常见曲面及其方程PPT课件

高等数学,第七章向量代数与空间解析几何,7.4常见曲面及其方程,7.4常见曲面及方程,7.4常见曲面及其方程,四、椭圆锥面、椭球面、双曲面、抛物面,三、绕坐标轴旋转的旋转曲面,二、母线平行于坐标轴的柱面,一、球面,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,本节介绍的曲面的方程都是三元二次方程，,三元二次方程表示的曲面统称为二次曲面.,一、球面,到一个定点的距离为定数的点的集合叫作球面，,这个定点,称为球心，,这个定数称为球的半径.,求它的方程.,故所求方程为,即,设球面上任一点为,则有,特别,当球心在坐标原点时,球面方程为,7.4常见曲面及方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,一般说来，,如下形式的三元二次方程,都可通过配完全平方的方法来研究它的图形.,其图形可能是,一个球面,或点,或虚轨迹,7.4常见曲面及方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹,叫做柱面.,定曲线C叫做准线,动直线l叫做母线.,二、母线平行于坐标轴的柱面,而在三维空间中则表示一张曲面.,设有方程,它在xOy面上表示一条曲线C，,这是因为，,点M的坐标就满足方程(1)，,则过点M且平行于z轴的直线上的,所以，,在空间中方程(1)就表示以C为准线，母线平行于z轴的柱面.,7.4常见曲面及方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,同理，,方程,其母线平行于x轴，,准线为yoz面上的曲线l2.,在空间中表示柱面，,其母线平行于y轴，,在空间中表示柱面，,方程,准线xoz面上的曲线l3.,7.4常见曲面及方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,母线平行于z轴的圆柱面.,表示准线是xoy面上的单位圆，,准线分别为坐标面上的圆、椭圆、抛物线和双曲线，,母线平行,于坐标轴的柱面，,分别称为圆柱面、椭圆柱面、抛物柱面及双,曲柱面，,统称为二次柱面.,方程,母线平行于y轴的椭圆柱面.,表示准线是zox面上的椭圆，,方程,7.4常见曲面及方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,方程,母线平行于z轴的双曲柱面.,表示是以xoy面上的双曲线C:,为准线，,母线平行于x轴的抛物柱面.,表示是以yOz面上的抛物线,为准线，,方程,7.4常见曲面及方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,三、绕坐标轴旋转的旋转曲面,定义：,一条平面曲线绕其所在平面上一条定直线旋转一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转轴.,例如:,7.4常见曲面及方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:,得旋转曲面方程为,当绕z轴旋转时,设,则有,则有,该点转到,给定yoz面上曲线C:,有,且M和M1到z轴距离相等,7.4常见曲面及方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,思考：,当yoz面上曲线C绕y轴旋转时，方程如何？,yOz面上曲线,绕z轴旋转而成的旋转曲面的方程为：_,例如：,绕y轴旋转而成的旋转曲面的方程为：_,7.4常见曲面及方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,注记：,求坐标面内的曲线绕此坐标面内一个坐标轴旋转一周而成的,旋转曲面的方程：,只要将坐标面内的曲线方程保持与旋转轴同名的变量不变，,另一变量用剩下的两个变量的平方和的平方根代替即可.,其它坐标面内曲线绕其坐标轴旋转类似可得.,zOx面上曲线,绕z轴旋转而成的旋转曲面的方程为：_,如：,7.4常见曲面及方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,已知旋转曲面的方程，,反过来，,如：,7.4常见曲面及方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,可以看出它的旋转轴及它是由哪条曲线旋转得来的？,已知旋转曲面的方程为：,则它的旋转轴为：,z轴，,它可以看成是,或它可看成是,则,常见的旋转曲面是坐标面上的直线、圆、椭圆、抛物线和双,曲线等绕该坐标面上的坐标轴旋转一周形成的.,直线绕另一条与它相交的直线旋转一周所得的旋转曲面叫做,圆锥面,两直线的交点叫圆锥面的顶点，,两直线的夹角,叫圆锥面的半顶角,例如，,将yoz面上直线,绕z轴旋转一周所形成的圆锥面,的方程为：,或,7.4常见曲面及方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,将yOz面上抛物线,绕z轴旋转一周所形成的旋转曲面叫旋转抛物面.,它的方程为：,绕y轴旋转一周所形成的旋转曲面叫旋转椭球面.,将xOy面上椭圆,它的方程为：,或,7.4常见曲面及方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,将yOz面上双曲线,绕实轴(y轴)旋转一周所形成的旋转曲面叫旋转双叶双曲面(图1).,它们的方程分别是：,绕虚轴(z轴)旋转一周所形成的旋转曲面叫旋转单叶双曲面(图2).,或,(图1),(图2),7.4常见曲面及方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,下面讨论不在坐标面上的直线绕坐标轴旋转的情况：,对于此圆上任意一点,则有,从,解得,7.4常见曲面及方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,将,代入(*)式的第一个方程得,这就是所求的旋转曲面的方程.,可见，,已知直线,求直线L绕z轴旋转而成的曲面的方程：,只要由L的方程组解出x,y用z表示，,如,则旋转曲面的方程为：,求直线L绕x轴或y轴旋转而成的旋转曲面的方程类似处理.,7.4常见曲面及方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,例如，,由方程,解得,则所求的旋转曲面方程为,即,若由方程,解出,即为直线绕x轴的旋转而成曲面的方程.,则,7.4常见曲面及方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,四、椭圆锥面、椭球面、双曲面、抛物面,(也称截线或截痕)的形状，,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，,从而了解曲面的全貌,然后加以综合，,考察其交线,这种方法叫截痕法.,下面就用这种方法考察几类方程表示的曲面.,7.4常见曲面及方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,1.椭圆锥面,方程,为正数),(方程中三个变量可互换位置)所表,椭圆锥面的形状与为圆锥面相类似.,与垂直于z轴(即与xOy面平行)的平面的交线为椭圆,与xOy面只交于原点，,示的曲面叫椭圆锥面.,与yOz面或zOx面的交线为两条相交直线.,7.4常见曲面及方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,2.椭球面,为正数),(1)范围：,(2)与坐标面交线或平行坐标面的平面的交线(若存在)是椭圆.,(3)当ab时为旋转椭球面;,当abc时为球面.,椭球面的形状与旋转椭球面的形状类似.,7.4常见曲面及方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,3.双曲面,(1)双叶双曲面,为正数),(方程中三个变量可互换位置),它的图形与旋转双叶双曲面的,图形类似.,与垂直于y轴(即与zOx面平行)的平面,它与yOz面或xOy面以及与它们平行的平面的交线都,是双曲线，,的交线都为椭圆.,7.4常见曲面及方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,(2)单叶双曲面,为正数),(方程中三个变量可互换位置),它的图形与旋转单叶双曲面的图形类似.,它与xOy面及与xOy面平行的平面的交线都是椭圆，,相交直线.,7.4常见曲面及方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,4.抛物面,（1）椭圆抛物面,同号),(方程中三个变量可互换位置),与垂直于z轴(即与xOy面平行)的平面,与xOy面只交于原点，,的交线为椭圆,它与yOz面或zOx面以及与它们平行的平面的