02项目一 一元函数微分学

实验一 一元函数微分学实验1 一元函数的图形（基础实验） 实验目的 通过图形加深对函数及其性质的认识与理解, 掌握运用函数的图形来观察和分析函数的有关特性与变化趋势的方法,建立数形结合的思想; 掌握用Mathematica作平面曲线图性的方法与技巧. 基本命令1. 在平面直角坐标系中作一元函数图形的命令Plot: Plotfx,x,min,max,选项Plot有很多选项(Options), 可满足作图时的种种需要, 例如,输入Plotx2,x,-1,1,AspectRatio-1,PlotStyle-RGBColor1,0,0,PlotPoints-30则输出在区间上的图形. 其中选项AspectRatio-1使图形的高与宽之比为1. 如果不输入这个选项, 则命令默认图形的高宽比为黄金分割值. 而选项PlotStyle-RGBColor1,0,0使曲线采用某种颜色. 方括号内的三个数分别取0与1之间. 选项PlotPoints-30令计算机描点作图时在每个单位长度内取30个点, 增加这个选项会使图形更加精细.Plot命令也可以在同一个坐标系内作出几个函数的图形, 只要用集合的形式f1x,f2x,代替fx.2.利用曲线参数方程作出曲线的命令ParametricPlot:ParametricPlotgt,ht,t,min,max,选项其中是曲线的参数方程. 例如,输入ParametricPlotCost,Sint,t,0,2 Pi,AspectRatio-1则输出单位圆的图形.3. 利用极坐标方程作图的命令PolarPlot如果想利用曲线的极坐标方程作图, 则要先打开作图软件包. 输入GraphicsGraphics执行以后, 可使用PolarPlot命令作图. 其基本格式为PolarPlotrt,t,min,max,选项例如曲线的极坐标方程为要作出它的图形. 输入PolarPlot3 Cos3 t, t,0,2 Pi便得到了一条三叶玫瑰线.4. 隐函数作图命令ImplicitPlot这里同样要先打开作图软件包, 输入GraphicsImplicitPlot.m命令ImplicitPlot的基本格式为ImplicitPlot隐函数方程, 自变量的范围, 作图选项例如方程确定了y是x的隐函数. 为了作出它的图形, 输入ImplicitPlot(x2+y2)2=x2-y2,x,-1,1输出图形是一条双纽线.5. 定义分段函数的命令Which命令Which的基本格式为Which测试条件1, 取值1, 测试条件2, 取值2,例如, 输入wx_=Whichx=0,x2虽然输出的形式与输入没有改变, 但已经定义好了分段函数:现在可以对分段函数求函数值, 也可作出函数的图形.实验举例初等函数的图形例1.1 作出指数函数和对数函数的图形.输入命令PlotExpx,x,-2,2则输出指数函数的图形.输入命令PlotLogx,x,0.001,5,PlotRange-0,5,-2.5,2.5,AspectRatio-1则输出对数函数的图形.注：PlotRange-0,5,-2.5,2.5是显示图形范围的命令. 第一组数0,5是描述x的, 第二组数-2.5,2.5是描述y的.注：有时要使图形的x轴和y轴的长度单位相等, 需要同时使用PlotRange和AspectRatio两个选项. 本例中输出的对数函数的图形的两个坐标轴的长度单位就是相等的. 例1.2 作出函数和的图形观察其周期性和变化趋势. 为了比较, 我们把它们的图形放在一个坐标系中. 输入命令PlotSinx,Cscx,x,-2 Pi,2 Pi,PlotRange-2 Pi,2 Pi,PlotStyle-GrayLevel0,GrayLeve10.5, AspectRatio-1 注：PlotStyle-GrayLeve10,GrayLeve10.5是使两条曲线分别具有不同的灰度的命令.例1.3 作出函数和的图形观察其周期性和变化趋势.输入命令PlotTanx,Cotx,x,-2 Pi,2 Pi,PlotRange-2 Pi,2 Pi,PlotStyle-GrayLeve10,GrayLeve10.5,AspectRatio-1例1.4 将函数的图形作在同一坐标系内, 观察直接函数和反函数的图形间的关系.输入命令p1=PlotArcSinx,x,-1,1;p2=PlotSinx,x,-Pi/2,Pi/2,PlotStyle-GrayLeve10.5;px=Plotx,x,-Pi/2,Pi/2,PlotStyle-Dashing0.01;Showp1,p2,px,PlotRange-Pi/2,Pi/2,-Pi/2,Pi/2,AspectRatio-1则可以看到函数和它的反函数在同一个坐标系中的图形是关于直线对称的.注 Show命令把称为p1,p2和px的三个图形叠加在一起显示. 选项PlotStyle-Dashing0.01使曲线的线型是虚线.例1.5 (教材 例1.1) 给定函数(a) 画出在区间上的图形;(b) 画出区间上与的图形.输入命令fx_=(5+x2+x3+x4)/(5+5x+5x2);g1=Plotfx,x,-4,4,PlotStyle-RGBColor1,0,0;则输出在区间上的图形.输入命令g2=PlotSinxfx,x,-4,4,PlotStyle-RGBColor0,1,0;Showg1,g2;则输出区间上与的图形.注: Show命令把称为g1与g2二个图形叠加在一起显示. 例1.6 在区间画出函数的图形.输入命令PlotSin1/x,x,-1,1;则输出所求图形，从图中可以看到函数在附近来回震荡. 二维参数方程作图 例1.7 作出以参数方程所表示的曲线的图形.输入命令ParametricPlot2 Cost,Sint,t,0,2 Pi,AspectRatio-Automatic则可以观察到这是一个椭圆. 注 在ParametricPlot命令中选项AspectRatio-Automatic与选项AspectRatio-1是等效的. 例1.8分别作出星形线和摆线 的图形.输入命令ParametricPlot2 Cost3,2 Sint3,t,0,2 Pi,AspectRatio-AutomaticParametricPlot2*(t-Sint),2*(1-Cost),t,0,4 Pi,AspectRatio-Automatic则可以分别得到星形线和摆线的图形. 例1.9 画出参数方程的图形：输入命令ParametricPlotCos5 tCost,SintCos3t,t,0,Pi,AspectRatio-Automatic;则分别输出所求图形.例1.10 (教材 例1.2) 画出以下参数方程的图形.(1) (2) 分别输入以下命令:ParametricPlot5Cos-11/5t+7Cost,5Sin-11/5t+7Sint,t,0,10Pi,AspectRatio-Automatic;ParametricPlot(1+Sint-2 Cos4*t)*Cost,Sint,t,0,2*Pi, AspectRatio-Automatic,Axes-None;则分别输出所求图形.例1.11 作出极坐标方程为的曲线的图形.曲线用极坐标方程表示时, 容易将其转化为参数方程. 故也可用命令ParametricPlot来作极坐标方程表示的图形. 输入命令rt_=2*(1-Cost);ParametricPlotrt*Cost,rt*Sint,t,0,2 Pi,AspectRatio-1可以观察到一条心脏线.极坐标方程作图例1.12 (教材 例1.3) 作出极坐标方程为的对数螺线的图形.输入命令Graphics执行以后再输入PolarPlotExpt/10,t,0,6 Pi则输出为对数螺线的图形.隐函数作图例1.13 (教材 例1.4) 作出由方程所确定的隐函数的图形(笛卡儿叶形线).输入命令GraphicsImplicitPlot.m执行以后再输入ImplicitPlotx3+y3=3x*y,x,-3,3输出为笛卡儿叶形线的图形.分段函数作图例1.14 分别作出取整函数和函数的图形.输入命令PlotFloorx,x,-4,4可以观察到取整函数的图形是一条阶梯形曲线.输入命令Plotx-Floorx,x,-4,4得到函数的图形, 这是锯齿形曲线（注意: 它是周期为1的周期函数.）例1.15 作出符号函数的图形.输入命令PlotSignx,x,-2,2就得到符号函数的图形. 点是它的跳跃间断点. 一般分段函数可以用下面的方法定义. 例如，对本例输入 gx_: = -1/; x0; Plotgx,x,-2,2便得到上面符号函数的图形. 其中组合符号“/；”的后面给出前面表达式的适用条件例1.16 (教材 例1.5) 作出分段函数的图形.输入命令hx_:=Whichx0,ExpxPlothx,x,-4,4则输出所求图形.注:一般分段函数也可在组合符号“/;”的后面来给出前面表达式的适用条件. 例1.17 (教材 例1.6) 作出分段函数的图形.输入命令fx_:=x2Sin1/x/;x!=0;fx_:=0/;x=0;Plotfx,x,-1,1;则输出所求图形. 函数性质的研究 例1.18 研究函数在区间上图形的特征.输入命令Plotx5+3Ex+Log3,3-x,x,-2,2;则输出所求图形. 由图形容易看出, 从左到右, 图形渐渐上升. 因而是增函数.例1.19 判断函数是否为周期函数.任选一个较大的范围, 如取, 在此区间上画出函数的图形如图所示.PlotSin2Pi x+Cos2Pi x,x,-4,4;可以看出函数的图形以某一宽度以单位重复出现.例1.20 判断函数的反函数的存在性. 若存在, 求反函数的表达式, 并画出起图形.先解方程 求x. 输入命令Solvey=x3+3x2+3x+1,x;因此, 所求反函数为 再输入命令Plot-1+x(1/3),x,-3,3;则输出反函数在区间内的图形.注：若一个函数满足: 一个y对应着一个x, 则其反函数一定存在,且在表达式中将y换成常量求解x, 即将所的表达式中y换成x, x换成y即得到反函数的表达式.作函数图形的动画例1.21 制作函数的图形动画, 观察参数c对函数图形的影响.输入命令.DoPlotSinc x,x,-Pi,Pi,PlotRange-1,1,c,1,4,1/3;则输出图形动画.例1.22 (教材 例1.7) 作出函数的图形动画,观察参数c对函数图形的影响.输入命令DoPlotx2+Sinc x,x,-3,3,PlotRange-1,5,c,1,5,1/3;则输出所求动画图形. 实验习题1. 把正切函数和反正切函数的图形及其水平渐近线和直线用不同的线型画在同一个坐标系内.2. 作出双曲正切函数的图形.3. 输入以下命令PlotSinx,Sin2 x,Sin3 x,x,0,2 Pi, PlotStyle-RGBColor1,0,0,RGBColor0,1,0,RGBColor0,0,1理解选项的含义.4. 为观察复合函数的情况,分别输入以下命令:PlotSqrt1+x2,x,-6,6,PlotStyle-Dashing0.02,0.01PlotSinCosSinx,x,-Pi,PiPlotSinTanx-TanSinx/x2,x,-5,5PlotEx,ArcTanx,EArcTanx,x,-5,55. 观察函数的叠加, 输入以下命令:a1=Plotx,x,-5,5,PlotStyle-RGBColor0,1,0a2=Plot2 Sinx,x,-5,5,PlotStyle-RGBColor1,1,0a3=Plotx+2 Sinx,x,-5,5,PlotStyle-RGBColor1,0,0Showa1,a2,a36. 分别用ParametricPlot和PolarPlot两种命令, 作出五叶玫瑰线的图形.7. 用ImplicitPlot命令作出椭圆的图形.8. 选择以下命令的一部分输入, 欣赏和研究极坐标作图命令输出的图形.PolarPlotCost/2,t,0,4 PiPolarPlot1-2 Sin5 t,t,0,2 PiPolarPlotCost/4,t,0,8 PiPolarPlott*Cost,t,0,8,PiPolarPlott(-3/2),t,0,8 PiPolarPlot2 Cos3 t,t,0,PiPolarPlot1-2 Sint,t,0,2 PIPolarPlot4-3 Cost,t,0,2 PiPolarPlotSin3 t+Sin2 t2,t,0,2 PiPolarPlot3 Sin2 t,t,0,2 PiPolarPlot4 Sin4 t,t,0,2 PiPolarPlotCos2 t+Cos4 t2,t,0,2 PiPolarPlotCos2 t+Cos3 t2,t,0,2 PiPolarPlotCos4 t+Cos4 t2,t,0,2 Pi,PlotRange-All实验2 极限与连续（基础实验）实验目的 通过计算与作图, 从直观上揭示极限的本质,加深对极限概念的理解. 掌握用Mathematica画散点图, 以及计算极限的方法. 深入理解函数连续的概念,熟悉几种间断点的图形特征,理解闭区间上连续函数的几个重要性质.基本命令1.画散点图的命令ListPlot:ListPlotx1,y1,x2,y2,xn,yn,选项或者ListPloty1,y2,yn,选项前一形式的命令,在坐标平面上绘制点列的散点图;后一形式的命令, 默认自变量依次取正整数作出点列为的散点图.命令ListPlot的选项主要有两个:(1) PlotJoined-True, 要求用折线将散点连接起来;(2) PlotStyle-PointSize0.02, 表示散点的大小.2.产生集合或者数表的命令Table:命令Table产生一个数表或者一个集合. 例如, 输入Tablej2,j,1,6则产生前6个正整数的平方组成的数表1,4,9,16,25,36.3.连加求和的命令Sum:命令Sum大致相当于求和的数学符号. 例如, 输入Sum1/i,i,100/N执行后得到的近似值.与Sum类似的还有连乘求积的命令Product.4. 求函数多次自复合的命令Nest:例如, 输入NestSin,x,3则输出将正弦函数自己复合3次的函数SinSinSinx5.求极限的命令Limit:其基本格式为Limitfx,x-a其中f(x)是数列或者函数的表达式, x-a是自变量的变化趋势. 如果自变量趋向于无穷, 用x-Infinity.对于单侧极限, 通过命令Limit的选项Direction表示自变量的变化方向.求右极限, 时, 用Limitfx,x-a,Direction-1;求左极限, 时, 用Limitfx,x-a,Direction-+1;求时的极限, 用Limitfx,x-Infinity,Direction-+1;求时的极限, 用Limitfx,x-Infinity,Direction-1。注:右极限用减号, 表示自变量减少并趋于a,同理,左极限用加号, 表示自变量增加并趋于a . 实验举例作散点图例2.1 (教材 例2.1) 分别画出坐标为的散点图, 并画出折线图.分别输入命令t1=Tablei2,i,10; g1=ListPlott1,PlotStyle-PointSize0.02;g2=ListPlott1,PlotJoined-True;Showg1,g2;t2=Tablei2,4i2+i3,i,10;g1=ListPlott2,PlotStyle-PointSize0.02;g2=ListPlott2,PlotJoined-True;Showg1,g2;则分别输出所求图形.例2.2 画出前25个素数的散点图.输入命令TablePrimen,n,25;ListPlotTablePrimen,n,25,PlotStyle-PointSize0.015;则分别输出所求图形.数列极限的概念例2.3 观察数列的前100项变化趋势.输入命令t=NTablen(1/n),n,1,100;ListPlott,PlotStyle-PointSize0.015;则分别输出所求图形. 从图中可看出, 这个数列似乎收敛于1. 下面我们以数值的方式来说明这一变化趋势. 输入以下语句, 并观察其数值结果.m=2;xn=0;Fori=1,i10(-m),xn=Nn(1/n),20;Printi, ,xn;设该数列收敛于不妨取下面考察与A的接近程度. 输入以下Mathematica语句.u = 109(-2); A = 1 + u; m = 5; n = 3; an = Sqrt3;WhileAbsA-an = 10(-m), n+; an = Nn(1/n);Print n=, n, an=, an, |A-an|=, AbsA - an;结果表明: 当时, 与的距离小于例2.4 观察Fibonacci数列的变化趋势.Fibonacci数列具有递推关系令.输入命令fn1=1;fn2=1;rn=1;Fori=3,iPointSize0.02;Infab20=Logfab20;ListPlotInfab20,PlotStyle- PointSize0.02;则输出所求散点图.为了更好地观察数列的变化趋势, 我们可以利用Mathematica的动画功能来进一步观察数列随着n的增大的变化趋势.例2.5 (教材 例2.2) 通过动画观察当时数列的变化趋势.输入Cleartt;tt=1,1/22,1/32;Dott=Appendtt,N1/i2;ListPlottt,PlotRange-0,1,PlotStyle-PointSize0.02,i,4,20则输出所求图形动画. 从图中可以看出所画出的点逐渐接近于x轴.例2.6 (教材 例2.3) 研究极限输入Printn, , Ai, ,0.4-Ai;Fori=1, iPointSize0.02则输出散点图. 观察所得散点图, 可见表示数列的点逐渐接近于直线注:命令For的格式见项目二中实验1的基本命令.递归数列例2.7 (教材 例2.4) 设从初值出发, 可以将数列一项一项地计算出来. 这样定义的数列称为递归数列. 输入f1=NSqrt2,20;fn_:=NSqrt2+fn-1,20;f9则已经定义了该数列, 并且求出它的第9项的近似值为1.9999905876191523430.输入fn=Tablefn,n,20得到这个数列的前20项的近似值(输出结果略). 再输入ListPlotfn,PlotStyle-PointSize0.02输出为图2.2. 观察该散点图, 表示数列的点越来越接近于直线例2.8 设数列与由下式确定:, , ()观察与的极限是否存在.输入命令Clearf, g; fx_, y_ := Sqrtx*y; gx_, y_ := (x + y)/2; xn = 1; yn = 2;Forn = 2, n = 100, n+,xN = xn; yN = yn; xn = NfxN, yN; yn = NgxN, yN;Printx100= , xn, y100=, yn运行该程序可判断出: 与有极限, 且这两极限值是相等的函数的极限例2.9 (教材 例2.5) 在区间上作出函数的图形, 并研究 和 输入命令Clearf;fx_=(x3-9x)/(x3-x);Plotfx,x,-4,4;则输出的图形. 从图可猜测 不存在.例2.10 (教材 例2.6) 观察函数当时的变化趋势.取一个较小的区间1, 10, 输入命令fx_=Sinx/x2;Plotfx,x,1,20;则输出在这一区间上的图形. 从图中可以看出图形逐渐趋于0. 事实上, 逐次取更大的区间, 可以更有力地说明当时, 作动画: 分别取区间画出函数的图形, 输入以下命令:i=3;Whilei10,100,-0.008,0.004;i+则输出17幅图, 点黑右边的线框, 并选择从前向后的播放方式播放这些图形, 可得函数当时变化趋势的动画, 从而可以更好地理解此时函数的变化趋势.例2.11 考虑函数 输入PlotArcTanx,x,-50,50则输出该函数的图形. 观察当时, 函数值的变化趋势. 分别输入LimitArcTanx,x-Infinity,Direction-+1LimitArcTanx,x-Infinity,Direction-1输出分别为与考虑函数分别输入LimitSignx,x-0,Direction-+1LimitSignx,x-0,Direction-1输出分别为-1与1.两个重要极限例2.12 考虑第一个重要极限输入PlotSinx/x,x,-Pi,Pi则输出函数的图形. 观察图中当时, 函数值的变化趋势. 输入LimitSinx/x,x-0输出为1, 结论与图形一致.例2.13 (教材 例2.7) 研究第二个重要极限 输入Limit(1+1/n)n,n-Infinity输出为e. 再输入Plot(1+1/x)x,x,1,100则输出函数的图形. 观察图中函数的单调性. 理解第二个重要极限无穷大例2.14 (教材 例2.8) 考虑无穷大. 分别输入Plot(1+2 x)/(1-x),x,-3,4Plotx3-x,x,-20,20则分别输出两个给定函数的图形. 在第一个函数的图形中,时函数的绝对值无限增大,在第二个函数的图形中,时函数的绝对值在无限增大. 输入Limit(1+2x)/(1-x),x-1Mathematica输出的是. 这个结果应该是右极限.例2.15 考虑单侧无穷大. 分别输入PlotE(1/x),x,-20,20,PlotRange-1,4LimitE(1/x),x-0,Direction-+1LimitE(1/x),x-0,Direction-1则输出所给函数的图形、左极限0和右极限值. 再输入LimitE(1/x),x-0Mathematica的输出仍然为.这又是右极限（同上例）. 因此在没有指明是左右极限时, 命令Limit给出的是右极限.例2.16 输入Plotx+4*Sinx,x,0,20 Pi则输出所给函数的图形. 观察函数值的变化趋势. 当时, 这个函数是无穷大. 但是, 它并不是单调增加. 于是, 无穷大并不要求函数单调.例2.17 (教材 例2.9) 输入Plotx*Sinx,x,0,20 Pi则输出所给函数的图形.观察图中函数的变化趋势. 这个函数无界, 但是, 当时, 这个函数不是无穷大. 即趋向于无穷大的函数当然无界, 而无界函数并不一定是无穷大.连续与间断例2.18 考察函数在处的连续性.选取几个考察当时, 的变化趋势, 依次取当时, 他们的极限均为5.输入命令g1 = ListPlotTableSin5 + 1/n, n, 1, 1000, 5,PlotStyle - RGBColor1, 0, 0;g2 = ListPlotTableSin5 + (-1)n/Sqrtn, n, 1, 1000, 5,PlotStyle - RGBColor0, 1, 0;g3 = ListPlotTableSin5*n*Log(1 + 1/n), n, 1, 1000, 5,PlotStyle - RGBColor0, 0, 1;g = Showg1, g2, g3;则输出相应的的散点图. 由图可看出它们趋于同一极限值.例2.19 观察可去间断. 分别输入PlotTanx/x,x,-1,1Plot(Sinx-x)/x2,x,-Pi,Pi则输出所给函数的图形. 从图可见，是所给函数的可去间断点.例2.20 观察跳跃间断. 分别输入PlotSignx,x,-2,2Plot(E(1/x)-1)/(E(1/x)+1),x,-2,2则分别输出所给函数的图形. 从图可见，是所给函数的跳跃间断点.例2.21 观察无穷间断. 分别输入Plot1/(1-x2),x,-3,3则输出所给函数的图形. 从图可见，是所给函数的跳跃间断点.例2.22 观察振荡间断. 分别输入PlotCos1/x,x,-Pi,Pi则输出所给函数的图形. 从图可见，是所给函数的跳跃间断点. 再输入LimitSin1/x,x-0Mathematica4.0输出为Interval-1,1. 读者可猜测这是什么意思.例2.23 有界量乘以无穷小. 分别输入Plotx*Sin1/x,x,-Pi,PiLimitx*Sin1/x,x-0则分别输出所给函数的的图形和所求极限0. 因为无穷小乘以有界函数得无穷小.例2.24 (教材 例2.10) 观察无穷间断. 输入PlotTanx,x,-2Pi,2Pi则输出函数的图形. 从图可见,是所给函数的跳跃间断点.例2.25 (教材 例2.11) 观察振荡间断. 输入PlotSin1/x,x,-Pi,Pi则输出函数的图形. 从图可见,是所给函数的跳跃间断点.再输入LimitSin1/x,x-0则输出为Interval-1,1. 表示函数极限不存在,且在-1与1之间振荡. 实验习题1. 设数列计算这个数列的前30项的近似值. 作散点图, 观察点的变化趋势.提示: 输入Clearf;fn_:=Sum1/j3,j,1,n;xn=Tablefn,n,302. 定义数列可以证明:这个数列的极限是计算这个数列的前30项的近似值. 作散点图, 观察点的变化趋势.提示: 输入Clearf;f1=1;fn_:=fn=N(fn-1+3/fn-1)/2,20;fn=Tablefn,n,30注：第二行用递归形成一个关于n的函数fn, 为了提高计算速度, fn_:=fn=将使计算机记住已计算的函数值fn.3. 作函数及自复合函数提示: Mathematica中的形式分别是Sinx,NestSin,x,5,NestSin,x,10,NestSin,x,30)的图形. 观察变化趋势. 定义数列 计算这个数列的前30项的近似值. 作散点图, 观察点的变化趋势.4. 计算极限 5. 讨论极限提示: 输入PlotEvaluateTableCosxn,n,1,30,x,-3 Pi,3 Pi,PlotRange-1.2,1.2观察的图形, 判断在n趋于无穷时的极限, 并对具体的x值, 用Limit命令验证.实验3 导数（基础实验）实验目的 深入理解导数与微分的概念, 导数的几何意义. 掌握用Mathematica求导数与高阶导数的方法. 深入理解和掌握求隐函数的导数, 以及求由参数方程定义的函数的导数的方法. 基本命令1.求导数的命令D与求微分的命令DtDf,x给出f关于x的导数, 而将表达式f中的其它变量看作常量. 因此, 如果f是多元函数, 则给出f关于x的偏导数.Df,x,n给出f关于x的n阶导数或者偏导数.Df,x,y,z,给出f关于x,y,z,的混合偏导数.Dtf,x给出f关于x的全导数, 将表达式f中的其它变量都看作x的函数.Dtf给出f的微分. 如果f是多元函数, 则给出f的全微分.上述命令对表达式为抽象函数的情形也适用, 其结果也是一些抽象符号.命令D的选项NonConstants-指出内的字母是x的函数.命令Dt的选项Constants-指出内的字母是常数.2.循环语句Do基本格式为Do表达式, 循环变量的范围表达式中一般有循环变量, 有多种方法说明循环变量的取值范围. 最完整的格式是Do表达式, 循环变量名, 最小值, 最大值, 增量当省略增量时, 默认增量为1. 省略最小值时, 默认最小值为1.例如,输入DoPrintSinn*x,n,1,10则在屏幕上显示Sinx,Sin2x,Sin10x 等10个函数. 实验举例导数概念与导数的几何意义例3.1 用定义求的导数.输入Clearg;gx_=x3-3x2+x+1;quog=Simplify(gx+h-gx)/h执行以后得到函数的增量与自变量的增量的比 再输入dg=Limitquog,h-0Plotgx,dg,x,-1.5,3,PlotStyle-GrayLeve10,Dashing0.01,PlotRange-3,2执行后便得到函数的导数并把函数和它的导数的图形作在同一个坐标系内(图3-1).图3-1例3.2 (教材 例3.1) 作函数的图形和在处的切线.输入Clearf;fx_=2x3+3x2-12x+7;plotf=Plotfx,x,-4,3,DisplayFunction-Identity;plot2=Plotf -1*(x+1)+f-1,x,-4,3, PlotStyle-GrayLeve10.5,DisplayFunction-Identity;Showplotf,plot2,DisplayFunction-$DisplayFunction执行后便在同一个坐标系内作出了函数的图形和它在处的切线.求函数的导数与微分例3.3 求函数的一阶导数.输入Dxn,x则输出函数的一阶导数 注：在求导数时, 已经将指数n看作常数.例3.4 (教材 例3.2) 求函数的一阶导数. 并求输入DSina*x*Cosb*x,x/.x-1/(a+b)则输出函数在该点的导数 例3.5 (教材 例3.3) 求函数的1阶到11阶导数.输入Clearf;fx_=x10+2*(x-10)9;Dfx,x,2则输出函数的二阶导数类似可求出3阶、4阶导数等等. 为了将1阶到11阶导数一次都求出来, 输入DoPrintDfx,x,n,n,1,11则输出或输入TableDfx,x,n,n,11则输出集合形式的1至11阶导数(输出结果略).例3.6 求函数与的微分.输入DtSin2*x则输出函数的微分2 Cos2x Dtx再输入DtSina*x*Cosb*x,Constants-a,b/Simplify其中选项Constants-a,b指出a,b是常数. 则输出函数的微分Dtx,Constants-a,b(a Cosa xCosb x-b Sina x Sinb x)输出中的Dtx,Constants-a,b就是自变量的微分dx. 如果输入DtSina*x*Cosb*x则将a, b看作变量, 得到的是三元函数的全微分:Cosa x Cosb x (x Dta+a Dtx)+(-x Dtb-b Dtx Sina x Sinb x3.求隐函数的导数及由参数方程定义的函数的导数例3.7 (指导书 例3.4) 求由方程确定的隐函数的导数.方法1 输入deq1=D2 x2-2 x*yx+yx2+x+2 yx+1=0,x这里输入yx以表示y是x的函数. 输出为对原方程两边求导数后的方程deq1:1+4 x-2 yx+2y x-2 xy x+2 yxy x = 0再解方程, 输入Solvedeq1,y x则输出所求结果方法2 使用微分命令. 输入deq2=Dt2 x2-2x*y+y2+x+2y+1=0,x得到导数满足的方程deq2:1+4x-2y+2 Dty,x-2x Dty,x+2y Dty,x= =0再解方程, 输入Solvedeq2,Dty,x则输出注意前者用yx, 而后者用Dty,x表示导数.如果求二阶导数, 再输入deq3=Ddeq1,x;Solvedeq1,deq3,y x,y x/Simplify则输出结果例3.8 (教材 例3.5) 求由参数方程确定的函数的导数.输入DEt*Sint,t/DEt*Cost,t则得到导数再输入D%,t/DEt*Cost,t/Simplify则得到二阶导数拉格朗日中值定理例3.9 (教材 例3.6) 对函数观察罗尔定理的几何意义.因为由罗尔定理, 存在 , 使得(1) 画出与的图形, 并求出与输入fx_=x*(x-1)*(x-2);g1=Plotfx,x,-1,3,PlotStyle-RGBColor1,0,0;g2=Plotfx,x,-1,3;Showg1,g2;NSolvefx=0,x (2)画出及其在点与处的切线.输入t1x_=f0.42265; t2x_=f1.57735;Plotfx,t1x,t2x,x,-1,3;例3.10 对函数在区间0,4上观察拉格朗日中值定理的几何意义.(1) 画出及其左、右端点连线的图形;输入命令Clearg1,g2; fx_=Log1+x;a=0;b=4;g1x_:=fa+(fb-fa)*(x-a)/(b-a);g2x_:=f x-(fb-fa)/(b-a);Plotfx,g1x,x,a,b; (2)画出函数的曲线图, 并求出使得输入命令Plotg2x,