垂径定理推论

,垂直于弦的直径（二）,垂径定理,定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.,CDAB,如图CD是直径,AM=BM,推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。,课堂讨论,根据已知条件进行推导：过圆心垂直于弦平分弦平分弦所对优弧平分弦所对劣弧,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。,（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。,（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。,三个命题,命题一：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。,命题三：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。,命题二：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。,根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直线来说，如果具备：,那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。,注意要点,经过圆心,垂直于弦,平分弦,平分弦所对的优弧,平分弦所对的劣弧,垂径定理及逆定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.,挑战自我垂径定理的推论,如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所平的弧相等吗?,老师提示:这两条弦在圆中位置有两种情况:,垂径定理的推论圆的两条平行弦所夹的弧相等.,1.平分已知弧AB.,你会四等分弧AB吗?,A,B,6.AB为O的直径,点C是O上半圆一个动点,弦CDAB,OCD的平分线交O于点P,则点P的位置(),A.到CD得距离保持不变B.位置不变C.随点C移动而移动D.等分弧BD,B,8.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10,0)，点B的坐标为(8,0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形求点C的坐标,E,F,7.已知O的半径为5,点P是圆内一点,且OP=4,则经过点P的最长的弦和最短的弦长分别为_.经过点P的长度为整数的弦共有_条.,10,6,8,j,问题2,(1)如图,已知O的半径为6cm,弦AB与半径OA的夹角为30,求弦AB的长.,O,A,O,C,A,B,M,(2)如图,已知O的半径为6cm,弦AB与半径OC互相平分,交点为M,求弦AB的长.,6,30,E,B,（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米，桥拱的跨度AB=16米，则拱高为米。,C,D,4,O,船能过拱桥吗?,例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？,船能过拱桥吗,解:如图,用表示桥拱,所在圆的圆心为O,半径为Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是的中点,CD就是拱高.由题设得,在RtOAD中，由勾股定理，得,解得R3.9（m）.,在RtONH中，由勾股定理，得,此货船能顺利通过这座拱桥.,1.过o内一点M的最长的弦长为10,最短弦长为8,那么o的半径是,2.已知o的弦AB=6,直径CD=10,且ABCD,那么C到AB的距离等于,3.已知O的弦AB=4,圆心O到AB的中点C的距离为1,那么O的半径为,4.如图,在O中弦ABAC,OMAB,ONAC,垂足分别为M,N,且OM=2,0N=3,则AB=,AC=,OA=,B,A,M,C,O,N,5,1或9,6,4,Cm,E,小结:,解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。,E,.,A,C,D,B,O,.,A,B,O,再见,赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？,问题？,O,A,B,例1：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？,问题？,O,A,B,r,练习：5.在中，、AC为互相垂直且相等的两条弦，于，于求证：四边形是正方形,1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.,C,D,知识延伸,在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽AB=600mm，求