1.5 描述矢量场分布和变化的物理量

22:28:28 矢量场矢量场空间分布特征空间分布特征描述描述矢量线矢量线，散度，散度 矢量场矢量场空间变化特征空间变化特征描述描述旋度旋度 1.5 1.5 描述矢量场分布和变化的物理量描述矢量场分布和变化的物理量 矢量线：矢量线：表示矢量在空间分布的有向线段。表示矢量在空间分布的有向线段。如静电场如静电场 的电力线等。的电力线等。 1.1.根据矢量线确定矢量场中各点矢量的根据矢量线确定矢量场中各点矢量的方向方向 2.2.根据各处矢量线的疏密程度，判别出各处矢量的根据各处矢量线的疏密程度，判别出各处矢量的大大 小及变化趋势小及变化趋势。 一、矢量场的矢量线一、矢量场的矢量线 1 1.5 1.5 描述矢量场分布和变化的物理量描述矢量场分布和变化的物理量 A B A点受到向下电场力点受到向下电场力 B点受到向下电场力点受到向下电场力 A点比点比B点受到的力大点受到的力大 越密矢量越大越密矢量越大 特点：特点： 矢量线上任意点的矢量线上任意点的切线方向切线方向必定与该点的必定与该点的矢量矢量 方向方向相同相同。 xyz xyz AA eA eA e 0 xyz xyz eee A drAAA dxdydz 矢量线方程矢量线方程 xyz dxdydz AAA xyzdrdxedyedze PAdr在 处 与共线0A dr 22:28:28 xyz rxeyeze 矢量矢量场场 P点的点的矢径矢径 微分矢量微分矢量 1.5 1.5 描述矢量场分布和变化的物理量描述矢量场分布和变化的物理量 矢量线矢量线 o P ( )A r drrr dr 3 例例1-2 求矢量场求矢量场的矢量线方程的矢量线方程 解：解： 矢量线应满足的微分方程为矢量线应满足的微分方程为 222 dxdydz xyx yy z 22 22 dxdy xyx y dxdz xyy z 1 22 2 zc x xyc 从而有从而有 c1和和c2是积分常数。是积分常数。 222 xyz Axy ex yezy e 1.5 1.5 描述矢量场分布和变化的物理量描述矢量场分布和变化的物理量 问题问题：如何定量描述矢量场的大小如何定量描述矢量场的大小？通量通量 22:28:28 1.1.面元矢量：面元矢量： 方向：方向：1、开曲面上的面元、开曲面上的面元2、闭合面上的面元、闭合面上的面元 确定绕行确定绕行l的方向后，的方向后， 沿绕行方向按右手沿绕行方向按右手 螺旋螺旋拇指方向拇指方向 闭合曲面的闭合曲面的 外法线方向外法线方向 dSnSd 面积很小的有向曲面面积很小的有向曲面 1.5 1.5 描述矢量场分布和变化的物理量描述矢量场分布和变化的物理量 二二、通量和散度通量和散度： 5 2.2.矢量场的矢量场的通量通量 A Sd 1、穿过面元穿过面元的通量的通量 A 2、穿过整个曲面穿过整个曲面S的通量的通量 A 3、穿过闭合曲面穿过闭合曲面S的通量的通量 cosA dSAdS cos SS A dSAdS cos SS A dSAdS 通量特性：通量特性：反映某一空间内场源总的特性反映某一空间内场源总的特性 1.5 1.5 描述矢量场分布和变化的物理量描述矢量场分布和变化的物理量 22:28:28 0 通过闭合曲面有通过闭合曲面有 净的矢量线穿出净的矢量线穿出 0 有净的矢有净的矢 量线进入量线进入 0 进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲 面的矢量线相等面的矢量线相等 矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从闭合曲面的通量从宏观上宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通建立了矢量场通过闭合曲面的通 量与曲面内产生矢量场的源的关系。量与曲面内产生矢量场的源的关系。 通量的物理意义通量的物理意义 1.5 1.5 描述矢量场分布和变化的物理量描述矢量场分布和变化的物理量 对于流体场，对于流体场， 若穿过闭合面若穿过闭合面S S的通量不等于零，则表示的通量不等于零，则表示闭合面闭合面包围的体包围的体 积内有净流量流出或流入。积内有净流量流出或流入。 S v dS 7 散度的定义散度的定义 在场空间在场空间中任意点中任意点M M 处作一个闭合曲面，所围的处作一个闭合曲面，所围的 体积为体积为，则定义场矢量，则定义场矢量在在M M 点处的散度为：点处的散度为： ( )A r V 即即流出单位体积元封闭面的通量。流出单位体积元封闭面的通量。 3.3.矢量场的散度矢量场的散度 0 lim S V A dS divA V ( )A r 22:28:28 矢量场矢量场的通量讨论了一定曲面所包围的体积内场的通量讨论了一定曲面所包围的体积内场 的性质，要讨论空间中每一点场的性质，必须引入的性质，要讨论空间中每一点场的性质，必须引入散散 度度的概念。的概念。 1.5 1.5 描述矢量场分布和变化的物理量描述矢量场分布和变化的物理量 8 散度的物理意义散度的物理意义 矢量场的散度表征了矢量场的矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性通量源的分布特性( (体密度体密度) )； 矢量场的矢量场的散度是标量散度是标量； 矢量场的散度是空间坐标的函数；矢量场的散度是空间坐标的函数； 矢量场的散度值表征空间中某点处矢量场的散度值表征空间中某点处通量源的密度通量源的密度。 ( ( 正源正源) )( )0divA r 负负源源) )( )0divA r ( ( 无源无源）( )0divA r 若若处处成立，则该矢量场称为处处成立，则该矢量场称为无散场无散场 若若，则该矢量场称为，则该矢量场称为有散场有散场， 为源密度为源密度( )0divA r ( )0divA r 讨论：在矢量场中，讨论：在矢量场中， 1.5 1.5 描述矢量场分布和变化的物理量描述矢量场分布和变化的物理量 在直角坐标系中，如图做一封闭在直角坐标系中，如图做一封闭 曲面，该封闭曲面由六个平面组成。曲面，该封闭曲面由六个平面组成。 矢量场矢量场表示为：表示为：A xxyyzz AA eA eAe 规定：规定：穿入为负，穿出为正。穿入为负，穿出为正。 1 11 ( )() xxx S AA x edSy ze 1 ( ) x A xy z 2 22 d() x S xx AA xyeSze 在在 x方向上：方向上：计算穿过计算穿过和和面的通量为面的通量为 2 S 1 S 1 () x A xxy z 123456 123456 ddddddd SSSSSSS ASASASASASASAS 散度的计算散度的计算 1 S z y x 6 S 5 S 4 S 3 S 2 S 三边的长度分别三边的长度分别 为为x, y, z 1.5 1.5 描述矢量场分布和变化的物理量描述矢量场分布和变化的物理量 1 S z y x 6 S 5 S 4 S 3 S 2 S 1 11 ( )() xxx S AA x edSy ze 1 ( ) x A xy z 2 22 d() x S xx AA xyeSze 1 () x A xxy z 11 ( ) ()( ) x xx A x A xxA xx x 因为： 2 21 ( ) d( ) x x S A x ASA xy zx y z x 则： 在在 x 方向上的总通量：方向上的总通量： 12 12 dd x SS A ASASx y z x 22:28:28 1.5 1.5 描述矢量场分布和变化的物理量描述矢量场分布和变化的物理量 11 1 S z y x 6 S 5 S 4 S 3 S 2 S 在 z 方向上,穿过和面的总通量： 5 S 6 S 56 56 dd Z SS A ASASx y z z 整个封闭曲面的总通量： d() y xz S A AA ASx y z xyz 34 34 dd y SS A ASASx y z y 同理：在 y方向上,穿过和面的总通量： 3 S 4 S 该闭合曲面所包围的体积：zyxV 0 lim S V A dS divA V y xz A AA divAA xyz y xz A AA xyz 22:28:28 1.5 1.5 描述矢量场分布和变化的物理量描述矢量场分布和变化的物理量 12 在直角坐标系下：在直角坐标系下： ( ) y xz A AA divA r xyz () () xyzxxyyzz eeeA eA eA e xyz ( )A r 在柱坐标系下：在柱坐标系下： 在球坐标系下：在球坐标系下： ()11 ( ) rz A rAA A r rrrz 2 2 111 ( )()(sin) sinsin r A A rr AA rrrr 22:28:28 散度符合规则：散度符合规则： ()ABAB ()AAA 1.5 1.5 描述矢量场分布和变化的物理量描述矢量场分布和变化的物理量 13 ( )( , , )A rrr x y z 或)(rA )(rr 例例1：矢量场：矢量场，计算，计算穿过一个球心穿过一个球心 在原点，半径为在原点，半径为a a的球面的通量，并计算此矢量场的散度的球面的通量，并计算此矢量场的散度 在球坐标内在球坐标内 的球面上各点的矢量为的球面上各点的矢量为 ( ), rr re r aear r)(其大小处处相等。其大小处处相等。ra 解：解： dSeSd r () rr S adS ee ( )() () xyzxyzr reeee xe ye z xyz 在球面上的面元矢量在球面上的面元矢量 在直角坐标内计算，有在直角坐标内计算，有 3 xyz xyz ( ) S A rdS ( ) S r adS S adS 3 4 a 22:28:28 1.5 1.5 描述矢量场分布和变化的物理量描述矢量场分布和变化的物理量 14 3)( 1 )( 1 )( 3 2 2 2 r rr rr rr rr 若在球坐标内计算，则若在球坐标内计算，则 证明了矢量场的散度与坐标的选择无关。证明了矢量场的散度与坐标的选择无关。 .4 .4 矢量场的通量矢量场的通量散度散度1.5 1.5 描述矢量场分布和变化的物理量描述矢量场分布和变化的物理量 4.4.散度的运算公式散度的运算公式 10)C VS AdVA dS 5.5.高斯定理高斯定理( (散度定理散度定理) ) 5)( ) dA A uu du 2)()kAkA 3)()ABAB 4)()uAuAAu ku ( ( 为为常常数数， 为为标标量量函函数数) ) 应用：应用： 1）将一个将一个封闭封闭面积分变成等价的体积分面积分变成等价的体积分。 2）将一个体积分变成等价的将一个体积分变成等价的封闭封闭面积分面积分。 1.5 1.5 描述矢量场分布和变化的物理量描述矢量场分布和变化的物理量 333 () () xyzxyz xxyyzz Deeeeee xyzRRR 333 ()()() xxyyzz xRyRzR 3333 3111 ()()()()()()xxyyzz Rx Ry Rz R ()()() xyzRxx eyy ezz e|RR 3 R D R 0R 例：例：已知已知, ,求矢量求矢量 在在处的散度。处的散度。 解解可用两种方法求解：可用两种方法求解： 3 () R D R 33 11 ()RR RR 222 3555 33()3()3()xxyyzz RRRR 0 34 33 ()RR RR 34 33 0 R R RRR 22:28:28 1.5 1.5 描述矢量场分布和变化的物理量描述矢量场分布和变化的物理量 17 1.5 1.5 矢量场的矢量场的环流环流旋度旋度 矢量场矢量场用用矢量线矢量线来描述，那么来描述，那么矢量线矢量线的形状如何？也的形状如何？也 同样影响同样影响场场的性质。的性质。 图一的场线是图一的场线是发散的发散的，而图二的场线是，而图二的场线是涡旋的涡旋的，它，它 们描述的场的性质是不同的，这种不同是利用们描述的场的性质是不同的，这种不同是利用场量场量对对曲曲 线线的积分即的积分即环流环流来表示的。来表示的。 流速场 1.5 1.5 矢量场的矢量场的环流环流旋度旋度 三、环流与旋度三、环流与旋度 Sn S 环流的计算环流的计算 A C P 1.1.环流：环流： ( ) C A rdl 在矢量场中，任意取一闭合曲线在矢量场中，任意取一闭合曲线C C，将，将 矢量矢量沿该曲线积分称之为沿该曲线积分称之为环流环流。即：。即：( )A r 环流的大小与闭合路径有关，它表示绕环线旋转趋势的大小。 水流沿平行于水管轴线方向流动，= 0，无涡旋运动。 流体做涡旋运动，0，有产生涡旋的源。 ( )cos C A rdl 22:28:2819 ( ) C A rdl 在直角坐标系中在直角坐标系中 xyz xyz AA eA eA e xyzdldxedyedze xyz CC A dlA dxA dyA dz 0 l l dE l H dlI 1.5 1.5 矢量场的矢量场的环流环流旋度旋度 表明矢量场的涡旋方向与有向曲线的方向相反表明矢量场的涡旋方向与有向曲线的方向相反0 表明在区域内无涡旋状态，场线不闭合表明在区域内无涡旋状态，场线不闭合0 反映矢量场旋涡源分布情况。反映矢量场旋涡源分布情况。 0 表明在区域内存在涡旋状态，场线闭合表明在区域内存在涡旋状态，场线闭合 0 表明矢量场的涡旋方向与有向曲线的方向大体一致表明矢量场的涡旋方向与有向曲线的方向大体一致 1.5 1.5 矢量场的矢量场的环流环流旋度旋度 xyz CC A dlA dxA dyA dz 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源 的宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引的宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引 入矢量场的旋度。入矢量场的旋度。 22:28:28 过点过点M 作一微小曲面作一微小曲面 S，它，它 的边界曲线记为的边界曲线记为C，曲面的法线方，曲面的法线方 向向n与曲线的绕向成右手螺旋法则。与曲线的绕向成右手螺旋法则。 当当 S0时，极限时，极限 称为称为矢量场在矢量场在点点M 处沿方向处沿方向n的的环流面密度环流面密度。 S C M A n 特点特点：其值其值与与点点M 处的方向处的方向n有关。有关。 1.5 1.5 矢量场的矢量场的环流环流旋度旋度 2. 2. 环流面密度环流面密度 0 lim c n S A dl rot A S 22 3.3.矢量场的矢量场的旋度旋度 max 0 lim c S A dl rotAn S 式中：式中： 表示矢量场旋度的方向；表示矢量场旋度的方向；n 1 1）旋度的定义）旋度的定义 旋度是一个矢量，其大小等于环流面密度的最大旋度是一个矢量，其大小等于环流面密度的最大 值；其方向为最大环流面密度的方向。用值；其方向为最大环流面密度的方向。用表示，表示， 即：即： rotA 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 某点旋度的大小是该点环流面密度的最大值，其方向 是最大环流面密度的方向。 2 2）旋度的物理意义）旋度的物理意义 1.5 1.5 矢量场的矢量场的环流环流旋度旋度 3 3）旋度在直角坐标系中的表达式旋度在直角坐标系中的表达式 ( )( )( )( ) xyz xyz A rA r eA r eA r e ()() y z yzyz A A AAyAzA y yy z zz () y z A A y z yz 以点以点M为顶点，取一个平行于为顶点，取一个平行于 yz面的矩形面元，则面元矢量与面的矩形面元，则面元矢量与x 轴平行，其模用轴平行，其模用表示。表示。 x S 在在M(x,y,z)点，有点，有 12341234 xyz A dlA dxAA dzdy 0 0 1 14 4 2 2 3 3 1.5 1.5 矢量场的矢量场的环流环流旋度旋度 0 lim y xz y S y A dl AA rot A Szx 0 lim z y x z S z A dl A A rot A Sxy 同理可得同理可得 rotA在在y轴上的分量轴上的分量 rotA在在z轴上的分量轴上的分量 1234 0 lim x y z x S x A dl A A rot A Syz rotA在在x轴上的分量轴上的分量 1234 () y z A A A dly z yz 1.5 1.5 矢量场的矢量场的环流环流旋度旋度 xyz xyz rotAe rot Ae rot Ae rot A ()()() yy xxzz xyz AA AAAA eee yzzxxy rotA xyz xyz eee rotAA xyz AAA () () xyzxyz xyz eeee Ae Ae A xyz A 1.5 1.5 矢量场的矢量场的环流环流旋度旋度 1 z z eee A z AAA 2 sin 1 sin sin r r erere A rr ArArA 柱坐标系：柱坐标系： 球坐标系：球坐标系： 1.5 1.5 矢量场的矢量场的环流环流旋度旋度 1.5 1.5 矢量场的矢量场的环流环流旋度旋度 C 7)()0A ku 式中，为常矢量， 为常数， 为标量函数。 矢量场的旋度矢量场的旋度 的散度恒为零的散度恒为零 4 4）旋度计算相关公式：）旋度计算相关公式： 1)0C 3)()ABAB 5)()A BBAAB ( ) 8)( ) dA u A uu du 2)()kAkA 4)()uAuAuA 6)0u 标量场的梯度标量场的梯度 的旋度恒为零的旋度恒为零 旋度与散度的区别：旋度与散度的区别： 1)1)一个矢量场的一个矢量场的旋度旋度是一个是一个矢量矢量函数，而一个矢量场的散函数，而一个矢量场的散 度是一个度是一个标量标量函数。函数。 2)2)旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源的关系旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源的关系，而，而 散度描述的是矢量场中各点的场量与通量源的关系散度描述的是矢量场中各点的场量与通量源的关系。 3)3)如果矢量场所在的全部空间中，如果矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零场的旋度处处为零，则，则 这种场中不可能存在旋涡源，因而称之为这种场中不可能存在旋涡源，因而称之为无旋场无旋场( (或保守或保守 场场) )；如果矢量场所在的全部空间中，；如果矢量场所在的全部空间中，场的散度处处为零场的散度处处为零， 则这种场中不可能存在通量源，因而称之为则这种场中不可能存在通量源，因而称之为无源场无源场( (或管或管 形场形场) )。 1.5 1.5 矢量场的矢量场的环流环流旋度旋度 ()()() yy xxzz xyz AA AAAA rotAAeee yzzxxy y xz A AA divAA xyz 4)4)在旋度公式中，矢量场在旋度公式中，矢量场的场分量的场分量分别只对与其分别只对与其 垂直方向的坐标变量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是垂直方向的坐标变量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是 场分量在与场分量在与其其垂直的方向上的变化规律垂直的方向上的变化规律. . A, xyz A A A 5)5)在散度公式中，矢量场在散度公式中，矢量场的场分量的场分量分别只对分别只对 求偏导数，求偏导数，所以矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方所以矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方 向上的变化规律向上的变化规律。 A , xyz A A A, ,x y z 1.5 1.5 矢量场的矢量场的环流环流旋度旋度 5.5.矢量场旋度的重要性质矢量场旋度的重要性质 ()0A 任意矢量场旋度的散度等于零。任意矢量场旋度的散度等于零。 4.4.斯托克斯定理斯托克斯定理 () S l A dlA dS 应用：应用： 1）将矢量旋度的面积分转换成该矢量的线积分；将矢量旋度的面积分转换成该矢量的线积分； 2）将矢量的线积分转换为该矢量旋度的面积分。将矢量的线积分转换为该矢量旋度的面积分。 1.5 1.5 矢量场的矢量场的环流环流旋度旋度 22 xy A dlA dxA dyx dxy dy 2 例例1：求矢量场：求矢量场沿着沿着xy面内一个闭合路径面内一个闭合路径C 的线积分，此闭合路径由的线积分，此闭合路径由(0,0)和和(2, )之间的一段抛物线之间的一段抛物线 和两段平行于坐标轴的直线轴组成，如图所示。再计算和两段平行于坐标轴的直线轴组成，如图所示。再计算的旋度。的旋度。 222 ( ) xyzA rx ey ez e 2 yx A 解：因为回路在平面解：因为回路在平面xy内，内，dz=0，故有，故有 1.5 1.5 矢量场的矢量场的环流环流旋度旋度 220 222 002 () 2 x A dlx dxy dyxdx 3 333 2 2200 0022 |0 3333 xyxx 2 dx dy x 2 2 xdx y dy 2 yx利用利用，消去一个变量，例如，消去一个变量，例如y y，得到，得到 xyz A dlA dxA dyA dz 222 () ()0 xyzxyzAeeee xe ye z xyz 注意：注意： 在计算路