10-12-习题参考答案-new

第 10 讲 3.8 有 N 个相同原子组成面积为 S 的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极 限比热正比于 T2。 讨论有 N 个相同原子组成长度为 L 的一维晶格， 在德拜近似下计算比热， 并论述在低温极限比热正比于 T。 解： 德拜模型的色散关系为cq 考虑 q 空间中半径为 q，厚度为 dq 的圆环面积为 2qdq 中量子态数，波矢的数值在 qqdq之间的量子态的数目 2 2 (2 ) S qdq 考虑到二维介质有两支格波，一支纵波，一 支横波，所以频率在d之间，总的格波数为： 2 2 2 S d 总的振动能为 / 0 / 00 1 ( )( ) 21 1 ( )( ) 21 D B DD B k T k T E Tgd e gdgd e 考虑与温度相关的晶格振动能 量，设 B xk T / 0 ( )( ) 1 D B k T E Tgd e /2 0 1 D B k T S d e 2 33 /22 0 / / 1 D B B B B k T k Tk TS dk T e 332 22 0 1 D B T x k TSx dx e 由总振动模式数等于自由度数： 0 ( ) D nN ，得德 拜频率： 2 0 2 D S dN 1/2 4 D N S 332 22 0 ( ) 1 D B T x k TSx E Tdx e 32 2 0 4 1 D T x D Tx Ndx e 德 拜 模 型 中 的 晶 格 热 容 ： 32 2 0 ( ) 4 1 D T V x D V E TdTx CNdx TdTe 证明低温晶格比热 T 2 定律 3 0 1 x x dx e 常数 2 ( ) V V E T CAT T 一维情况: 波矢的数值在qqdq之间的量子态的数目2 2 LL dqd c 有( ) L g c 由于 0 ( ) D gdN 所以 D Nc L / 0 / 00 1 ( )( ) 21 1 ( )( ) 21 D B DD B k T k T E Tgd e gdgd e 设 B xk T 22 / 0 22 / 0 () ( ) 41 () 41 D D T DB x T B x LL k Tx E Tdx cce L k TN cx dx Lce 22 0 ( ) 1 D B T V x V Lk TE Tdx Cdx TdTce 0 1 x x dx e 常数 ( ) V V E T CBT T 3.10 设晶体中每个振子的零点振动能 ，试用德拜模型求晶体的零点振动能。讨论一维、 二维和三维的情况。 0 129 ( ) 2438 D DDD dNNN ，解： 应用色散关系，考虑一维只有一个纵波，二维一个横波一个纵波，三维两个横波一个纵波， 模式密度分别为有： 2 223 123 22 LSV ， 2 223 000 13 23 2 DDD LSV dNdNdN ， 1/3 1/2 2 46 DDD NNN LSV ， 10.1 讨论在德拜近似下有 N 个相同原子组成长度为 L 的一维晶格振动的模式密度和德拜 温度，有 N 个相同原子组成面积为 S 的二维晶格振动的模式密度和德拜温度，有 N 个相 同原子组成体积为 V 的三维晶格振动的模式密度和德拜温度。 解答： 模式密度：色散关系为 =q，设波速为常数 ，q 空间的量子态数密度为 23 248 LSV ，从 q 到 q+dq 范围内的量子态数为： 2 23 224 248 LSV dqdqq dq ，应用色散关系， 考虑一维只有一个纵波，二维一个横波一个纵波，三维两个横波一个纵波，模式密度分别为 有： 2 223 123 22 LSV ， 0 ( ) D nN 2 223 000 13 23 2 DDD LSV dNdNdN ， 1/3 1/2 2 46 DDD NNN LSV ， D D B k 1/3 1/2 2 46 DDD BBB NvNN vv LkkSkV 一维：二维：三维： 10.2 模式密度奇点。(1) 根据一维单原子链的色散关系证明模式密度为 22 1/2 21 ( ) () m N 其中 m 是最大频率。(2) 假定在三维情况下，在 k = 0 附近，一 个光学波具有 2 0 ( )kAk。 证明：对于 0 ， 3 3/21/2 0 ( )/2(2 /)()LA ；对于 0, ( )0 ， 此处模式密度不连续。 第 11 讲 3.9 写出量子谐振子系统的自由能， 证明在经典极限， 自由能为 0 ln q B q B FUk T k T 。 /1 ln(1) 2 jB k Tj B j B FUk Te k T 经典极限有 Bj k T， 1 0 2 j B k T ， / 1 jB k Tj B e k T 将两式代入 F 的表达式，得 ln j B j B FUk T k T 11.1 格临爱森常数(Grneisen constant) 。(1) 证明频率为 的声子模式的自由能为 ln2sinh(/) BkB k Tk T为了得到这个结果，必须保留零点能/2。(2) 以表示体积相 对改变，那么晶体的这个自由能可以写成： 2 1 ( , )ln2sinh(/2) 2 BkB FTBk Tk T 其中 B 是体积弹性模量。 假定k 对体积 的依赖关系为，其中称为格临爱森常数。如果将取作和模式 k 无关，证明：当 1 cosh(/2) 2 B Bk T 时，F 相对于成为极小，并且证明：借助热能密度可以 将此式写成( )/U TB (3) 证明：对于德拜模型，ln/ ln D V 。 注意：在这个理论中涉及多种近似，结果(1) 只有在 不依赖于温度时才成立，而对于不同 的模式，可能相差甚远。 第 12 讲 12.1 试由金属中自由电子运动方程推导稳态时电子在外电场中的定向速度，并由此推导焦 耳定律的表达式。 解：焦耳定律的微分形式为： 2 PE其中称为电导率。 设单位体积中 n 个电子以相同的平均速度运动，由此产生的电流密度 j 将平行于 。在时 间间隔 dt 内电子在速度方向运动的距离为dt，这样将有 ndtA 的电子越过垂直于速度方 向的面积 A，每一个电子携带电荷-e。在时间间隔 dt 内越过面积 A 的电荷为-nedtA，因 此电流密度为：jne 在没有外加电场时，电子的平均速度为零，电流密度也为零。在 有外加电场 E 时，稳态时，按照电子运动方程， ( )( ) 0,( ) dp tp t f t dt 因此附加定向 速度的平均值为/eEm，为弛豫时间，因此电流密度： 2 ne jE m ，电导率为 2 ne m 2 2 22 ( ) mmeEne Pnf tnnEE mm 12.2 分别用经典电子论和索末菲自由电子模型证明维德曼夫兰兹定律并求洛伦兹常数。 解： 根据经典电子论，由电导率和热导率表达式可得： 2 2 222 111 33 2 3 333 22 2 VVBB B clcmnkk T k T nenenee m 洛伦兹数为： 2 82 3 1.11 10/ 2 B k wattohm K Te 根据索末菲量子电子论，由电导率和热导率表 达式可得： 2 11 32 VFF clEm 2 0 0 () 2 B VB F k T CNk E 2222 2 33 BB F F nk Tnk T cl mm 2 2222 2 3 3 BB nk Tmk T neme 2 22 82 2.45 10/ 3 B k Lwatt ohm K Te 12.3 在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果为：CV = ( 2.08 T + 2.57 T 3 ) mJ / mol-K 求钾的费米温度和德拜温度。 解： 一摩尔的电子对热容的贡献： 2 0 2 B VB F k T CNk E 与实验结果比较得到： 22 3 0 2.08 10/ 22 BB BB FBF k Tk T NkNkTJ mol K Ek T 费米温度： 22 3 19624 2 2.08 10 B F k TNK 根据德拜定律： 3 4 12 5 B V D NkT C 与实验结果比较得到： 3 4 33 12 2.57 10/ 5 B D NkT TJ mol K 德拜温度： 1/3 4 3 12 91 5 2.57 10 B D Nk K 12.4 二维情况下的化学势, 每单位面积有 n 个电子，证明二维情况下费米气的化学势由下 式给出: 2 ( )lnexp(/) 1 BB Tk Tnmk T 2 2 2 4 S dNkdk 2 ( ) dNm N ES dE ()/2 00 1 ( ) ( ) 1 FB E Ek T m NN E f E dESdE e ()/2 0 1 1 FB E Ek T Nm ndE Se 作变量变换 F B EE x k T 则有 22 / / 22 / 1 11 ln(1)ln(1) FBFB FB FB x B xx Ek TEk T Ek Tx BB Ek T mk Tme ndxdx ee mk Tmk T ee 由上式解得： 2 ( )lnexp(/) 1 FBB TEk Tnmk T 6.1 液体 He3 ，He3 原子量自旋为 1/2 的费米子，在绝对零度附近液体 He3 的密度为 0.081g/cm3，计算费米能 EF和费米温度 TF。 解 He3 的自旋为 1/2 的费米子，其质量 24 35 10 p mmg 在密度为 0.081g/cm3的液体 He3中，单位体积中的 He3数目为 223 1.62 10ncm m 其费米能为 2 22/3 (3) 2 F En m 将上面得到的 n,m 值代入，就得到 费米能 2 22/3164 (3)6.8 104.3 10 2 F EnergeV m 费米温度为 4 5 4.3 10 ()4.9 8.617 10 F F B E TKK k 6.3 若把银看成具有球形费米面的单价金属，计算以下各量：(1)费米能和费米温度; (2)费米 球半径; (3)费米速度; (4)费米球面的横截面积; (5)在室温和低温时电子的平均自由程。 已知银的质量密度为 10.5 g/cm3, 原子量为 107.87， 电阻率为： 1.61106:cm （295K） , 0.038 106:cm（20K） 解： 1m3的银的摩尔数：（10.5 106/107.87）=97.3 3mol 原子数摩尔数 N0=97.3 6.02 1026=5.86 1028 银为一价原子，故价电子数亦为：5.86 1028个, 价电子密度：ne=(N/V)=5.86 1028 个/m3 (1) 费米能： 2 2/3 02 3 2 Fe En m = 34 1.0545 10 2 h 电子静止质量 m9.11031 kg 68 0282 2/319 31 1.112 10 (3 5.86 103.14 )8.8 10( ) 2 9.109 10 F EJ 单位换为ev， 0 5.49 F Eev费米温度： 019 4 23 8.8 10 6.38 10 1.38 10 F F B E TT K (2) 费米球半径 KF(32ne)(1/3)= (3 3.142 5.86 1028)1/312.02 109（1/m）另外： 03119 9 2268 22 9.1 108.8 101 1.2 10 () 1.0510 F F mE K m (3) 费米速度 ： 20 1 2 FF mvE= 19 06 31 28.8 102 1.391 10/ 9.1 10 FF Em s m 1/2 1/2 =(4) 费米球最大截面积： 0 220 max 22 21 4.56 10 () F F mE SK m = (5) 常温下电子平均自由时间 、平均自由程L。 电阻率为：1.61106:cm（295K）, 0.038106:cm（20K）设 T=295K，由=nee2/m 得 2 1 e m n e 31 14 2282388 9.1 10 3.77 10 s 5.86 1.01.6101.61 10 e m n e LvF 3.77 10-14 1.39 1065.24 10-8(m) 设低温 T=20K，=0.0038 10-8 (/)(1.61/0.0038)424424424 3.77 10-14 s 1.6 10-11 (m)L vF1.6 10-11 1.39 1062.22 10-5 (m) 6.4 设 N 个电子组成简并的自由电子气，体积为 V， 证明 T 0K 时，有