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交 直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行 直线：同一平面内，没有公共点； 异面 直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c 是三条直线 ab cb L A 2 C 2 B 2 A 2 P 2 L 共面直线 =ac 第 2 页 共 32 页 强调：公理4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用： 判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 4 注意点： a 与 b 所成的角的大小只由a、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角(0 ， ) ； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内有无数个公共点 （2）直线与平面相交 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a 来表示 a a=A a 2.2. 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为： 线线平行，则线面平行。 符号表示： a b = a ab 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号表示： a b ab = P a b 2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为： 线面平行则线线平行。 2 第 3 页 共 32 页 符号表示： a a ab = b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示： = a ab = b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义 ：如果直线 L 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L 与平面 互相垂直，记作L，直线 L 叫做平 面的垂线，平面 叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时, 它们唯一公共点P叫做垂足。 P a L 2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B 2、二面角的记法：二面角-l-或-AB- 3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 2.3.3 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2、两个平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 第三章直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向 与直线 向上方向 之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是0 180 （2）直线的斜率 定义： 倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tank。斜率 反映直线与轴的倾斜程度。 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 , =0, k = tan0=0; 当直线 l 与 x 轴垂直时 , = 90 , k 不存在 . 当 90,0时，0k；当180,90时，0k；当90时，k不存在。 第 4 页 共 32 页 过两点的直线的斜率公式： )( 21 12 12 xx xx yy k（ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2） 注意下面四点： (1) 当 21 xx 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90； (2) k 与 P1、P2的顺序无关； (3) 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4) 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 （3）直线方程 点斜式： )( 11 xxkyy直线斜率 k，且过点 11, y x 注意： 当直线的斜率为0时， k=0，直线的方程是y=y1。 当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l 上每一点的横坐标都等于x1，所 以它的方程是x=x1。 斜截式：bkxy，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b 两点式： 11 2121 yyxx yyxx （ 1212 ,xxyy）直线两点 11, y x， 22,y x 截矩式： 1 xy ab 其中直线l与x轴交于点( ,0)a,与y轴交于点(0, )b,即l与x轴、y轴的 截距 分别为,a b。 一般式：0CByAx（A，B 不全为 0） 注意： 1 各式的适用范围 2 特殊的方程如： 平行于 x 轴的直线： by （b 为常数）；平行于 y轴的直线： ax （a 为常数）； （6）两直线平行与垂直 当 111: bxkyl， 222 :bxkyl时， 212121 ,/bbkkll； 1 2121 kkll 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （7）两条直线的交点 0: 1111 CyBxAl0: 2222 CyBxAl相交 交点坐标即方程组 0 0 222 111 CyBxA CyBxA 的一组解。 方程组无解 21/ ll ；方程组有无数解 1 l与 2 l重合 （8）两点间距离公式：设 1122 (,),A x yB xy，（）是平面直角坐标系中的两个点， 则 22 2121|()()ABxxyy （9）点到直线距离公式：一点 00, y xP 到直线0: 1 CByAxl的距离 22 00 BA CByAx d （10）两平行直线距离公式 已知两条平行线直线 1 l和 2 l的一般式方程为 1 l：0 1 CByAx， 2 l：0 2 CByAx，则 1 l与 2 l的距离为 22 21 BA CC d 第四章圆与方程 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 2、圆的方程 （1）标准方程 222 rbyax，圆心ba,，半径为 r； 点 00 (,)M xy与圆 222 ()()xaybr的位置关系： 第 5 页 共 32 页 当 22 00 ()()xayb 2 r ，点在圆外当 22 00 ()()xayb = 2 r ，点在圆上 当 22 00 ()()xayb 2 r ，点在圆内 （2）一般方程 0 22 FEyDxyx 当04 22 FED时，方程表示圆，此时圆心为 2 , 2 ED，半径为 FEDr4 2 122 当 04 22 FED时，表示一个点； 当04 22 FED时，方程不表示任何图形。 （3）求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况： （1）设直线0:CByAxl，圆 2 22 :rbyaxC ，圆心baC,到 l 的距离为 22 BA CBbAa d ， 则有相离与Clrd； 相切与Clrd ； 相交与Clrd （2）过圆外一点的切线： k 不存在，验证是否成立k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到 方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程：圆 (x-a) 2+(y-b)2=r2，圆上一点为 (x 0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r 2 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（ d）之间的大小比较来确定。 设圆 2 2 1 2 11: rbyaxC ， 2 2 2 2 22: RbyaxC 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（ d）之间的大小比较来确定。 当rRd时两圆外离，此时有公切线四条； 当rRd时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当rRdrR时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当 rRd 时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当rRd时，两圆内含；当0d时，为同心圆。 注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 第一章空间几何体题 一、选择题 1有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个() 主视图左视图俯视图 ( 第 1 题) 第 6 页 共 32 页 A棱台B棱锥C棱柱D正八面体 2如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45 ，腰和上底均为 1的等腰梯形， 那么原平面图形的面 积是 () A22B 2 21 C 2 22 D21 3棱长都是1的三棱锥的表面积为() A3B23C33D43 4长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的 8 个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是() A25B50C125D都不对 5正方体的棱长和外接球的半径之比为( ) A31 B32 C23D33 6 在ABC 中， AB2， BC1.5， ABC120， 若使 ABC 绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是() A 2 9 B 2 7 C 2 5 D 2 3 7 若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为 5， 它的对角线的长分别是9和 15， 则这个棱柱的侧面积是() A130 B140 C150 D160 8如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为 3 的正方形， EFAB，EF 2 3 ，且 EF 与平面 ABCD 的距 离为 2，则该多面体的体积为() A 2 9 B5 C6 D 2 15 9下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误 的是 ( ) A用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形 B几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同 C水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D水平放置的圆的直观图是椭圆 10如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是() ( 第8题) 第 7 页 共 32 页 (第 10 题) 二、填空题 11一个棱柱至少有_个面，面数最少的一个棱锥有_个顶点，顶点最少的一个棱台有_条侧棱 12若三个球的表面积之比是123，则它们的体积之比是_ 13正方体ABCD A1B1C1D1 中， O 是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥OAB1D1 的体积为 _ 14如图， E，F 分别为正方体的面ADD1A1 、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是 _ (第 14 题) 15已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 、 3 、 6 ，则这个长方体的对角线长是_，它的体 积为 _ 16 一个直径为32 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后， 水面升高 9 厘米则此球的半径为_厘米 三、解答题 17有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别等于60 cm 和 40 cm，求它的深度 18 *已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比提示：过正方体的对角面作截面 第 8 页 共 32 页 19如图，在四边形ABCD 中， DAB90， ADC135， AB5，CD22，AD2，求四边形ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积 (第19题) 20养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐( 供融化高速公路上的积雪之用) ，已建的仓库的底面直径为12 m，高 4 m， 养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m( 高不变 ) ； 二是高度增加4 m( 底面直径不变 ) ( 1) 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； ( 2) 分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； ( 3) 哪个方案更经济些？ 第 9 页 共 32 页 第二章点、直线、平面之间的位置关系A 组 一、选择题 1设， 为两个不同的平面，l，m 为两条不同的直线，且l，m?，有如下的两个命题：若 ，则 lm； 若 lm，则 那么 () A是真命题，是假命题B是假命题，是真命题C都是真命题D都是假命题 2如图， ABCD A1B1C1D1为正方体，下面结论错误 的是 ( ) ABD平面 CB1D1 BAC1BD CAC1平面 CB1D1 D异面直线AD 与 CB1角为 60 3关于直线m，n 与平面， ，有下列四个命题： m，n且 ，则 mn；m，n且 ，则 mn； m，n且 ，则 mn；m，n且 ，则 mn 其中真命题的序号是() ABCD 4给出下列四个命题： 垂直于同一直线的两条直线互相平行垂直于同一平面的两个平面互相平行 若直线 l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行 若直线 l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线 其中假 命题的个数是 () A1 B2 C3 D4 5下列命题中正确的个数是() 若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l 若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线都平行 如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行 若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线都没有公共点 A0 个B1 个C2 个D3 个 6 两直线 l1与 l2异面，过 l1作平面与 l2平行，这样的平面() A不存在B有唯一的一个C有无数个D只有两个 7把正方形ABCD 沿对角线 AC 折起，当以A，B，C，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面 ABC 所成 的角的大小为 () A90B60C45D30 8下列说法中不正确的 是() (第 2 题) 第 10 页 共 32 页 A空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B同一平面的两条垂线一定共面 C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内 D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 9给出以下四个命题： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直 其中真命题的个数是() A4 B3 C2 D1 10异面直线a，b 所成的角 60 ，直线 ac，则直线 b 与 c 所成的角的范围为() A 30 ，90 B 60 ，90 C30 ，60 D 30 ，120 二、填空题 11已知三棱锥PABC 的三条侧棱P A，PB，PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，则这个三棱锥 的体积为 12P是ABC 所在平面外一点，过P 作 PO平面，垂足是 O，连 PA，PB，PC ( 1) 若 PAPBPC，则 O 为ABC 的心； ( 2) PAPB，PAPC，PCPB，则 O 是 ABC 的心； ( 3) 若点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等，则O 是 ABC 的心； ( 4) 若 PAPBPC， C90o，则 O 是 AB 边的点； ( 5) 若 PAPBPC，ABAC，则点 O 在 ABC 的线上 13如图， 在正三角形ABC 中，D，E，F 分别为各边的中点，G，H ，I，J 分别为 AF，AD，BE，DE 的中点，将 ABC 沿 DE，EF，DF 折成三棱锥以后， GH 与 IJ 所 成角的度数为 与 l 所成角的取14直线 l 与平面 所成角为 30 ，l A，直线 m ，则 m 值范围是 15棱长为 1 的正四面体内有一点P，由点 P 向各面引垂线，垂线段长度分别为d1，d2，d3，d4，则 d1d2d3d4的 值为 16直二面角l的棱上有一点A，在平面，内各有一条射线AB，AC 与 l 成 45 ，AB，AC，则BAC J ( 第 13 题) 第 11 页 共 32 页 三、解答题 17在四面体ABCD 中， ABC 与 DBC 都是边长为4 的正三角形 ( 1) 求证： BCAD； ( 2) 若点 D 到平面 ABC 的距离等于3，求二面角ABCD的正弦值； ( 3) 设二面角 ABCD 的大小为 ，猜想为何值时，四面体 ABCD 的体积 最大 ( 不要求证明 ) 18 如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中， AB2，BB1BC1，E 为 D1C1的中点，连结 ED，EC，EB 和 DB ( 1) 求证：平面EDB平面 EBC； ( 2) 求二面角 EDBC 的正切值 . 19*如图，在底面是直角梯形的四棱锥ABCD 中， ADBC， ABC90 ， SA面 ABCD，SAABBC， AD 2 1 ( 1) 求四棱锥 SABCD 的体积； ( 2) 求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值 ( 提示：延长BA，CD 相交于点E，则直线SE 是 所求二面角的棱.) ( 第 18 题) ( 第 17 题) 第 12 页 共 32 页 20*斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积( 提示：在AA1上取 一点 P，过 P 作棱柱的截面，使AA1 垂直于这个截面 .) ( 第 20 题) 第三章直线与方程A 组 一、选择题 1若直线 x1 的倾斜角为，则() A等于 0 B等于C等于 2 D不存在 2图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为 k1，k2，k3，则 () Ak1k2k3 Bk3k1k2 Ck3k2k1Dk1k3k2 3已知直线l1经过两点 ( 1， 2) 、( 1，4) ，直线 l2经过两点 ( 2，1) 、( x，6) ，且 l1l2，则 x( ) A2 B 2 C4 D1 4已知直线l 与过点 M(3，2) ，N(2，3) 的直线垂直，则直线l 的倾斜角是 () A 3 B 3 2 C 4 D 4 3 5如果 AC0，且 BC 0，那么直线AxByC0 不通过 () A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 6设 A，B 是 x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且| PA| | PB| ，若直线 PA 的方程为 xy10，则直线 PB 的方程 是() Axy50 B2xy10 C2yx40 D2xy70 7过两直线l1：x3y40 和 l2：2xy50 的交点和原点的直线方程为 () A19x9y0 B9x19y0 C19x3y 0 D3x19y0 ( 第 2 题) 第 13 页 共 32 页 8直线 l1：xa2y60 和直线 l2 : (a2) x3ay2a0 没有公共点，则a 的值是 () A3 B 3 C1 D 1 9将直线 l 沿 y 轴的负方向平移a( a0) 个单位， 再沿 x 轴正方向平移a1 个单位得直线l ，此时直线 l 与 l 重合， 则 直线 l 的斜率为 () A 1a a B 1 a a C a a1 D a a1 10点 ( 4，0) 关于直线 5x4y210 的对称点是 () A( 6，8)B(8， 6)C(6，8)D( 6， 8) 二、填空题 11已知直线 l1的倾斜角115 ，直线 l1与 l2的交点为 A，把直线 l2绕着点 A 按逆时针方向旋转到和直线 l1重合时所 转的最小正角为60 ，则直线 l2的斜率 k2的值为 12若三点 A( 2，3) ，B(3， 2) ，C( 2 1 ，m) 共线，则m的值为 13已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A( 0，1) ，B( 1，0) ，C( 3，2) ，求第四个顶点D 的坐标为 14求直线 3xay1 的斜率 15已知点 A( 2，1) ，B(1， 2) ，直线 y2 上一点 P，使 | AP| | BP| ，则 P 点坐标为 16与直线 2x3y50 平行，且在两坐标轴上截距的和为6 的直线方程是 17若一束光线沿着直线x2y50 射到 x 轴上一点，经x 轴反射后其反射线所在直线的方程是 三、解答题 18设直线 l 的方程为 ( m 22m3) x( 2m2m1)y2m6( mR，m 1) ，根据下列条件分别求 m 的值： l 在 x 轴上的截距是3；斜率为 1 19已知 ABC 的三顶点是A( 1，1) ，B( 3，1) ，C( 1，6) 直线 l 平行于 AB，交 AC，BC 分别于 E，F， CEF 的面积是 CAB 面积的 4 1 求直线 l 的方程 第 14 页 共 32 页 20一直线被两直线l1：4xy60，l2：3x5y60 截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程 . 21直线 l 过点 ( 1，2) 和第一、二、四象限，若直线l 的横截距与纵截距之和为6，求直线 l 的方程 第四章圆与方程 一、选择题 1若圆 C 的圆心坐标为 ( 2， 3) ，且圆 C 经过点 M( 5，7) ，则圆 C 的半径为 () A5B5 C25 D10 2过点 A(1， 1) ，B( 1，1) 且圆心在直线xy20 上的圆的方程是 () A( x3) 2( y1)24 B( x3) 2( y1)24 C( x1) 2( y 1)24 D( x1) 2(y1)24 3以点 ( 3，4) 为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是() A( x3) 2( y4)216 B( x3) 2( y4)216 C( x3) 2( y4)29 D( x3) 2(y4)219 4若直线 xym0 与圆 x2y2m 相切，则 m 为( ) A0 或 2 B2 C2D无解 5圆 ( x1) 2( y2)2 20 在 x 轴上截得的弦长是 () A8 B6 C62D43 6两个圆 C1：x 2y22x2y20 与 C 2：x 2y2 4x2y10 的位置关系为 ( ) A内切B相交C外切D相离 7圆 x2y22x50 与圆 x2y 22x4y40 的交点为 A，B，则线段 AB 的垂直平分线的方程是 () Axy10 B2xy10 Cx2y10 Dxy10 8圆 x2y22x0 和圆 x2y24y0 的公切线有且仅有 () 第 15 页 共 32 页 A4 条B3 条C2 条D1 条 9在空间直角坐标系中，已知点M( a，b，c) ，有下列叙述： 点 M 关于 x 轴对称点的坐标是M1( a， b， c) ；点 M 关于 yoz 平面对称的点的坐标是M2( a， b， c)； 点 M 关于 y 轴对称的点的坐标是M3( a， b，c) ；点 M 关于原点对称的点的坐标是M4( a， b， c) 其中正确的叙述的个数是() A3 B2 C1 D0 10空间直角坐标系中，点A( 3，4，0) 与点 B( 2， 1，6) 的距离是 () A243B221C9 D86 二、填空题 11圆 x2y22x2y10 上的动点 Q 到直线 3x4y80 距离的最小值为 12圆心在直线yx 上且与 x 轴相切于点 ( 1，0) 的圆的方程为 13以点 C( 2，3) 为圆心且与y轴相切的圆的方程是 14两圆 x2y21 和(x4) 2( ya)225 相切，试确定常数 a 的值 15圆心为 C( 3， 5) ，并且与直线x7y20 相切的圆的方程为 16设圆 x2y24x50 的弦 AB 的中点为 P( 3，1) ，则直线 AB 的方程是 三、解答题 17求圆心在原点，且圆周被直线3x4y150 分成 12 两部分的圆的方程 18求过原点，在x轴， y 轴上截距分别为a，b 的圆的方程 ( ab0) 第 16 页 共 32 页 19求经过A( 4，2) ，B( 1，3) 两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2 的圆的方程 20求经过点 (8， 3) ，并且和直线x6 与 x10 都相切的圆的方程 期末测试题 考试时间： 90 分钟试卷满分： 100 分 一、选择题：本大题共14 小题，每小题4 分，共 56 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1在直角坐标系中，已知A(1，2) ，B( 3，0) ，那么线段AB 中点的坐标为 () A( 2，2)B(1，1)C( 2， 2)D( 1， 1) 2右面三视图所表示的几何体是() A三棱锥 B四棱锥 C五棱锥 D六棱锥 3如果直线x2y10 和 ykx 互相平行，则实数k 的值为 () A2 B 2 1 C 2 D 2 1 4一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为() 正视图侧视图 俯视图 ( 第 2 题) 第 17 页 共 32 页 A1 B2 C3 D4 5下面图形中是正方体展开图的是() A B C D ( 第 5 题) 6圆 x2y22x4y40 的圆心坐标是 ( ) A( 2，4)B( 2， 4)C(1，2)D( 1，2) 7直线 y2x1 关于 y轴对称的直线方程为() Ay 2x1 By2x1 Cy 2x1 Dy x1 8已知两条相交直线a，b，a平面，则 b 与的位置关系是 () Ab平面Bb平面Cb平面Db 与平面相交，或b平面 在空间中， a，b 是不重合的直线， 是不重合的平面，则下列条件中可推出ab 的是 () Aa，b， Ba ，bCa，bDa ，b 10 圆 x2y21 和圆 x2y26y50 的位置关系是 ( ) A外切B内切C外离D内含 11如图，正方体ABCDABCD 中，直线 DA 与 DB 所成的角可以表示为 () A DDB B AD C C ADB D DBC 12 圆( x1) 2( y1)22 被 x轴截得的弦长等于 () A 1 B 2 3 C 2 D 3 13如图，三棱柱A1B1C1ABC 中，侧棱 AA1底面 A1B1C1，底面三 角形 A1B1C1是正三角形， E 是 BC 中点，则下列叙述正确的是 () ACC1与 B1E 是异面直线 BAC平面 A1B1BA C BA D A B C D ( 第 11题) A1 B1 C1 A B E C ( 第 13 题) 第 18 页 共 32 页 CAE，B1C1为异面直线，且 AEB1C1 DA1C1平面 AB1E 14有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为4 cm，高为 12 cm现要为 100 个这种相同规格的笔筒涂色( 笔筒内外均要 涂色，笔筒厚度忽略不计) 如果每 0.5 kg 涂料可以涂1 m 2，那么为这批笔筒涂色约需涂料 A1.23 kg B1.76 kg C2.46 kg D3.52 kg 二、填空题： 本大题共 4 小题，每小题4 分，共 16 分把答案填在题中横线上 15坐标原点到直线4x3y120 的距离为 16以点A( 2，0) 为圆心，且经过点B( 1，1) 的圆的方程 是 17如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，棱锥 A1 ABCD 的 体 积 与 长方体的体积之比为_ 18在平面几何中， 有如下结论： 三边相等的三角形内任意一点到 三 边 的距离之和为定值拓展到空间，类比平面几何的上述结论，可得：四个面均为等边三角形的四面体内任意一点 _ 三、解答题： 本大题共 3 小题，共 28 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 19已知直线l 经过点 ( 0， 2) ，其倾斜角是60 ( 1) 求直线 l 的方程； ( 2) 求直线 l 与两坐标轴围成三角形的面积 20如图，在三棱锥PABC 中， PC底面 ABC， ABBC，D，E 分别是 AB，PB 的中点 ( 1) 求证： DE平面 PAC； ( 2) 求证： ABPB； ( 3) 若 PCBC，求二面角PABC 的大小 A B C D D1 C1 B1 A1 ( 第 17题) A C P B D E ( 第 20题) 第 19 页 共 32 页 21已知半径为5 的圆 C 的圆心在 x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x3y290 相切 ( 1) 求圆 C 的方程； ( 2) 设直线 axy50 与圆 C 相交于 A，B 两点，求实数a 的取值范围； ( 3)在( 2) 的条件下，是否存在实数a，使得过点P( 2，4) 的直线 l 垂直平分弦AB？若存在，求出实数a 的值；若不 存在，请说明理由 期末测试题 参考答案 一、选择题 1B 2D 3D 4C 5A 6D 7A 8D 9C 10A 11D 12C 13C 14D 二、填空题 15 5 12 16( x 2) 2y210 171: 3 18到四个面的距离之和为定值 三、解答题 19解：( 1) 因为直线 l 的倾斜角的大小为60 ,故其斜率为tan 60 3，又直线 l 经过点 ( 0，2) ，所以其方程为3x y20 ( 2) 由直线 l 的方程知它在x 轴、 y 轴上的截距分别是 3 2 ， 2， 所以直线 l 与两坐标轴围成三角形的面积S 2 1 2 3 2 22 3 32 20(1) 证明：因为D，E 分别是 AB，PB 的中点， 所以 DEP A A C P B D E ( 第 20题) 第 20 页 共 32 页 因为 PA平面 P AC，且 DE平面 PAC， 所以 DE平面 PAC ( 2) 因为 PC平面 ABC，且 AB平面 ABC， 所以 ABPC又因为 ABBC，且 PCBCC 所以 AB平面 PBC 又因为 PB平面 PBC， 所以 ABPB ( 3) 由( 2) 知， PBAB，BCAB， 所以， PBC 为二面角 PABC 的平面角 因为 PCBC， PCB90 ， 所以 PBC45 ， 所以二面角PABC 的大小为 45 21解： (1) 设圆心为 M( m，0)( mZ) 由于圆与直线4x3y290 相切，且半径为5，所以， 5 294m 5， 即| 4m29| 25 因为 m 为整数，故m1 故所求的圆的方程是( x1) 2y225 ( 2) 直线 axy50 即 yax5代入圆的方程，消去y 整理，得 ( a21) x22( 5a1) x10 由于直线 axy50 交圆于 A，B 两点，故 4( 5a1) 24( a21) 0， 即 12a25a0，解得 a0，或 a 12 5 所以实数 a 的取值范围是 ( ， 0) ( 12 5 ， ) ( 3) 设符合条件的实数a 存在，由 ( 2) 得 a0，则直线l 的斜率为 a 1 ，l 的方程为y a 1 ( x2) 4， 即 xay2 4a0由于 l 垂直平分弦AB，故圆心 M( 1，0)必在 l 上所以 1024a0，解得 a 4 3 由于 4 3 ( 12 5 ， ) ， 故存在实数a 4 3 ，使得过点 P( 2，4) 的直线 l 垂直平分弦AB 第一章空间几何体参考答案A 组 第 21 页 共 32 页 一、选择题 1A 解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台 2A 解析： 原图形为一直角梯形，其面积S 2 1 ( 1 21) 3 222 3A 解析： 因为四个面是全等的正三角形，则S 表面43 4 3 3 4B 解析： 长方体的对角线是球的直径， l 222 54352，2R52，R 2 25 ，S4 R 250 5C 解析： 正方体的对角线是外接球的直径 6D 解析： VV大V 小 3 1 r2( 11.51) 2 3 7D 解析： 设底面边长是a，底面的两条对角线分别为l1，l2，而 2 1l 15252， 2 2l 9252， 而 2 1 l 2 2 l4a 2，即 1525292524a2，a8，S 侧面43 83 5160 8D 解析： 过点 E，F 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱， V23 3 1 3 4 3 3 33 2 2 1 3 33 23 2 3 2 15 9B 解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度 为原来的一半平行于z 轴的线段的平行性和长度都不变 10D 解析： 从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选D. 二、填空题 11参考答案： 5，4，3 解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台 12参考答案： 12233 r1r2r3123， 3 1 r 3 2 r 3 3 r1 3( 2) 3( 3) 312 233 13参考答案： 3 6 1 a 解析： 画出正方体，平面AB1D1与对角线A1C 的交点是对角线的三等分点， 三棱锥 OAB1D1的高 h 3 3 a， V 3 1 Sh 3 1 3 4 3 3 2a23 3 3 a 6 1 a3 另法：三棱锥OAB1D1也可以看成三棱锥AOB1D1，它的高为AO，等腰三角形OB1D1为底面 14参考答案： 平行四边形或线段 15参考答案：6，6 解析： 设 ab2，bc3，ac6，则 V = abc6，c3，a2，b1， 第 22 页 共 32 页 l1236 16参考答案： 12解析： VSh r2h 3 4 R3，R 3 2764312 三、解答题 17参考答案： V 3 1 ( SSS S)h，h SSSS V 3 600140026003 00019033 75 18参考答案： 如图是过正方体对角面作的截面设半球的半径为R，正方体的棱长为a，则 CCa，OC 2 2 a，OCR ( 第 18 题) 在 RtCCO中，由勾股定理，得CC 2OC2OC 2， 即 a2( 2 2 a) 2R2 R 2 6 a， V 半球 2 6 a 3 ，V正方体a 3 V半球V正方体6 2 19参考答案： S表面S下底面S台侧面S锥侧面 3 52 3 ( 25) 3 5 3 23 22 ( 6042) VV 台V锥 3 1 ( 2 1rr1r2 2 2r) h 3 1 r 2h 1 3 148 20 解： ( 1)参考答案： 如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体积 V1 3 1 Sh 3 1 3 3 ( 2 16 ) 23 4 3 256 ( m3) C A C O A 第 23 页 共 32 页 如果按方案二，仓库的高变成8 m，则仓库的体积 V2 3 1 Sh 3 1 3 3 ( 2 12 ) 23 8 3 288 ( m 3) ( 2)参考答案： 如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m 棱锥的母线长为l 22 4845， 仓库的表面积S1 3 83 45325 ( m2) 如果按方案二，仓库的高变成8 m 棱锥的母线长为l 22 6810， 仓库的表面积S2 3 63 1060 ( m2) ( 3)参考答案： V2V1，S2S1，方案二比方案一更加经济些 第二章点、直线、平面之间的位置关系参考答案A 组 一、选择题 1D 解析：命题有反例，如图中平面 平面直线 n， l?，m?， 且 ln，mn，则 ml，显然平面不垂直平面 ，( 第 1 题) 故是假命题；命题显然也是假命题， 2D 解析：异面直线AD 与 CB1角为 45 3D 解析：在、的条件下，m，n 的位置关系不确定 4D 解析：利用特殊图形正方体我们不难发现均不正确，故选择答案D 5B 解析：学会用长方体模型分析问题，A1A 有无数点在平面 ABCD外，但 AA1与 平面 ABCD 相交，不正确； A1B1平面 ABCD，显然 A1B1不平行于BD ， 不 正 确； A1B1AB，A1B1平面ABCD，但 AB?平面 ABCD 内，不正确；l 与平面 平行，则l 与无公共点， l 与平面内的所有直线都没有公共点，正确，应选 B(第 5 题) 6B 解析：设平面过 l1，且 l2 ，则 l1上一定点P 与 l2 确定一平面，与的交线