等腰三角形常用辅助线专题练习（含答案）

等腰三角形常用辅助线专题练习,（含答案）,1.如图：已知，点D、E在三角形ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE。,证明：作AFBC，垂足为F，则AFDE。,AB=AC，AD=AE,又AFBC，AFDE，,BF=CF，DF=EF,（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。,BD=CE.,F,2.如图，在三角形ABC中，AB=AC,AF平行BC于F，D是AC边上任意一点，延长BA到E，使AE=AD，连接DE，试判断直线AF与DE的位置关系，并说明理由,解：AFDE理由：,延长ED交BC于G，,AB=AC，AE=AD,B=C，E=ADE,B+E=C+ADE,ADE=CDG,B+E=C+CDG,B+E=DGC，C+CDG=BGE，BGE+CGD=180,BGE=CGD=90,EGBC,G,AFBC,AFDE,G,F,解法2：,过A点作ABC底边上的高，,再用BAC=D+AED=2ADE,即CAG=AED,证明AGDE,利用AFBC证明AFDE,3.如图，ABC中，BA=BC,点D是AB延长线上一点，DFAC交BC于E,求证：DBE是等腰三角形。,证明：在ABC中，BA=BC，,A=C，,DFAC，C+FEC=90，A+D=90，,FEC=D,FEC=BED，BED=D，,BD=BE，即DBE是等腰三角形,4.如图，ABC中，AB=AC,E在AC上，且AD=AE,DE的延长线与BC相交于F。求证：DFBC.,证明：AB=AC，B=C，,又AD=AE，D=AED，,B+D=C+AED，B+D=C+CEF，,EFC=BFE=180=90，DFBC；,若把“AD=AE”与结论“DFBC”互换，结论也成立。,若把条件“AB=AC”与结论“DFBC”互换，结论依然成立。,5.如图，AB=AE,BC=ED,B=E,AMCD,求证：CM=MD.,证明：,连接AC,AD,AB=AE,B=E,BC=ED,ABCAED(SAS),AC=AD,AMCDAMC=AMD=90AM=AM(公共边)RTACMRTADM(HL),CM=DM,6.如图，已知AD是ABC的中线，BE交AC于F,且AE=EF,求证：BF=AC,证明：,过B点做AC的平行线,交AD的延长线于G点,AD为中线，BD=CD,BG平行于AC，,FGB=CAF，DBG=ACD,在AFE和GFB中,FGB=CAF，GFB=AFE,AFEGFB,FGB=FAE,AE=EF,FAE=AFE,BFG=G,GFB为等腰三角形，且BF=BG,在ADC和GBD中,DBG=ACD，BD=CD，BDG=CDA,ADCGBD,BG=AC,BF=AC,7.已知：如图，ABC(ABAC)中，D、E在BC上，且DE=EC,过D点作DFBA,交AE于点F,DF=AC,求证：AE平分BAC,证明：,延长AE，过D作DMAC交AE延长线于M,M=1,C=2,在DEM与CEA中,M=1,C=2,DE=CE,DEMCEA,DM=CA,又DF=CA,DM=DF,M=3,ABFD,3=4,4=1,AE平分BAC,8.已知：如图，ABC中，AB=AC,在AB上取一点D,在延长线上取一点E,连接DE交BC于点F,若F是DE中点。求证：BD=CE,证明：,过D作DFAC交BC于F，,DFAC（已知），,DFC=FCE，DFB=ACB（平行线的性质）,AB=AC（已知），,B=ACB（等边对等角），,B=DFB（等量代换），,BD=DF（等角对等边），,BD=CE（已知），,DF=CE（等量代换），,DFC=FCE，DGF=CGE（已证），,DFGECG（AAS），,DG=GE（对应边相等）,9.已知：如图，在ABC中，AB=AC=CE,B是AD上一点，BECB交CD于E,ACDC,求证：BE=1/2BC,证明：过点A作AFBC交BC于点F,ABC是等腰三角形，AB=AC，ABF=ACF（1）,AF是BC上的垂直平分线，AFBC，BF=CF=BC/2（2）,BEBC，BE/AF,DBE=BAF（3）,CBE=90,DBE+ABF=90=ACF+ECB（4）,由（1）和（4）知道：DBE=ECB（5）,又AB=CE，BFA=EBC=90,由（3）和（5）知道：BAF=ECB,RTBFARTEBC（角角边）,BF=EB（6）,由（2）和（6）知道：BE=BC/2,10.如图，AD为ABC的角平分线，M为BC的中点，MEDA交BA延长线于E,求证：BE=CF=1/2(AB+AC),证明：,（1）延长EM，使EM=MG，连接CG,G,点M是BC的中点,BM=CM,BME=CMG,BMECMG（SAS),BE=CG,E=G,AD平分BAC,BAD=CAD,MEDA,BAD=E，CAD=AFE,E=AFE，AE=AF,AFE=CFG，G=CFG,CF=CG，BE=CG，BE=CF,(2)BE=AB+AE，2BE=2AB+2AE,CF=BE，AC=CF+AF，AE=AF,2BE=2CF=AB+(AB+AE)+AE=AB+BE+AE=AB+(CF+AE),AC=AF+CF,2BE=AB+AC,BE=CF=1/2(AB+AC),11.如图，已知ABC中，ADBC,ABC=2C.试说明AB+BD=CD的理由。,证明：在DC上截取DE=BD，连接AE,E,ADBC,ADB=ADE=90,AD=ADRTADBRTADE（SAS),AB=AE，ABC=AEB,AEB=C+EACABC=2C（已知）EAC=C,AE=CE，AB=CE,CD=CE+DE，AB+BD=CD,12.已知：如图，AD是ABC的角平分线，且AC=AB+BD.求证：B=2C.,证明：在AC上作AEAB，连结DE,E,AC=AB+BDAE+CE,BDCE,AD是角平分线,BADEAD,又AB=AE，AD=ADABDEADBAED，BDDECE,EDC=C，AED2C,即:B2C,13.如图所示，已知在ABC中AD是A的平分线，且B=2C.求证：AC=AB+BD.,证明：延长AB到E，使AC=AE，连接DE,E,AD是BAC的角平分线,BAD=DAC（角平分线的定义）,公共边AD=ADAC=AEBAD=DAC,ACDAED(SAS),ACB=DEA（全等三角形形的对角相等）,BDE+DEB=CBACBA=2ACBACB=DEA,BDE=DEA,BD=BE（等角对等边）,AB+BE=AEAC=AEBD=BE,AB+BD=AC,14.如图，点E是等边ABC内一点，且EA=EB,ABC外一点D满足BD=AC,且BE平分BDE。求BDE的度数,解：连接CE，,AC=BC，AE=BE，CE为公共边，,BCEACE，,BCE=ACE=30,又BD=AC=BC，DBE=CBE，BE为公共边，,BDEBCE，,BDE=BCE=30,15.如图，已知在ABC中，AB=BC=CA,E是AD上一点，并且EB=BD=DE.求证：BD+DC=AD.,A,B,C,D,E,提示：证明ABEBCD即可,16.已知：如图，ABC中，C=90，CMAB于M,AT平分BAC交CM于D,交BC于T,过D作DEAB交BC于E，求证：CT=BE,证明1：,作DFBC交AB于F,则:,F,AFD=B=ACD,AT为BAC的角平分线,AD为公共边,AFDACD,AF=AC,AF=AC,AT为BAC的角平分线,AT为公共边,ACTAFT,TFAF,TFCM,DFCTBE,TFCD,DEBF,四边形CTFD和四边形BEDF都是平行四边形,C