20592012第五届二阶段优秀论文2059VIP

第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛承 诺 书我们仔细阅读了第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们允许数学中国网站()公布论文，以供网友之间学习交流，数学中国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。我们的参赛队号为：2059参赛队员 (签名) ：队员1：高翠 队员2：邱晴晴队员3：吴风娇参赛队教练员 (签名)：卢福良 参赛队伍组别：本科组第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛编 号 专 用 页参赛队伍的参赛队号：（请各个参赛队提前填写好）：2059竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：2012年第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛题 目 具体环境下蛛网结构的最优模型 关 键 词 蒲丰投针、极限思想、悬挂法、概率论 +摘 要世界上生存着许多种类的蜘蛛，而其中的大部分种类都会通过结网来进行捕食，不同的蜘蛛有不同的蛛网结构和不同的织网环境。在一个具体的环境下，蛛网结构的建立直接影响蜘蛛的捕食效率。具体地说，捕食效率的主要影响因素包括蛛网的捕食面积和捕丝间距。本文认为在一个凸多边形区域内织一张最优蜘蛛网，就是要在其有限区域内确立的一个最大捕食面的同时，确立一个最佳的捕丝间距。本文的具体思路如下：首先利用理论分析和实例证明，在给定的支撑点中确定若干个合适的支撑点，然后用悬挂法找到该区域的中心点，最后连接中心点与确定的支撑点，这就构建了一个在该凸多边形区域内捕食面积达到最大的最优蛛网框架。接着求解最佳捕丝间距。蛛网是由捕丝和放射丝组成的，捕丝是成对数螺线排列，由放射线连接形成大小不一的网眼。所以确切来说蛛网是由大小不一的网眼组成的，而网眼的大小是由捕丝间距决定的，于是最佳捕丝间距就决定了一个在固定蛛网框架下的最优蛛网结构。虽然事实上网眼大小不一，但蛛网的最大捕丝间距和最小捕丝间距之间的数值相差不到几毫米，所以归结到数学平面模型中求解时可以运用极限思想，在误差允许的范围内，假设蛛网各捕丝线平行、各捕丝间距相等在一定程度上是可行。蛛网的外围只起支撑和固定蛛网的作用，不用作捕食，并且该外围非平行线区域只占整个蛛网的极小部分，所以可以忽略该外围极小非平行线部分的影响，将对数螺线形状的蛛网捕食面理想化为各捕丝间距相等的若干个不规则凸多边形环状网格。蛛网上捕丝线有粘性，放射线没有粘性，并且捕丝线粘性和弹性极强，猎物一旦落网就很难逃脱。故能捕获到猎物的蛛网的有效部位就是捕食面上的不规则凸多边形环。于是该问题可以转化为向不规则凸多边形环中投猎物的问题，捕丝间距为多大时，猎物落在捕丝线上的概率最大。可根据概率论知识中的“蒲丰投针”模型的思想得出该最佳捕丝间距的一个取值范围。由相关数据可知蜘蛛的猎物体积一般较小，由此捕丝间距应越小越好。但是可以认为蜘蛛体内的丝线是有限的，同时考虑到网眼较小时，蛛网就会过密，不但会容易被猎物发现还会使捕食面变小，不利于猎物的捕获，因此捕丝间距也不易过小。在蛛丝总长度有限的情况下，保证最大捕食面积。捕食面和蛛丝总长度可确立两个关于捕丝间距d的函数关系式，经过求解分析可以得到一个最佳捕丝间距d。蛛网框架和最佳捕丝间距确立，则在具体凸多边形区域的织网环境下的最优蛛网结构也最终确立。参赛密码 （由组委会填写）参赛队号 2059 所选题目 A 英文摘要（选填）（此摘要非论文必须部分，选填可加分，加分不超过论文总分的5%）The fact that there are many kinds of spiders can been found in the world, most of which use of web-building capture prey. Based on the investigation of web-building spiders, it can be found that different species of spiders spun different varieties of webs and live in different environments. In a specific network condition, the structure of the webs can affect the efficiency of prey capture and foraging investment directly. Therefore the main influencing factors include predation area of cobweb and the capturing wire spacing. The main purpose that spider spun a most suitable web in a specific convex polygon area is that find out a maximum predation area as well as the optimal the capturing wire spacing. In commence, it determine some suitable supporting points through the theory analysis. Finally, it connect the central point with the former determined supporting points. And it constructed a maximum optimal spider predator framework in this convex polygon area. Then based on the cobweb is composed of a the capturing wire and radiation silk ,a wire arrange from logarithmic spiral and radiation silks form a large mesh by interconnection, it find the solution of optimal the capturing wire spacing. So it is said exactly cobweb is composed of the different size meshes. Then the mesh size is decided by the space between the capturing wires. Thus the best spacing determines a fixed with frame under the optimal web structure. It can apply limit thought by using the solution of planar Mathematical Model. That means that every the capturing wire are parallel and each thread computing equally spaced in the range of allowable error .Because periphery of cobweb only play the role of supporting and fixing without preying , the paper ignore the influence of this part and can idealize the logarithmic spiral shape with predation surface to some irregular convex polygon ring that every capturing wire spacing is equal. And the the capturing wire have a strong adhesive, so prey is difficult to escape once captured . The effective position which can capture the prey is the irregular convex polygon ring in predation surface .Therefore this problem can be equal with the question that throw prey to the irregular convex polygon .It means that probability of prey fall over the capturing lines catch the maximum what a the capturing wire is .According to the probability theory of “Buffon throwing-pin” model,this paper can achieve the best range of optimal capturing wire.It can be gained that the spiders prey size is generally small by form (2),the capturing wire spacing should be as small as possible.But in fact that the number of spiders wire is limited ,the cobweb will be too dense when the mesh is too small.Thus the predation surface not only is found but also would become small.It is concluded that it should ensure maximum predation area under the condition the overall length limited .We give an function relation type about the capturing wire spacing D according to the predation and total length of spiders wire.The optimal the capturing wire spacing D is established through the analysis. Finally it established the best spiders structure and web framework in the specific convex polygon area.参赛队号 #2059 （一）问题提出蛛网是蜘蛛的捕食工具，在一个具体的凸多边形区域中，蜘蛛要想捕获到最多的猎物，其蛛网结构的设计至关重要。要想求出它的最优结构，我们首先来了解一下蜘蛛是如何结网的。在一个具体的环境下， 首先，蜘蛛先向空中放出一根长长的“搜索丝”。之后，放出一根悬垂丝，并在这根丝的中段加上第三根丝成Y字状，形成蜘蛛网最初的3根不规则半径。再加上多条辐射线形成一张网的基本框架，该框架决定了蛛网的捕食面积。 框架完成后，蜘蛛接下的工作是铺设螺旋线，纺织成网。蜘蛛以网心为起点，织出一根自内向外的螺旋线，当做下一道工序的“脚手架”。需要指出的是，直到“脚手架”搭好，蜘蛛所织出的网还没有黏性，也就是说还粘不住昆虫（参考文献【1】）。这时，蜘蛛便从外向网心开始铺设有黏性的丝，即捕食螺线，同时把“脚手架”啃吃掉，完成最后一道工序。蜘蛛所织的网几乎都是对数螺线虽然放射线的数目对不同的蜘蛛而言是不相同的，但这个规律适用于各种蜘蛛。蛛网中成对数螺线分布是捕丝,在蜘蛛的捕食面中起主要作用，它是一种似油状物质的具有很强粘性的丝线，可以粘住猎物，甚至是高速飞行的昆虫。各捕丝螺线间的距离即为捕丝间距。蜘蛛多以昆虫、其他蜘蛛、多足类为食，部分蜘蛛也会以小型动物为食，所以捕丝间距不宜过大。（参考文献【2】）。从蜘蛛的织网过程中可以看出，影响蜘蛛捕食效率的因素主要有最初基本框架的建立和后来最佳捕丝间距的确立。所以，在一个凸多边形区域环境下设计一张最优蛛网结构。我们所要做的就是解决以下两个问题问题一：在一个具体的凸多边形织网区域内，找出合适的支撑点建立一个在该区域内捕食面积能达到最大的最优蛛网基本框架模型I：在凸多边形的区域边界上安置有若干个支撑点，蛛丝只可以连接到支撑点上，不能连接到区域的其他点。所以在模型I中，我们需要解决的问题是在该若干个支撑点中选取哪几个合适的点做蛛网的支撑点才能得到在该区域内的最大捕食面积，并且所用的蛛丝量要尽可能的最少。模型II：蛛丝可以连接到凸多边形区域边界的任何点上。所以同理于模型I，在模型II中，我们所要解决的问题是在该凸多边形的边界上选取哪几个合适的点做蛛网的支撑点才能得到在该区域内的最大捕食面积，并且所用的蛛丝量要尽可能的最少。（参考文献【3】）问题二：确立一个最佳捕丝间距在蛛网框架确定以后，选取一个多大的捕丝间距来设计蛛网的内部结构，才能让蜘蛛捕获到最多的猎物。该捕丝间距决定的只是蛛网的内部结构，对任意形状的蛛网都是适用的。所以最佳捕丝间距对模型I和模型II均是适用的。（二）问题分析问题一的分析：找合适的蛛网支撑点在具体凸多边形区域织网环境下，选取合适的支撑点和中心点，中心点与各支撑点连接就能确立一个蛛网框架。框架的建立决定了蛛网的捕食面积，捕食面积是捕食效率的决定因素。蛛网框架是由放射丝组成的，放射丝无粘性，起捕食作用的是捕丝，所以蜘蛛体内的丝线是有限，并保证捕食面积尽可能大的情况下，要让框架用到的丝线尽可能的少。综上所述：选取合适的支撑点对最优框架的建立至关重要。对模型I最优框架建立的分析：在该凸多边形的若干个支撑点中任意选取不同的支撑点，连接后可得到的若干个不同形状的凸多边形的面积，从中选取面积最大的新凸多边形。其中该新凸多边形的的顶点就是所要选取的最合适支撑点。为了保证框架所用丝线尽可能的最少，只选取这些顶点作为蛛网的支撑点。该新凸多边形的中心与各顶点的连线就组成了在具体环境下的蛛网的最优框架。对模型II最优框架建立的分析：其实模型II是对模型I的一个优化蛛丝可以连接到该凸多边形的区域边界的任何点上，所以以该凸多边形边界的任一点为顶点我们可以在该凸多边形区域内得到无数个新凸多边形，但其中面积最大的图形其实就是它本身。所以模型II中要选取的最合适的支撑点就是该凸多边形区域的顶点。该凸多边形的中心与各顶点的连线就是所要求的在该凸多边形区域织网环境下的蛛网的最优框架。问题二的分析：求最佳捕丝间距蛛网框架确立后，需要依据一个最佳的捕丝间距来设计蛛网的内部结构，内部的构造决定了所捕猎物是否会逃脱，对于模型I和模型II来说意义都是一样的，所以该最佳捕丝间距对模型I和模型II都是适用的。如何求得最佳捕丝间距，分析如下：1、蛛丝材质分析：蜘蛛丝是由蛋白质组成的，可生物降解，又耐高温更重要的是蜘蛛丝具有特别优异的力学性能：强度高、断裂伸长值大、断裂功高。蜘蛛丝的断裂强度虽然不及钢丝和用于制造防弹衣的Kevlar，但是其断裂伸长率是钢丝的510倍，是Kevlar的1020倍。特别是断裂功比钢丝和Kevlar大很多。以大腹圆蛛的丝线与丝素的研究为例来说明（ 参考文献【4】）大腹圆蛛各种丝与丝素等的拉伸机械性能测试结果试样断裂强度(cN/m)断裂伸长率(%)断裂比功(cN/m)截面积(u)牵引丝713.837.5134.820.28框丝678.683.1258.439.59内层包卵丝81650.8311.746.98外层包卵丝488.446.2178.295.8丝素565.313.753.367.93钢丝200080.3/Kevlar4000426/ 表格（1） 由表格（1）可知：不管猎物如何挣扎，蛛丝都不易断裂，所以猎物一旦落网就很难逃脱。即不存在猎物还会逃脱的问题，不用考虑蜘蛛的反应时间和蜘蛛到猎物的最短路径问题。2、实际蛛网结构分析: 此图（ 参考文献【5】）由图可知：越大的捕食面意味着有越多的捕食机会。捕丝间距即相邻的两圈捕丝的距离, 其大小可以在一定程度上反映出蜘蛛对食物大小的选择, 也可以反映出网的强度: 捕丝间距大, 则网的强度大 。网眼即相邻两圈捕丝和相邻两根放射丝围成的小空间,其大小不仅可以像捕丝间距那样反映出蜘蛛对食物大小的选择倾向, 还可以反映出网的强度: 网眼小, 网一般更为牢固。捕食面大小和网眼( 捕丝间距) 大小是影响蜘蛛捕食效率的重要特征。表（2）为一般蜘蛛主要捕食猎物的大小（数据来自百度百科）猎物名称体长（大小）飞虱3.04.5毫米叶蝉4.654毫米苍蝇8.013.0毫米草蜢80100毫米 表格（2）由表格（2）可知：蜘蛛的猎物体积相对较少，为了捕获到更多猎物，蜘蛛的网眼（捕食间距）应越小越好。3、其他因素和网眼的关系：并不是说网眼越小就越好，因为网眼的大小还决定网的牢固程度，如在有风的情况下, 蜘蛛结出的网的捕丝间就相对较大, 此时丝的张力也就越大, 网的结构稳定性也就越高。同时网眼越大，网越不容易被捕食者发现，网也能尽可能多的网住猎物。因此网眼也不易过小.捕丝有粘性，放射丝没有粘性，猎物落到放射丝上并不会被粘住，所以排除放射丝的影响，只考虑捕丝面上的凸多边形环线，只要让猎物尽可能的落到凸多边形环线上即可。同时蜘蛛体内的蛛丝是有限的，越密集的话，捕食面就会越小。所以蜘蛛网也并不是越密集越好。因此我们要解决的是在蛛丝长度有限的情况下，怎样找到一个最优捕丝间距，能得到最大的捕食面，捕获最多的猎物（即求出一个最优捕丝间距使得猎物落在捕丝上的概率最大）。（三）问题假设1、 假设捕丝面中相邻两条捕丝平行、捕丝间距相等。（最大捕食面间距和最小捕食面间距相差不到几毫米。可由极限思想得到捕丝间距相等）归结到凸多边形环的问题上来考虑。2、 假设珠丝总长度足够蜘蛛织完这张网。3、 蛛网外围非平行线部分只占整张蛛网的极小一部分，在误差允许的范围内可以忽略不计。4、 假设在蛛网的任何位置上，相同类型蛛丝强度都是相同的。5、 假设蛛网的粘性足够大，猎物黏住后逃脱的情况不与考虑。6、 假设蜘蛛所处的生态环境稳定，能捕捉到的昆虫数量充足，不会因外界原因而影响蜘蛛网正常功能的发挥7、 蜘蛛网所处的凸多边形区域是在一平面上的8、 假设收集的数据准确无误，忽略统计人员统计数据时产生的误差。（四）符号说明为了更加方便的描述问题，我们用一些符号来表示解决问题过程中所用到的基本变量，如表（3）所示猎物的大小d捕丝线间的间距p蜘蛛网网住猎物的概率猎物与捕丝线间的夹角N凸多边形区域内的支撑点总数蜘蛛网面积最大所需支撑点总数蜘蛛网捕丝形成多边形的总环数相邻放射丝间的夹角蜘蛛网放射丝的总长度蜘蛛网捕丝的总长度蜘蛛体内所含丝线的总长度蜘蛛网捕食面的总面积正六边形蜘蛛网模型中捕丝所形成的正六边形的总环数正六边形蜘蛛网模型放射丝的总长度正六边形蜘蛛网模型所需捕丝的总长度正六边形蜘蛛网模型所需蛛丝的总长度正六边形蜘蛛网模型捕食面的总面积凸多边形区域无支撑点时，蜘蛛网放射丝的总长度凸多边形区域无支撑点时，蜘蛛网捕丝的总长度Q模型II中含Q条边的凸多边形区域K凸Q边形中有K个凸多边形环 表格（3）（五）模型建立模型I的建立：问题一、在有固定若干支撑点的凸多边形织网区域内找到合适的支撑点，建立最佳织网框架。以图（1）为例，把蜘蛛的织网环境理想化为一个凸多边形平面图形，蛛网的可利用支撑点为图中a、b、c、d、e、f、g、h、i点。该题的意义在于从a、b、c、d、e、f、g、h、i各支撑点中选取最合适的支撑点，既要保证捕食面积最大，又要保证所用蛛丝最少。 图（1） 分析1：找合适支撑点在一个凸多边形S的各边上有若干个支撑点，连接不在同一条边上的相邻的、距离最近的两个支撑点，即可以在原来的凸多边行区域内得到一个以其中几个支撑点为顶点的新的凸多边形S*。在以所有支撑点中的其中几个支撑点为顶点所得到的所有凸多边形（S1、S2、S3、S*Sn）中，S*的面积最大。证明：如图（2）：以凸多边形的两邻边为例，点a、b、c、d为其中的四个支撑点，两两相连可得fbc、fbd、fad且SfadSfbdSfbc图中所得到的各小三角形的面积为原凸多边形区域内不设蜘蛛网的面积，要保证蛛网面积最大，则不设蜘蛛网的三角形区域的面积应越小越好。 图（2）所以：如上述分析1所述，连接不在同一条边上的相邻的、距离最近的两个支撑点所得到的凸多边形S*，在各不同支撑点所得的所有新凸多边形S1、S2、S3、S*Sn中面积最大得证。由此可得：在图（1）中，凸多边形abcdefgi的面积S就是所要求得的在原凸多边形区域内的最大捕食面积。点a、b、c、d、e、f、g、i就是所要找的支撑点。分析2：找蛛网中心点找一个均匀的硬纸片以凸多边形S*为标准按1:1的比例剪一个模型，用物理学中的悬挂法找该不规则凸多边形S*的中心（因为纸片均匀，所以中心可以近似的认为是中心）。将该凸多边形用细线悬挂起来，静止时用笔描出细线所在的直线，换一个点用细线将图形悬挂起来，静止时用笔描出细线所在的直线。两条直线的交点即为该不规则凸多边形的的中心，则按该纸片上的中心位置在原特定织网区域内找到，记为点o（即为蛛网的中心结点）。（参考文献【6】）分析1中，各合适支撑点已找到，去掉多余的点，即在同一直线上未被重新连接的点（如图（1）中的h、j、k点），让中心结点o与新凸多边形S*的各顶点相连接。即可以得到一个符合条件的蛛网的外围框架（如图（3）。该框架不连接o 与新凸多边形S*边上的支撑点（如图（1）中的h、j、k点），可以保证在面积一定的情况下，蜘蛛织网所用的蛛丝最少（参考文献【7】）。 图（3）问题二：求解最佳捕丝间距：分析：在特定区域内蜘蛛要织网框架已定，下面要求得就是最佳捕丝间距d。我们可以运用“蒲丰投针”这一个概率模型来解决。1、“蒲丰投针”问题介绍： 在用传统方法难以解决的问题中，有很大一部分可以用概率模型进行描述由于这类模型含有不确定的随机因素，分析起来通常比确定性的模型困难有的模型难以作定量分析，得不到解析的结果，或者是虽有解析结果，但计算代价太大以至不能使用在这种情况下，可以考虑采用Monte Carlo方法。下面来简单介绍下Monte Carlo方法的基本思想Monte Carlo方法是计算机模拟的基础，它的名字来源于世界著名的赌城摩纳哥的蒙特卡洛，其历史起源于1777年法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周的方法随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。这一方法的步骤是：1) 取一张白纸，在上面画上许多条间距为d的平行线，见图(4)2) 取一根长度为的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m 图（4） 图（5） 3）计算针与直线相交的概率由分析知针与平行线相交的充要条件是 其中是针的中点到最近一条平行线的距离，且 建立直角坐标系,上述条件在坐标系下将是曲线所围成的曲边梯形区域，见图（5） 由几何概率知4）经统计实验估计出概率由上式即Monte Carlo方法的基本思想是首先建立一个概率模型，使所求问题的解正好是该模型的参数或其他有关的特征量然后通过模拟一统计试验，即多次随机抽样试验（确定m和n），统计出某事件发生的百分比只要试验次数很大，该百分比便近似于事件发生的概率这实际上就是概率的统计定义利用建立的概率模型，求出要估计的参数蒙特卡洛方法属于试验数学的一个分支(参考文献【8】)2、蛛网中的“蒲丰投针”概率模型：蛛网中的每相邻两捕丝可以看作是两条平行线（如图(6)），于是可以把这个问题转化为往两平行线中投猎物的问题，即捕丝间距d多大时，捕食面捕获到的猎物的概率最大。利用“蒲丰投针”模型来解出这个最优捕丝间距d。 图（6） 解：运用“蒲丰投针” 问题的数学实验的设计论文的求解思想。(参考文献【9】)猎物体长l相当于针长，确定一个最佳捕丝间距d，能保证最大概率的捕获到飞来的猎物。由图分析可知猎物与平行线相交的充要条件是 其中 建立直角坐标系,上述条件在坐标系下将是曲线所围成的曲边梯形区域（如图（5）由几何概率知 整理： 整理得： （p是捕食到猎物的概率，即p值越大越好） 要使捕到的猎物最多，规定p=1，由表格（2）知，蜘蛛捕食到的最小猎物长0.3cm，故当其值为0.3时，d=0.191sin其函数图象如下： 图（7）根据图（7）可知：d的取值范围为00.191cm由上述“问题分析”中可得，并不是网眼越小，捕食效率越高。还得考虑在蛛丝有限的情况下捕食面要达到最大化的问题。3.蜘蛛网的捕食面积及蛛丝总长度与捕丝间距d的关系分析 图（8）图（8）为在特定环境下所建的一个蛛网那个模型，各捕丝间距相等为d蛛丝总长度一定为L，相邻两放射丝之间的夹角分别为。则由题意得：各不规则多边形的周长分别为：且即，捕丝的总长度为：又因为：放射线的总长度且蛛丝的总长度所以:捕食面积由此可得L和S都是关于d的函数。并且在蛛丝长度一定的情况下，捕丝间距d越大，捕食面积越大。4、实例分析：以模型正六边形环蜘蛛网为例来证明这个结论 图（9）分析：构成该正六边形环的总丝线长度L为定值，捕丝间距d的取值范围为00.191cm。在d的取值范围内找到一个最佳捕丝间距，能保证在蛛丝总长度一定的情况下，捕丝面积达到最大值。解：如图可知：则由题意得：捕丝面积 正六边形最大环的对角线总长（即放射丝）总长各个正六边形环的总边长 则该正六边形环模型的蛛网所需蛛丝的总长度 则： 综上：S 分析上式：因为L是定值，要使S最大，则应使最小又因LL为定值，最小，则d应取最大值。同理：在蛛丝长度一定的情况下，要使不规则凸多边形蛛网的捕食面积达到最大，d应该在其取值范围内取最大值。因此，综上所述：蜘蛛网最大捕食面积的最佳捕丝间距d=0.191cm。模型II的建立：问题一：在凸多边形区域中找到合适的支撑点建立最优织网框架通过问题分析中可知，模型II是对模型I的一个优化。蛛丝可以连接到该凸多边形的区域边界的任何点上，所以以该凸多边形边界上的任一点为顶点可以在该凸多边形区域内得到无数个新凸多边形，但其中面积最大的图形其实就是它本身。（参考文献【10】）所以模型II中要选取的最合适的支撑点就是该凸多边形区域的顶点。该凸多边形的中心与各顶点的连线就是所要求的在该凸多边形区域织网环境下的蛛网的最优框架。如图（10） 图（10）在该凸多边形区域abcdefg中织网，则所要选取的支撑点为a、b、c、d、e、f、g。同理于模型I，用悬挂法的方法找到该区域的中心点，连接中心点与个支撑点，则捕食面积最大的最优蛛网框架确立。如图（10），织网框架就是凸多边形abcdefg问题二：求解最佳捕丝间距通过问题分析可知，模型I中的最佳捕丝间距d对模型II也是适用的。所以同理于模型中的最佳间距的确立。1） 运用“蒲丰投针”思想，求出d的取值范围00.191cm2） 分析在凸多边形区域内蛛丝总长度L和捕食面积S的关系：由于蛛丝可以连结在区域边界的任何点上，可设此区域为Q边凸多边形，则此区域共有Q个顶点（即可看做共有Q个支撑点），根据问题一中的分析二，可知蜘蛛网的中心结点O，中心结点与各个顶点的连线即为放射丝，其总长度为：K个Q边凸多边形环的总长（即捕丝的总长度）为：则蜘蛛丝的总长度为： 捕食面积为： 显然，L和S均是关于d的函数。分析：已知蜘蛛丝的总长度L在一定的情况下是不变的，故捕丝间距d越大，K值越小： 在捕食面积S的目标函数中，K值在减小，要使捕食面积S最大，则捕丝间距d需取最大值，即d=0.191cm（六）模型检验1、最优蛛网结构的检验：模型I的检验:如图（11）S多边形abcdefgiS多边形abdfgiS多边形abdjiS四角形adjiS三角形adj所以在一个凸多边形S的各边上有若干个支撑点，连接不在同一条边上的相邻的、距离最近的两个支撑点，即可以在原来的凸多边行区域内得到一个以其中几个支撑点为顶点的新的凸多边形S*。在以所有支撑点中的其中几个支撑点为顶点所得到的所有凸多边形（S1、S2、S3、S*Sn）中，S*的面积最大。图（11）即在模型I中，S*就是所要找的最大捕食面积。中心点与各顶点的连线就是最优蛛网框架，去点其它多余支撑点，所以说此框架可以让放射丝长度最短，进而在蛛丝有限的情况下，可以让捕丝的长度达到最大，尽可能的得到最大捕食面。模型II的检验：同理于模型I，该凸多边形区域就是蛛网的最大捕食面积，中心点与各顶点的连线就是最优蛛网框架2、最佳捕丝间距d的检验：已知根据模型可得蜘蛛网最大捕食面积的最佳捕丝间距d=0.191。因此接下来需要验证d=0.191cm时，蜘蛛网能够网到猎物这一事件为必然事件，即求蜘蛛网能够网到猎物的最大概率p=1。验证如下：由表（2）中任取一猎物的体长：当取表中最小值0.3cm时,由公式，解得p=1；当取值0.40cm时，解得P=1.51（概率p=1为必