高考数学 2014全套汇编：第7章 不等式

【数学数学】2014】2014 版版66 年高考年高考 4 4 年模拟年模拟 第七章第七章 不等式不等式 第一部分第一部分 六年高考荟萃六年高考荟萃 20132013 年高考题年高考题 一、填空题 1. （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）若关于实数x的 不等式53xxa无解,则实数a的取值范围是_ 答案：,8 【命题立意】本题考查绝对值不等式的基本解法。因为不等式的最小值为53xx 8，所以要使不等式无解，则，即实数的取值范围是。53xxa8a a,8 2. （2013 年高考陕西卷（理）(不等式选做题) 已知a, b, m, n均为正数, 且a+b=1, mn=2, 则(am+bn)(bm+an)的最小值为_. 答案：2 利用柯西不等式求解， ,且仅当212)()()( 22 bamnbmbnanambmanbnam（ 时取最小值 2nm bm bn an am 3. （2013 年高考江西卷（理）(不等式选做题)在实 数范围内,不等式的解集为_211x 答案：0,4 本题考查绝对值的基本求法。由得，即，211x121 1x 022x 即，解得，所以原不等式的解集为。222x 04x0,4 4. （2013 年高考湖北卷（理）设,且满足:, ,x y zR 222 1xyz ,则_.2314xyzxyz 答案： 3 14 7 本题考查柯西不等式的应用。由柯西不等式可知， ，即，因为， 2222222 (23 )()(123 )xyzxyz 222 1xyz 222 1xyz E D O P A B C 所以当且进行时取等号。此时代入得 123 xyz 2 ,3yx zx2314xyz ，即，所以。 14 14 x 2 143 14 , 1414 yz 3 14 7 xyz 二、解答题 5. （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯 WORD 版含答案）选修 45;不等式选讲 设, ,a b c均为正数,且1abc,证明: () 1 3 abbcca; () 222 1 abc bca . 6. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版）选修 4-5:不等 式选讲 已知函数,其中. f xxa1a (I)当时,求不等式的解集; =2a 44f xx (II)已知关于的不等式的解集为,求的值.x 222fxaf x|12xxa 7. （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版）不等式选讲: 设不等式的解集为,且,. * 2()xa aNA 3 2 A 1 2 A (1)求的值;a (2)求函数的最小值.( )2f xxax 解:()因为,且,所以,且 3 2 A 1 2 A 3 2 2 a 1 2 2 a 解得,又因为,所以 13 22 a * aN1a ()因为 |1|2| |(1)(2)| 3xxxx 当且仅当,即时取得等号,所以的最小值为 (1)(2)0 xx12x ( )f x3 8. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯 WORD 版含附加 题）D.选修 4-5:不定式选讲本小题满分 10 分. 已知0,求证:ba baabba 2233 22 必做题第 22、23 题,每题 10 分,共 20 分.请在相应的答题区域内作答,若多做,解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 答案：D 证明:baabba 2233 22)(22 3223 bbaaba )(2 2222 babbaa )2)()()2( 22 bababababa 又0,0, ba ba 0ba02ba 0)2)()(bababa 022 2233 baabba baabba 2233 22 9. （2013 年高考新课标 1（理）选修 45:不等式选讲 已知函数( )f x=|21|2|xxa,( )g x=3x. ()当a=2 时,求不等式( )f x-1,且当x 2 a , 1 2 )时,( )f x( )g x,求a的取值范围. 答案：当a=-2 时,不等式( )f x0 的整个区间上,我们可以将其分成两个区间 (为什么是两个?),在各自的区间内恒正或恒负.(如下答图) 我们知道:函数 y1=(a-1)x-1,y2=x 2-ax-1 都过定点 P(0,1). 考查函数 y1=(a-1)x-1:令 y=0,得 M(,0),还可分析得:a1; 1 1a 考查函数 y2=x 2-ax-1:显然过点 M( ,0),代入得: 1 1a ,解之得:,舍去,得答案:. 2 1 10 11 a aa 3 0 2 aor 0a 3 2 a 【答案】 3 2 a 26.（2012 年高考（上海春）若不等式对恒成立,则实数 2 10 xkxk (1,2)x 的取值范围是_.k (,2 27.（2012 年高考（陕西理）设函数,是由 ln ,0 ( ) 21,0 xx f x xx D 轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域,则x( )yf x(1,0) 在上的最大值为_.2zxyD 解析:,曲线及该曲线在点 1 ,0 ( ) 2,0 x yfxx x (1)1 f ( )yf x 处的切线方程为,围成的封闭区域为三角形,在点处取得(1,0)1yx=-2zxy(0,1)- 最大值 2. 28.（2012 年高考（陕西理）观察下列不等式 2 13 1 22 , 23 115 1 233 222 1117 1 2344 照此规律,第五个不等式为_. 解析:第五个不等式为 22222 1111111 1 234566 29.（2012 年高考（江苏）已知正数满足:a b c， 则的取值范围是_. 4ln53lnbcaacccacb， b a 【答案】. 7e、 【考点】可行域. 【解析】条件可化为:4ln53lnbcaacccacb， . 35 4 a c ab cc ab cc b e c x y 1 -1 设,则题目转化为: = ab xy cc 、 已知满足,求的取值范围. xy、 35 4 00 x xy xy ye xy 、 y x 作出()所在平面区域(如图).求出的切 xy、= x y e 线的斜率,设过切点的切线为, e 00 P xy、=0y exm m 则,要使它最小,须. 00 000 = yexmm e xxx =0m 的最小值在处,为.此时,点在上之间. y x 00 P xy、e 00 P xy、= x y e,A B 当()对应点时, , xy、C =45 =205 =7=7 =534 =2012 yxyxy yx yxyxx 的最大值在处,为 7. y x C 的取值范围为,即的取值范围是. y x 7e、 b a 7e、 30.（2012 年高考（江苏）已知函数的值域为,若 2 ( )()f xxaxb a bR，0)， 关于 x 的不等式 的解集为,则实数 c 的值为_.( )f xc(6)mm， 【答案】9. 【考点】函数的值域,不等式的解集. 【解析】由值域为,当时有,即, 0)， 2 =0 xaxb 2 40abV 2 4 a b . 2 2 22 ( ) 42 aa f xxaxbxaxx 解得,. 2 ( ) 2 a f xxc 2 a cxc 22 aa cxc 不等式的解集为,解得. ( )f xc(6)mm，()()26 22 aa ccc 9c 31.（2012 年高考（大纲理）若满足约束条件,则的最, x y 10 30 330 xy xy xy 3zxy 小值为_. 答案: 1 【命题意图】本试题考查了线性规划最优解的求解的运用.常规题型,只要正确 作图,表示出区域,然后借助于直线平移法得到最值. 【解析】做出不等式所表示的区域如图,由得,平移直线yxz 3zxy 3 ,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最 大,此时xy3) 1 , 0(Czxy 3 最小,最小值为. z1-3yxz 32.（2012 年高考（安徽理）若满足约束条件:;则的取值范围为, x y 0 23 23 x xy xy xy _ 【解析】的取值范围为 xy_ 3,0 约束条件对应边际及内的区域: 则 ABC 3 (0,3), (0, ),(1,1) 2 ABC 3,0txy 20112011 年高考题年高考题 一、选择题 1.（重庆理 7）已知 a0，b0，a+b=2，则 y= 14 ab 的最小值是 A 7 2 B4 C 9 2 D5 【答案】C 2.（浙江理 5）设实数 , x y 满足不等式组 250 270, 0 xy xy x ，y0， 若 , x y 为整数，则3 4xy 的最小 值是 A14 B16 C17 D19 【答案】B 3.（全国大纲理 3）下面四个条件中，使a b 成立的充分而不必要的条件是 A 1ab B 1ab C 22 ab D 33 ab 【答案】A 4.（江西理 2）若集合 , x AxxBx x ，则A B A xx B xx C xx D xx 【答案】B 5.（辽宁理 9）设函数 1,log1 1,2 )( 2 1 xx x xf x ，则满足 2)(xf 的 x 的取值范围是 （A） 1 ，2 （B）0，2 （C）1，+） （D）0，+） 【答案】D 6.（湖南理 7）设 m1，在约束条件 1 yx ymx xy 下，目标函数 z=x+my 的最大值小于 2，则 m 的取值范围为 A（1，1 2 ） B（1 2 ，） C（1,3 ） D（3，） 【答案】A 7.（湖北理 8）已知向量 a=（x+z,3）,b=（2,y-z），且 a b若 x,y 满足不等式 1xy ，则 z 的取值范围为 A-2，2 B-2，3 C-3，2 D-3，3 【答案】D 8.（广东理 5）。已知在平面直角坐标系 xOy 上的区域D由不等式组 02 2 2 x y xy 给定。 若 ( , )M x y 为D上的动点，点A的坐标为( 2,1)，则z OM OA 的最大值为 A4 2 B3 2 C4 D3 【答案】C 9.（四川理 9）某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车 和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车某天需运往A地至少 72 吨的货物，派用的每辆车虚满 载且只运送一次派用的每辆甲型卡车虚配 2 名工人，运送一次可得利润 450 元；派用的 每辆乙型卡车虚配 1 名工人，运送一次可得利润 350 元该公司合理计划当天派用两类卡 车的车辆数，可得最大利润 z= A4650 元 B4700 元 C4900 元 D5000 元 【答案】C 【解析】由题意设派甲，乙 , x y 辆，则利润 450350zxy ，得约束条件 08 07 12 10672 219 x y xy xy xy 画出可行域在 12 219 xy xy 的点 7 5 x y 代入目标函数 4900z 10.（福建理 8）已知 O 是坐标原点，点 A（-1,1）若点 M（x,y）为平面区域 2 1 y2 xy x ， 上的一个动点，则OA OM 的取值范围是 A-10 B01 C02 D-12 【答案】C 11.（安徽理 4）设变量 yxyxyx2, 1|,则满足 的最大值和最小值分别为 （A）1，1 （B）2，2 （C） 1，2 （D） 2，1 【答案】B 12.（上海理 15）若 , a bR ，且 0ab ，则下列不等式中，恒成立的是 A 22 2abab B 2abab CD 112 abab D 2 ba ab 【答案】 二、填空题 13.（陕西理 14）植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵 树相距 10 米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来 领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。 【答案】2000 14.（浙江理 16）设 , x y 为实数，若 22 41,xyxy 则2x y 的最大值是 。 【答案】 2 10 5 15.（全国新课标理 13）若变量 x，y 满足约束条件 329 69 xy xy ，则 2zxy 的最小 值是_ 【答案】-6 16.（上海理 4）不等式 1 3 x x 的解为 。 【答案】 0 x 或 1 2 x 17.（广东理 9）不等式 130 xx 的解集是 【答案】1, ) 18.（江苏 14）设集合 ,)2( 2 | ),( 222 Ryxmyx m yxA , , 122| ),(RyxmyxmyxB , 若 , BA 则实数 m 的取值范围是 _ 【答案】 22 , 2 1 三、解答题 19.（安徽理 19） （）设 1,1,xy 证明 ; 111 xy yxxy yx ， （） cba1 ，证明log logloglogloglog abcbca bcaabc . 本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式的 恒等变形能力和推理论证能力. 证明：（I）由于 1, 1yx ，所以 ,)(1)( 111 2 xyxyyxxyxy yxxy yx 将上式中的右式减左式，得 , 0) 1)(1)(1(, 1, 1 ).1)(1)(1( ) 1)(1( ) 1)() 1)(1( )()() 1)( ) 1)()( 2 2 yxxyyx yxxy yxxyxy xyyxxyxy yxyxxyxy yxxyxyxy 所以即然 从而所要证明的不等式成立. （II）设 ,log,logycxb ba 由对数的换底公式得 .log, 1 log, 1 log, 1 logxyc y b x a xy a acbc 于是，所要证明的不等式即为 , 111 xy yxxy yx 其中 . 1 log, 1logcybx ba 故由（I）立知所要证明的不等式成立. 20.（湖北理 17） 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流 速度 v（单位：千米/小时）是车流密度 x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度 达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车 流速度为 60 千米/小时，研究表明；当20 200 x 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次 函数 （）当0 200 x 时，求函数 v x 的表达式; （）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/ 每小时） .f xxv x 可以达到最大，并求出最大值（精确到 1 辆/小时） 本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。 （满分 12 分） 解：（）由题意：当0 20, ( )60 xv x时 ；当20 200,( )xv xaxb时设 再由已知得 1 , 2000, 3 2060,200 . 3 a ab ab b 解得 故函数 ( )v x 的表达式为 60,020, ( ) 1 (200),20200 3 x v x xx （）依题意并由（）可得 60 ,020, ( ) 1 (200),20200 3 xx f x xxx 当0 20,( )xf x时 为增函数，故当 20 x 时，其最大值为 6020=1200； 当20 200 x 时， 2 11(200)10000 ( )(200) 3323 xx f xxx 当且仅当 200 xx ，即 100 x 时，等号成立。 所以，当 100,( )xf x时 在区间20，200上取得最大值 10000 . 3 综上，当 100 x 时， ( )f x 在区间0，200上取得最大值 10000 3333 3 。 即当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3333 辆/小时。 21.（湖北理 21） （）已知函数 ( )1f xInxx ， (0,)x ，求函数 ( )f x 的最大值； （）设 , kk a b(1,2k ， )n 均为正数，证明： （1）若 1 122 aba b nn a b 12 bb n b ，则 12 12 1 n kkk n a aa ； （2）若 12 bb n b =1，则 1 n 12 1 222 212 . n kkk nn b bbbbb 本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推 理论证的能力，以及化归与转化的思想。（满分 14 分） 解：（I） ( )f x 的定义域为(0, ) ，令 1 ( )10,1.fxx x 解得 当0 1,( )0,( )xfxf x时 在（0，1）内是增函数； 当 1x 时， ( )0,( )(1,)fxf x在 内是减函数； 故函数 ( )1f xx 在 处取得最大值 (1)0.f （II）（1）由（I）知，当 (0,)x 时， 有 ( )(1)0,ln1.f xfxx即 ,0 kk a b ，从而有ln 1 kk aa ， 得 ln(1,2, ) kkkkk baa bb kn ， 求和得 1 111 ln. nnn k kkkk kkk aa bb 2 111 ,ln0, nnn k kkkk kkk a bba 即 12 12 ln()0, n kkk n a aa 12 12 1. n kkk n a aa （2）先证 12 12 1 . n kkk n b bb n 令 1 (1,2, ), k k akn nb 则 111 1 1, nnn kkk kkk a bb n 于是 由（1）得 12 12 111 () ()()1 n kkk n nbnbnb ，即 12 12 12 1 , n n kkk kkk n nn b bb 12 12 1 . n kkk n b bb n 再证 12 222 1212 . n kkk nn b bbbbb 记 2 1 ,(1,2, ) n k kk k b Sbakn S 令 ， 则 2 1 111 1 1 nnn kkk kkk a bbb S ， 于是由（1）得 12 12 () ()()1. n kkk n bbb SSS 即 1212 12 , nn kkkkkk n b bbSS 12 222 1212 . n kkk nn b bbbbb 综合，（2）得证。 20102010 年高考题年高考题 一、选择题一、选择题 1.1.（20102010 上海文）上海文）15.满足线性约束条件 23, 23, 0, 0 xy xy x y 的目标函数zxy的最大值是 （ ） （A）1. （B） 3 2 . （C）2. （D）3. 答案 C 解析：当直线zxy过点 B(1,1)时，z 最大值为 2 2.2.（20102010 浙江理）浙江理）（7）若实数x，y满足不等式组 330, 230, 10, xy xy xmy 且xy的最大值为 9，则实数m （A）2 （B）1 （C）1 （D）2 答案 C 解析：将最大值转化为 y 轴上的截距，将 m 等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选 C， 本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想， 属中档题 3.3.（20102010 全国卷全国卷 2 2 理）理）（5）不等式 2 6 0 1 xx x 的解集为 （A）2,3x xx或 （B）213x xx，或 （C） 213xxx ，或 （D）2113xxx ，或 【答案】C 【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法. 【解析】利用数轴穿根 法解得-2x1 或 x3，故选 C 4.4.（20102010 全国卷全国卷 2 2 文）文）(5)若变量 x,y 满足约束条件 1 325 x yx xy 则 z=2x+y 的最大值 为 （A）1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析解析】C】C：本题考查了线性规划的知识。：本题考查了线性规划的知识。 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 yx 与与3 25xy 的交点为最优解点，的交点为最优解点， 即为（即为（1 1，1 1），当），当 1,1xy 时时 max 3z 5.5.（20102010 全国卷全国卷 2 2 文）文）（2）不等式 3 2 x x 0 的解集为 （A）23xx （B）2x x （C）23x xx 或 （D） 3x x 【解析解析】A】A ：本题考查了不等式的解法：本题考查了不等式的解法 3 0 2 x x ， 23x ，故选，故选 A A 6.6.（20102010 江西理）江西理）3.不等式 22xx xx 的解集是（ ） A. (0 2)， B. (0)， C. (2)， D. (0)（-，0）， 【答案】 A 【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数. 2 0 x x ，解得 A。 或者选择 x=1 和 x=-1,两个检验进行排除。 7.7.（20102010 安徽文）安徽文）（8）设 x,y 满足约束条件 260, 260, 0, xy xy y 则目标函数 z=x+y 的最大值 是 （A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8 答案 C 【解析】不等式表示的区域是一个三角形，3 个顶点是(3,0),(6,0),(2,2)，目标函数 zxy在(6,0)取最大值 6。 【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则 区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最 大值. 8.8.（20102010 重庆文）重庆文）（7）设变量, x y满足约束条件 0, 0, 220, x xy xy 则32zxy的最大值为 （A）0 （B）2 （C）4 （D）6 解析：不等式组表示的平面区域如图所示， 当直线32zxy过点 B 时，在 y 轴上截距最小，z 最大 由 B（2,2）知 max z4 解析：将最大值转化为 y 轴上的截距，可知答案选 A，本题主要考察了用平面区域二元一 次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题 10.10.（20102010 重庆理数）重庆理数）（7）已知 x0，y0,x+2y+2xy=8，则 x+2y 的最小值是 A. 3 B. 4 C. D. 11 2 答案 B 解析：考察均值不等式 2 2 2 8)2(82 yx yxyx，整理得032242 2 yxyx 即08242yxyx，又02yx，42yx 9 2 11.11.（20102010 重庆理数）重庆理数）（4）设变量 x，y 满足约束条件 0 10 30 y xy xy ，则 z=2x+y 的最大 值为 A.2 B. 4 C. 6 D. 8 答案 C 解析：不等式组表示的平面区域如图所示 当直线过点 B（3,0）的时候，z 取得最大值 6 12.12.（20102010 北京理）北京理）（7）设不等式组 110 330 530 xy xy xy9 表示的平面区域为 D，若指数函 数 y= x a的图像上存在区域 D 上的点，则 a 的取值范围是 （A）(1,3 (B )2,3 (C ) (1,2 (D ) 3, 答案：A 13.13.（20102010 四川理）四川理）（12）设0abc，则 22 11 21025 () aacc aba ab 的最 小值是 （A）2 （B）4 （C） 2 5 （D）5 解析： 22 11 21025 () aacc aba ab 22 11 (5 ) () acaabab aba ab 2 11 (5 )() () acaba ab aba ab 0224 当且仅当a5c0,ab1,a(ab)1 时等号成立 如取a2,b 2 2 ,c 2 5 满足条件. 答案：B y 0 x70 48 80 70 (15,55) 14.14.（20102010 四川理）四川理）（7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产 品.甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克A产品，每千克A产品获利 40 元，乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克B产品，每千克B产品获利 50 元.甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不 得超过 480 小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 （A）甲车间加工原料 10 箱，乙车间加工原料 60 箱 （B）甲车间加工原料 15 箱，乙车间加工原料 55 箱 （C）甲车间加工原料 18 箱，乙车间加工原料 50 箱 （D）甲车间加工原料 40 箱，乙车间加工原料 30 箱 答案：B 解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱 则 70 106480 , xy xy x yN 目标函数z280 x300y 结合图象可得：当x15,y55 时z最大 本题也可以将答案逐项代入检验. 15.15.（20102010 天津文）天津文）(2)设变量 x，y 满足约束条件 3, 1, 1, xy xy y 则目标函数 z=4x+2y 的最大 值为 （A）12 （B）10 （C）8 （D）2 【答案】B 【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做 出可行域，如图由图可知，当目标函数过直线 y=1 与 x+y=3 的交 点（2，1）时 z 取得最大值 10. 16.16.（20102010 福建文）福建文） 0 xy 1 O yx y 20 xy x A0: 20lxy L0 2 2 A 17.17.（20102010 全国卷全国卷 1 1 文）文）（10）设 1 2 3 log 2,ln2,5abc 则 （A）abc（B）bca (C) cab (D) cba 答案 C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大 小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析 1】 a= 3 log2= 2 1 log 3 , b=In2= 2 1 log e ,而 22 log 3log1e,所以 ab, c= 1 2 5 = 1 5 ,而 22 52log 4log 3,所以 ca,综上 cab. 【解析 2】a= 3 log2= 3 2 1 log ,b=ln2= 2 1 loge , 3 22 1loglog2 e ， 3 22 111 1 2logloge ； c= 1 2 111 5 254 ，cab 18.18.（20102010 全国卷全国卷 1 1 文）文）(3)若变量, x y满足约束条件 1, 0, 20, y xy xy 则2zxy的最大 值为 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 答案 B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力. 【解析】画出可行域（如右图）， 11 2 22 zxyyxz，由图可知,当直线l经过点 A(1,-1)时，z 最大，且最大值为 max 1 2 ( 1)3z . 19.19.（20102010 全国卷全国卷 1 1 理）理）（8）设a= 3 log2,b=ln2,c= 1 2 5 ,则 （A） abc （B）bca （C） cab （D） cba 20.20.（20102010 全国卷全国卷 1 1 理）理） 21.21.（20102010 四川文）四川文）（11）设0ab，则 2 11 a aba ab 的最小值是 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 答案：D 解析： 2 11 a aba ab 2 11 () aabab aba ab 11 () () aba ab aba ab 224 当且仅当ab1,a(ab)1 时等号成立 如取a2,b 2 2 满足条件. 22.22.（20102010 四川文）四川文）（8）某加工厂用某原料由车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲 车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克A产品，每千克A产品获利 40 元. 乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克B产品，每千克B产品获利 50 元. 甲、乙两车间每天功能完成至多 70 多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超 过 480 小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为 （A）甲车间加工原料 10 箱，乙车间加工原料 60 箱 （B）甲车间加工原料 15 箱，乙车间加工原料 55 箱 （C）甲车间加工原料 18 箱，乙车间加工原料 50 箱 （D）甲车间加工原料 40 箱，乙车间加工原料 30 箱 答案：B 解析：解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱 则 70 106480 , xy xy x yN 目标函数z280 x300y 结合图象可得：当x15,y55 时z最大 本题也可以将答案逐项代入检验. y 0 x70 48 80 70 (15,55) 23.23.（20102010 山东理）山东理） 24.24.（20102010 福建理）福建理）8设不等式组 x1 x-2y+30 yx 所表示的平面区域是 1 ,平面区域是 2 与 1 关于直线3490 xy对称,对于 1 中的任意一点 A 与 2 中的任意一点 B, |AB的 最小值等于( ) A 28 5 B4 C 12 5 D2 【答案】B 【解析】由题意知，所求的|AB的最小值，即为区域 1 中的点到直线3490 xy的 距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示， 可看出点（1，1）到直线3490 xy的距离最小，故|AB的最小值为 |3 1 4 1 9| 24 5 ，所以选 B。 二、填空题二、填空题 1.1.（20102010 上海文）上海文）2.不等式 2 0 4 x x 的解集是 。 【答案】24|xx 解析：考查分式不等式的解法 2 0 4 x x 等价于（x-2）(x+4)0,所以-40,称 2ab ab 为 a，b 的调和平均数。 如图，C 为线段 AB 上的点，且 AC=a，CB=b，O 为 AB 中点，以 AB 为 直径做半圆。过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D。连结 OD，AD，BD。过 点 C 作 OD 的垂线，垂足为 E。则图中线段 OD 的长度是 a，b 的算术 平均数，线段 的长度是 a,b 的几何平均数，线段 的长度是 a,b 的调和平均数。 【答案】CD DE 【解析】在 RtADB 中 DC 为高，则由射影定理可得 2 CDAC CB，故CDab，即 CD 长度为a,b的几何平均数，将 OC=, , 222 ababab aCDabOD 代入 OD CEOC CD可得 ab CEab ab 故 2 22 () 2() ab OEOCCE ab ，所以 ED=OD-OE= 2ab ab ，故 DE 的长度为a,b的调和平均数. 17.17.（20102010 江苏卷）江苏卷）12、设实数 x,y 满足 3 2 xy8，4 y x2 9，则 4 3 y x 的最大值是 。 【答案】 27 【解析】考查不等式的基本性质，等价转化思想。 2 2 ()16,81 x y ， 2 11 1 , 8 3xy ， 32 2 42 1 ()2,27 xx yyxy ， 4 3 y x 的最大值是 27。 三、解答题三、解答题 1.1.（20102010 广东理）广东理）19.（本小题满分 12 分） 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物 6 个单位蛋白质和 6 个单位的维生素 C；一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个单 位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的 碳水化合物，42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求， 并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？ 解：设该儿童分别预订 , x y个单位的午餐和晚餐， 共花费z元，则 2.54zxy。 可行域为 12 x+8 y 64 6 x+6 y 42 6 x+10 y 54 x0， xN y0， yN 即 3 x+2 y 16 x+ y 7 3 x+5 y 27 x0， xN y0， yN 作出可行域如图所示： 经试验发现，当 x=4,y=3 时，花费最少，为2.54zxy=2.54+43=22 元 2.2.（20102010 广东文）广东文）19.（本题满分 12 分） 某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物， 6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个 单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含 64 个单位 的碳水化合物和 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求， 并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？ 解：设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的晚餐，设费用为 F，则 F yx45 . 2，由题意知： 64812 yx 4266yx 54106yx 0, 0yx 画出可行域： 变换目标函数： 48 5F xy 3.3.（20102010 湖北理）湖北理）15.设 a0,b0,称 2ab ab 为 a，b 的调和平均数。 如图，C 为线段 AB 上的点，且 AC=a，CB=b，O 为 AB 中点，以 AB 为 直径做半圆。过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D。连结 OD，AD，BD。过 点 C 作 OD 的垂线，垂足为 E。则图中线段 OD 的长度是 a，b 的算术 平均数，线段 的长度是 a,b 的几何平均数，线段 的长度是 a,b 的调和平均数。 【答案】CD DE 【解析】在 RtADB 中 DC 为高，则由射影定理可得 2 CDAC CB，故CDab，即 CD 长度为a,b的几何平均数，将 OC=, , 222 ababab aCDabOD 代入 OD CEOC CD可得 ab CEab ab 故 2 22 () 2() ab OEOCCE ab ，所以 ED=OD-OE= 2ab ab ，故 DE 的长度为a,b的调和平均数. 20092009 年高考题年高考题 第一节第一节 简单不等式及其解法简单不等式及其解法 一、选择题 1.（2009 安徽卷理）下列选项中，p 是 q 的必要不充分条件的是 A.p:acb+d , q:ab 且 cd B.p:a1,b1 q:( )(01) x f xab aa，且的图像不过第二象限 C.p: x=1, q: 2 xx D.p:a1, q: ( )log(01) a f xx aa，且在(0,)上为增函数 答案 A 解析 由ab 且 cdacb+d，而由acb+d ab 且 cd，可举反例。 选 A。 2.（2009 安徽卷文）“”是“且”的 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 A 解