14 欧氏空间中的点集

1.4 n R中的点集中的点集 本节要点本节要点 由于欧氏空间 n R 上有距离结构, n R 中具有丰富多 样的点集.本节介绍 n R 上的一些具有特殊性质的集,例如开集,闭 集,Borel 集等.本节介绍了一个重要的集Cantor 集. Cantor 集有一 些很特别的性质,在举例时常常用到. 通过本节的学习,熟悉 n R 上的各种各样的集,为本课程后面的 学习打下基础.利用几何图形的直观,可以帮助理解本节的内容. 由于欧氏空间 n R 具有丰富的结构, 因此在 n R 中具有丰富多样的点集. 本节 将介绍 n R 中的一些常见的点集. 本节在一般的n维空间上讨论, 但读者不妨以 直线上或平面上的情形为特例, 将有助于对这些内容的理解. 1.4.1 n R 上的距离上的距离 设n是正整数. 由有序n元实数组的全体所成的集合 n R 称为n维欧氏空间维欧氏空间, 即 n R = 1 11 ( ,):,. nn xxxxx=R 其中 12 ,RR和 3 R分别就是直线, 平面和三维空间. 熟知 n R按照如下的加法和数 乘运算成为一个 n 维线性空间: 1111 ( ,)(,)(,), nnnn xxyyxyxy+=+ 11 ( ,)(,). nn xxxx= 1 ( ,) n xxx=称为是 n R中的点或向量, 称(1, ) i x in=为x的第i个坐标. 对 n R中的任意两点 1 ( ,) n xxx=和 1 (,), n yyy= 定义这两点之间的距离为 () 1 22 2 11 ( , )()(). nn d x yxyxy=-+- (1.16) 由(1.15)式定义的 n R上的距离具有以下性质: (1) 非负性: ( , )0,d x y 0),(yxd当且仅当.yx (2) 对称性: ( , )( , ).d x yd y x= (3) 三角不等式: ( , )( , )( , ).d x yd x zd z y+ 利用 n R上的距离可以定义 n R中的点列的极限. 定义定义1.11 设 k x是 n R中的一个点列, x. n R 若 , 0),(lim xxd k k 则称 k x收敛于, x 称x为 k x的极限极限, 记为,limxxk k 或(). k xx k 在 n R中点列的收敛等价于按坐标收敛. 即如果 ( )( )( ) 1 (,), kkk n xxx= 1 ( ,), n xxx= 则 ( ) lim k k xx =的充要条件是对每个1,in=有 ( ) lim. k ii k xx = 这是因为由距离的 定义容易知道,对 n R中任意两点 1 ( ,) n xxx=和 1 (,) n yyy=有 11 1 max( , ). iinn i n xyd x yxyxy -+- 利用 n R上的距离可以定义集与集的距离. 设A和B是 n R的非空子集. 定义 A与B的距离为 ( ,)inf( , ):,.d A Bd x yxA yB= 特别地, 若, n xR 称( , )inf( , ):d x Ad x yyA=为x与A的距离. 设A是 n R的非空子集. 若存在0M , 使得对任意xA有( ,0),d xM 则 称A是有界集有界集. 1.4.2 开集与闭集开集与闭集 定义定义1.12 设 0 x n R, . 0 称集 ),( 0 xU 0 :( ,) n xd x x, 则 0 x的r-邻域 0 (, )U xr是 n R中的开集. 因此 0 (, )U xr又称为以 0 x 为中心, 以r为半径的开球. 例例1 设( )f x是 定 义 在 n R上 的 连 续 函 数. 则 对 任 意 实 数,a :( ) n xf xaR和:( ) n xf xaR 设 0 ,xE 则 0 ().f xa 由于( )f x在 0 x连 续, 存在0, 使得当 0 (,)xU x时( ).f xa 换言之 0 (,).U xE 故 0 x是E 的内点. 这就证明了E是开集. 类似地可以证明:( ) n xf xa记 0 (, )S xr = 0 : ( ,).x d x xr 则 0 (, )S xr是 n R中的闭集. 称 0 (, )S xr为以 0 x为中心, 以r为半径的闭球. 又显然 有理数集Q的导集Q= 1 R, Q的闭包Q= 1 R. 例例2 n R中的有限集都是闭集. 这是因为若A是有限集, 则A没有聚点, 因 而.AA= 定理定理1.19 (开集与闭集的对偶性开集与闭集的对偶性) 设. n AR 则A是闭集的充要条件是 C A 是开集. 证明证明 必要性必要性. 设A是闭集, 则对任意, C xA x不是A的聚点. 因此存在 x的一个邻域 0 ( ,)U x, 使得 0 ( ,)U x中至多只包含A中有限个点. 设这些点为 1, ,. k xx 因为,xA 故(1, ). i xx ik= 令 min ( , ),1, . i d x x ik= 则0并且( , ),U xA= 这就是说( , )U x C A. 因此x是 C A的内点. 所以 C A是开集. 充分性充分性.设 C A是开集. 则对任意, C xA存在x的一个邻域( , ),U x使得 ( , ) C U xA. 即( , )U x中没有A中的点, 因此x不是A的聚点. 这表明A的聚 点全部在A中, 即. AA 因此A是闭集. 由于A与 C A互为余集, 将定理1.19的结论用到 C A上即知, A是开集的充要 条件是 C A是闭集. 例例3 设( )f x是定义在 n R上的连续函数. 由例1知道, 对任意实数,a :( ) n xf xa ( , ) U xx-中包含A中的点. (3) 存在A中的点列, k x 使得(1) k xx k并且. xxk 证明证明 (1)(2).显然. (2)(3).设(2)成立. 则对每个自然数,k , 1() U xkx-中包含A中的点. 在这些点中任取一点记为, k x 则 k x是A中的点列并且 k xx(1).k由于 (, )1, k d xxk 使得 0 ( ,)U x中只包含A中 的有限个点. 与定理1.19的证明类似, 此时必存在 0 0, 不成立 ( , ),AU x 即A在( , )U x中不是稠密的. 因此疏朗集又称为无处稠密集无处稠密集. 1.4.3 n R上的连续函数上的连续函数 在数学分析中, 常见的连续函数是定义在直线上的区间或 n R中的区域上的. 在实变函数中经常要讨论定义在 n R的任意子集E上的连续函数. 定义定义1.16 设, n ER )(xf是定义在E上的实值函数. 又设Ex 0 . 若对 于任意给定的0, 存在相应的0, 使得当Ex并且),( 0 xxd时, 有 ,)()( 0 xfxf 则称)(xf在在 0 x处连续处连续. 若f在E上的每一点处都连续, 则称f在在E上连续上连续. E上 的连续函数的全体记为( ).C E 容易证明, f在E上连续的充要条件是, 对E中的任意点列, k x 若 k xx 并且,Ex 则lim()( ). k k f xf x = 与例1对照, 对于定义在E上的连续函数, 有如下结果. 例例 5 设E, n R)(xf是E上的连续函数. 则对任意实数, a存在 n R中的开 集G使得 :( ).xEf xaEG= (1.18) 证明证明 设a是实数. 记: ( ). a ExE f xa= 若, a xE 则( ).f xa 由于 f在点x处连续, 存在x的邻域),( x xU, 使得当),( x xUy并且Ey时, ( ).f ya 这说明当 a xE时 ( ,). xa EU xE (1.19) 令( ,), a x x E GU x = 则G是一族开集的并, 因而是开集. 由(1.19)式知道 ()( ,). a xa x E EGEU xE = 另一方面, 对每个 a xE有( ,), x xU xG 从而. a EG 又, a EE 因此 a EEG. 这就证明了(1.18)式成立. 设 k x是 n R中的一个点列. 若存一个有界集A使得(1), k xA k 则称 k x 是有界点列. 为考察有界闭集上的连续函数的性质, 我们要利用数学分析中的熟 知的如下定理. 定理定理1.25 (Bolzano-Weierstrass) n R中的每个有界点列存在收敛子列. 利用定理1.25, 仿照数学分析课程中关于闭区间上连续函数性质的证明, 可 以证明如下事实: 设K是 n R中的有界闭集, )(xf是K上的连续函数. 则 (1) )(xf在K上是有界的. (2)(xf在K上取得最大值和最小值. (3)(xf在K上是一致连续的. 即对于任意给定的0, 存在相应的, 0 使得对任意,xxK 当 ),(xxd时, 有.)()( xfxf 设, n ER( ),( )(1) k f xfxk是定义在E上的函数. 若对任意0, 存在 0N 使得当kN时, 对一切Ex成立( )( ), k fxf x- 则称( ) k fx在E 上一致收敛于( ).f x 与在区间 , a b上的情形一样的可以证明, 若( ) k fx是E上 的一列连续函数, 并且在E上一致收敛于),(xf 则)(xf是E上的连续函数. 1.4.4 开集的构造开集的构造 n R中的开集可以用更简单的集表示出来. 先看直线 1 R上的情形. 设A是直线上的开集, ( , )a b是一个有界或无界开区间. 若( , )a bA, 并且 区间的端点a和b不属于A , 则称( , )a b为A的一个构成区间. 例如, 若 (0, 2)(3, 4),A= 则 (0, 2)和(3, 4)都是A的构成区间, 但(0,1)不是. 定理定理1.26 (直线上开集的构造直线上开集的构造) 直线上的每个非空开集都可以表示成可数 个互不相交的开区间的并(这里也包括像(, ), ( ,)ba-+和(,)- +这样的 无界开区间). 证明证明 设A是直线上的开集. 分几个步骤. (1). 证明证明A中的每一点中的每一点, 必属于必属于A的一个构成区间的一个构成区间. 事实上, 任意,Ax 由 于A是开集, 故存在开区间( ,) 使得Ax),(. 令 inf:( , ),axA= sup:( ,).bx A= (这里a可以是,- b可以是+), 显然( , ).xa b 现在证明( , )a b是A的构成 区间. 设( , ),xa b 不妨设. xxa 由a的定义, 存在使得,xa 并且 ( , ).xA 于是( ,).xxA 这表明( , )a bA. 再证Aba,. 事实上, 若 Aa, 因为A是开集, 必存在0使得(,)aaA-+. 于是(, ).axA- 这与a的定义矛盾. 所以Aa. 类似可证Ab. (2). 证明证明A的构成区间只有可数个的构成区间只有可数个. 事实上, 设 11 (,)ab和 22 (,)ab是两个不 同的构成区间. 若 11 (,)ab和 22 (,)ab相交, 则必有一个区间的端点包含在另一个 区间中. 不妨设 211 ( ,),aa b 则 2 .aA 这与 22 (,)ab是A的构成区间矛盾. 所以 11 (,)ab和 22 (,)ab不相交. 由 1.2例11知道, A的构成区间只有可数个. 于是A 的构成区间的全体可以编号为( ,) ii a b (1,ik或1, 2,i=). (3).证明证明(,). ii i abA= 事实上, 由于每个(,), ii a bA 因此(,). ii i abA 另一方面, 由结论),i ( 对每个Ax, 存在一个构成区间( ,) ii a b使得x(,). ii a b 于是x(,), ii i ab 从而(,). ii i abA 这就证明了(,). ii i abA= 现在看 n R(2)n上的情形. 设 11 ( , (, nn a bab是n个左开右闭区间, 称这 n个区间的直积 11 ( ,(, nn a bab为 n R中的半开方体半开方体. 定理定理1.27 n R中的每个非空开集都可以表示为可列个互不相交的半开方体 的并 证明证明 略略(见教材见教材). 1.4.5 Borel集集 上面已经给出了 n R中有界半开方体的定义. 现在定义 n R中一般的方体. 设 n II, 1 是直线上的(有界或无界的)区间. 称 n R的子集 1111 ( ,):, nnnn IIxxxIxI= 为 n R中的方体方体. 若每个 i I都是开区间, 则称 1n II为 n R中的开方体开方体. 若每个 i I都是闭区间, 则称 1n II为 n R中的闭方体闭方体. 容易证明开方体是开集, 闭方 体是闭集. 显然直线, 平面和三维空间中的方体分别就是区间, 矩形和长方体. 不过这 里的方体比通常意义下的矩形, 长方体更广泛一些. 例如在 2 R中也包括像 (0,1)(,) - 和0,) 0,) 这样的无界矩形. 定义定义1.17 设C是 n R中开集的全体所成的集类. 称( )C为 n R中的Borel -代数代数, 记为(). n RB 称() n RB中的集为Borel集集. 简单地说, Borel集可以看成是开集经过有限或可列并, 交, 差和余运算得到 的集. 定理定理1.28 n R中的开集, 闭集, 可数集, 各种类型的方体都是Borel集. 证明证明 由定义知道开集是Borel集. 由于() n RB对余运算封闭, 而闭集是开 集的余集, 故闭集是Borel集. 因为单点集是闭集, 所以单点集是Borel集. 由于 可数集可以表示成单点集的有限并或可列并, 而() n RB对有限并和 可列并运 算封闭, 所以可数集是Borel集. 由于开方体是开集, 闭方体是闭集, 因此开方体 和闭方体是Borel集. 对于其他类型的方体, 不妨以 2 R中的方体( , ( ,)a bc d为 例. 由于 1 1 ( , ( ,),( ,)() n a bc da bc d n = =+ , 上式右边是一列开方体的交, 它们都是Borel集, 从而形如( , ( ,)a bc d方体是 Borel集. 类似可证明其它类型的方体都是Borel集. ()()()| 01 1 3 2 3 1 9 2 9 7 9 8 9 特别地, 由于有理数集是可列集, 而无理数集是有理数集的余集, 因此有理 数集和无理数集都是Borel集. 设A n R. 若A可以表示为一列闭集的并, 则称A为F型集型集. 若A可表示 为一列开集的交, 则称A为G型集型集. 显然 F型集和 G型集都是Borel集. 定理1.28和上面的例子表明, n R中一些常见的集都是Borel集. 但在 n R中 确实存在不是Borel集的子集, 但这样的例子不是容易给出的. 我们将在 3.1中 给出一个例子. 1.4.6 Cantor集集 下面要介绍的Cantor(三分)集是用精巧的方法构造出来的一个很特别的集. Cantor集有一些重要特性. 在构造一些重要反例时会用到这个集. 例例 6 (Cantor集集) 将区间0,1三等分, 去掉中间的一个开区间, 1 2 . 3 3 将 剩下的部分 12 0,1 33 记为 1. F 将 1 F中的两个闭区间都三等分, 去掉中间的开 区间 12 , 99 和 78 , 99 将剩下的部分记为 2, F 即 2 12 36 78 0,1 . 99 99 99 F = 图 1.5 依次进行, 一般地在作出 1n F - 后, 将将 1n F - 中的每个闭区间都三等分, 去掉 中间的开区间, 将剩下的部分记为. n F 这样一直做下去得到一列集. n F 其中 n F 是 n 2个互不相交的闭区间的并, 每个闭区间的长为 1 . 3n 最后令 1 n n KF = =. 这样 作出的集K称为Cantor集集(如图1.5 ). 在构造Cantor集时从0,1中去掉的那些 开区间称为Cantor集的邻接开区间邻接开区间. 将这些