高考数学 2014全套汇编：第6章 数列 第1节 等差数列、等比数列的概念及求和

【数学数学】2014】2014 版版66 年高考年高考 4 4 年模拟年模拟 第六章第六章 数列数列 第一节第一节 等差数列、等比数列的概念及求和等差数列、等比数列的概念及求和 第一部分第一部分 六年高考题荟萃六年高考题荟萃 20132013 年高考题年高考题 1. （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对）已知 数列满足,则的前 10 项和等于 n a 12 4 30, 3 nn aaa n a (A) (B) (C) (D) 10 6 1 3 10 1 1 3 9 10 3 1 3 10 3 1+3 答案：C 所以 3an+1+an=0 所以 所以数列an是以 为公比的等比数列 因为 所以 a1=4 由等比数列的求和公式可得，s10=3（1310） 故选 C 2. （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版）已知等比数 列的公比为 q,记 n a (1) 1(1) 2(1) ., nm nm nm nm baaa 则以下结论一定正确的是( ) * (1) 1(1) 2(1) .( ,), nm nm nm nm caaam nN A.数列为等差数列,公差为 B.数列为等比数列,公比为 n b m q n b 2m q C.数列为等比数列,公比为 D.数列为等比数列,公比为 n c 2 m q n c m m q 答案：C 等比数列的公比为 q, 同理可得 n a , 22 2222 2 , mmm m mm m aaaa aa 112 . m caaa 212 ., mmm m caaa 数列为等比数列， 321222 ., mmm m caaa 2 213 ccc n c 故选 C 2 2 2 12122 11212 . . m mm mmm mm mm aaaaaaqc qq caaaaaa 3. （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯 WORD 版含答案）等比 数列 n a的前n项和为 n S,已知 123 10aaS,9 5 a,则 1 a (A) 3 1 (B) 3 1 (C) 9 1 (D) 9 1 答案：C 设等比数列an的公比为 q，因为 S3=a2+10a1，a5=9，所以， 解得所以故选 C 4. （2013 年高考江西卷（理） ）等比数列 x,3x+3,6x+6,.的第四项等于 A.-24 B.0 C.12 D.24 答案：A 本题考查等比数列的运算。由，即，解得 2 (33)(66)xxx 2 430 xx 或。当时，前三项为不成立，舍掉。当时，前三1x 3x 1x 1,0,03x 项为，公比为，所以第四项为，选 A.3, 6, 12224 5.（2013 年高考四川卷（理）在等差数列中,且为和的等比中 n a 21 8aa 4 a 2 a 3 a 项,求数列的首项、公差及前项和. n an 解:设该数列公差为,前项和为.由已知,可得 dn n s . 2 1111 228,38adadadad 所以, 11 4,30add da 解得,或,即数列的首相为 4,公差为 0,或首相为 1,公差为 3. 1 4,0ad 1 1,3ad n a 所以数列的前项和或 n4 n sn 2 3 2 n nn s 6.（2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯 WORD 版含附加 题）在正项等比数列中,则满足 n a 2 1 5 a3 76 aa 的最大正整数 的值为_. nn aaaaaa 2121 n 答案：12 2 2 5 2 55 2 6 67 123123 11 55 2 11 55 2 2 3 . 1 , . 222 2220 11 5 2 1312913 2 3 60 0 2 29 2 2 1 2 nn nn n nn n n n aa aaaaa a a a qa q q aa nn q n q n q a nN 112,nnN 又时符合题意，所以的最大值为12n n12 7.（2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）已知 n a是等差 数列, 1 1a ,公差0d , n S为其前n项和,若 125 ,a a a成等比数列,则 8 _S 答案：64 【命题立意】本题考查等差数列，等比数列的基本运算以及数列求和。因为成等 125 ,a a a 比数列，所以，即，所以，即， 2 215 aa a 2 111 ()(4 )ada ad 2 (1)14dd 2 2dd 所以。所以。2d 81 8 78 7 88264 22 Sad 8.（2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版）在等差数列 中,已知,则_. n a 38 10aa 57 3aa 答案： 20 ；依题意,所以. 201 2910ad 57111 334641820aaadadad 或: 5738 3220aaaa 9.（2013 年高考北京卷（理）若等比数列an满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q=_;前n项和Sn=_. 答案：2, 1 22 n 设等比数列an的公比为 q， 因为 a2+a4=20，a3+a5=40，所以，解得 所以=2n+12 10.（2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版）在公差为 的等差数列中,已知,且成等比数列.d n a10 1 a 321 5 , 22 ,aaa (1)求; (2)若,求 n ad,0d. | 321n aaaa 解:()由已知得到: 222 21 311 (22)54(1)50(2 )(11)25(5)aa aadaddd ; 22 41 1212212525340 4611 nn dd ddddd anan 且 ()由(1)知,当时, 0d 11 n an 当时, 111n 123123 (1011)(21) 0 | 22 nnn nnnn aaaaaaaaa A A AA A A 当时, 12n 123123111213 2 12311123 0 |() 11(21 11)(21)21220 2()()2 222 nnn n aaaaaaaaaaaa nnnn aaaaaaaa A A AA A AA A A A A AA A A 所以,综上所述:; 123 2 (21) ,(111) 2 | 21220 ,(12) 2 n nn n aaaa nn n A A A 20122012 年高考题年高考题 一、选择题 1.【2012 高考重庆理 1】在等差数列中，则的前 5 项和= n a1 2 a5 4 a n a 5 S A.7 B.15 C.20 D.25 【答案】B 【解析】因为，所以，所以数列的前 5 项和1 2 a5 4 a6 4251 aaaa ,选 B.156 2 5 2 )(5 2 )(5 4251 5 aaaa S 2.【2012 高考浙江理 7】设是公差为 d（d0）的无穷等差数列an的前 n 项和，则 n S 下列命题错误的是 A.若 d0，则数列Sn有最大项 B.若数列Sn有最大项，则 d0 C.若数列Sn是递增数列，则对任意，均有 * Nn0 n S D. 若对任意，均有，则数列Sn是递增数列 * Nn0 n S 【答案】C 【解析】选项 C 显然是错的，举出反例：1，0，1，2，3，满足数列S n是递增数 列，但是 S n0 不成立故选 C。 3.【2012 高考新课标理 5】已知 n a为等比数列， 56 8a a ，则 47 2aa 110 aa（ ） ( )A7( )B5( )C()D 【答案】D 【解析】因为为等比数列，所以，又，所以 n a8 7465 aaaa2 74 aa 或.若，解得，24 74 aa，42 74 aa，24 74 aa，18 101 aa， ；若，解得，仍有，综上7 101 aa42 74 aa，18 110 aa，7 101 aa 选 D. 4.【2012 高考上海理 18】设，在 25 sin 1n n an nn aaaS 21 中，正数的个数是（ ） 10021 ,SSS A25 B50 C75 D100 【答案】D 【解析】当 124 时，0，当 2649 时，0，但其绝对值要小于n n an n a 124 时相应的值，当 5174 时，0，当 7699 时，0，但其绝对nn n an n a 值要小于 5174 时相应的值，当 1100 时，均有0。nn n S 【点评点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律， 从题目出发可以看出来相邻的 14 项的和为 0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题 的能力. 5.【2012 高考辽宁理 6】在等差数列an中，已知 a4+a8=16，则该数列前 11 项和 S11= (A)58 (B)88 (C)143 (D)176 【答案答案】B 【解析解析】在等差数列中，答案为 B 111 1114811 11 () 16,88 2 aa aaaas 【点评点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前 n 项和公式，同时考查运算求解 能力，属于中档题。解答时利用等差数列的性质快速又准确。 6.【2012 高考福建理 2】等差数列an中，a1+a5=10,a4=7,则数列an的公差为 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B. 考点：考点：等差数列的定义。 难度：难度：易。 分析：分析：本题考查的知识点为等差数列的通项公式dnaan) 1( 1 。 【解析】法 1：由等差中项的性质知，又.故选5 2 51 3 aa a2, 7 344 aada B. 法 2：2 73 1042 1 1 d da da 7.【2012 高考安徽理 4】公比为等比数列的各项都是正数，且，则 3 2 n a 311 16a a =（ ） 162 log a ( )A4( )B5( )C()D 【答案】B 【解析】 29 31177167216 1616432log5a aaaaaqa 8.【2012 高考全国卷理 5】已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a5=5，S5=15，则数列 的前 100 项和为 (A) (B) (C) (D) 100 101 99 101 99 100 101 100 【答案】A 【命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前n项和的公式的运用，以及裂项求 和的综合运用，通过已知中两项，得到公差与首项，得到数列的通项公式，并进一步裂项 求和。 【解析】由,得，所以，所以15, 5 55 Sa1, 1 1 dannan) 1(1 ，又 1 11 ) 1( 11 1 nnnnaa nn ，选 A. 101 100 101 1 1 101 1 100 1 3 1 2 1 2 1 1 111 10110021 aaaa 二、填空题 9.【2012 高考浙江理 13】设公比为 q（q0）的等比数列an的前 n 项和为 Sn。若 S2=3a2+2，S4=3a4+2，则 q=_。 【答案】 3 2 【解析】将，两个式子全部转化成用，q 表示的式子 22 32Sa 44 32Sa 1 a 即，两式作差得：，即： 111 233 11111 32 32 aa qa q aa qa qa qa q 232 111 3(1)a qa qa q q ，解之得：(舍去) 2 230qq 3 1 2 qq或 10.【2012 高考新课标理 16】数列满足，则的前项和 n a 1 ( 1)21 n nn aan n a60 为 【答案】1830 【解析】由得，12) 1( 1 naa n n n 12 12) 1() 1(12) 1( 1 12 nnanaa n nn n n n ，12) 12() 1(nna n n 即，也有，两式1212) 1( 2 nnaa n nn ）（3212) 1( 13 nnaa n nn ）（ 相加得，设为整数，44) 1(2 321 naaaa n nnnn k 则，10164) 14(4) 1(2 14 44342414 kkaaaa k kkkk 于是1830)1016()( 14 0 44342414 14 0 60 kaaaaS K kkkk K 11.【2012 高考辽宁理 14】已知等比数列an为递增数列，且 ，则数列an的通项公式 an =_。 2 51021 ,2()5 nnn aaaaa 【答案答案】2n 【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式及方程思想，是简单题. 【解析解析】 2429 510111 ,(), n n aaa qa qaqaq 22 21 1 2()5,2(1)5,2(1)5 ,2(2 2 n nnnnnn aaaaqa qqqqqa 解得或舍去）， 【点评点评】本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题。 12.【2012 高考江西理 12】设数列an,bn都是等差数列，若，7 11 ba21 33 ba 则_。 55 ba 【答案】35 【命题立意】本题考查等差数列的概念和运算。考查等差中项的性质及整体代换的数学思 想 【解析】（解法一）因为数列, nn ab都是等差数列，所以数列 nn ab也是等差数列. 故由等差中项的性质，得 551133 2ababab，即 55 72 21ab，解 得 55 35ab. （解法二）设数列, nn ab的公差分别为 12 ,d d , 因为 331112111212 (2)(2)()2()72()21abadbdabdddd, 所以 12 7dd.所以 553312 ()2()35ababdd. 【点评】对于等差数列的计算问题，要注意掌握基本量法这一通法，同时要注意合理使用 等差数列的性质进行巧解. 体现考纲中要求理解等差数列的概念.来年需要等差数列的通项 公式，前n项和，等差中项的性质等. 13.【2012 高考北京理 10】已知等差数列为其前 n 项和。若，则 n a n S 2 1 1 a 32 aS =_。 2 a 【答案】，1 2 annSn 4 1 4 1 2 【解析】因为， 2 1 2 111132132 addadaaaaaaS 所以，。1 12 daanndnnnaSn 4 1 4 1 ) 1( 2 1 14.【2012 高考广东理 11】已知递增的等差数列an满足 a1=1，则4 2 23 aa an=_ 【答案】12 n 【解析】由得到，即，应为an是递增的等差数4 2 23 aa4)1 (21 2 dd4 2 d 列，所以，故。2d12 nan 三、解答题 15【2012 高考江苏 20】（1616 分）分）已知各项均为正数的两个数列和满足： n a n b ， 22 1 nn nn n ba ba a *Nn （1）设，求证：数列是等差数列； n n n a b b 1 1 *Nn 2 n n b a （2）设，且是等比数列，求和的值 n n n a b b 2 1 *Nn n a 1 a 1 b 【答案答案】解：（1），。 n n n a b b 1 1 1 1 222 = 1 nnn n nn n n abb a ab b a 。 2 1 1 1 nn nn bb aa 。 2 2222 1 1 11* nnnn nnnn bbbb nN aaaa 数列是以 1 为公差的等差数列。 2 n n b a （2），。00 nn a b ， 2 2 22 2 nn nnnn ab ab=1q 若则，当时，与（）矛盾。1,q 2 12 =2 a a a 11 2 n n aa q 若则，当时，与（）矛01, q 1 1 logqn a 11 1 n n aa q 盾。 综上所述，。，。=1q 1 * n aanN 1 12 a 123 b b b 又由即，得。 22 1 nn nn n ba ba a 1 1 22 1 n n ab a ab 22 111 2 1 2 = 1 n aaa b a 中至少有两项相同，与矛盾。 123 bbb且且 123 b b 0,数列 n a 满足 a1=b， 1 1 (2) 22 n n n nba an an （1）求数列 n a 的通项公式； （2）证明：对于一切正整数 n， 1 1 1. 2 n n n b a 解： （1）由 1 1 11 121 0,0,. 22 n n nnn nbann aba anabb a 知 令 1 1 , n n n AA ab ， 当 1 12 2, nn nAA bb 时 21 1 211 1222 nn nn A bbbb 21 21 1222 . nn nn bbbb 当 2b 时， 12 (1) 2 , 2 (2) 1 n nn n n bbb A bb b 当 2,. 2 n n bA时 (2) ,2 2 2,2 n nn n nbb b a b b （2）当 2b 时，（欲证 11 11 (2)2 1,(1) 2222 nnnnn n n nnnn nbbbbb anb bb 只需证 ） 1111121 2 (2)(2)(22) 2 nn nnnnnnn b bbbb b 1122222111 22222 nnnnnnnnn bbbbb 21 21 222 2() 222 nnn nn nnn bbb b bbb 1 2(222)222 nnnnnn bnbnb ， 1 1 (2) 1. 22 nn n nnn nbbb a b 当 1 1 2,21. 2 n n n b ba 时 综上所述 1 1 1. 2 n n n b a 13（湖北理 19） 已知数列 na 的前n项和为 nS ，且满足： 1aa (0)a ， 1nnarS (nN*， ,1)rR r （）求数列 na 的通项公式； （）若存在kN*，使得 1kS ， kS ， 2kS 成等差数列，是判断：对于任意的mN*， 且 2m ， 1ma ， ma ， 2ma 是否成等差数列，并证明你的结论 本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一 般的思想。（满分 13 分） 解：（I）由已知 1 , nn arS 可得 21nn arS ，两式相减可得 2111 (), nnnnn aar SSra 即 21 (1), nn ara 又 21 ,arara 所以 r=0 时， 数列 n a 为：a，0，0，； 当 0,1rr 时，由已知 0,0 n aa所以 （ * nN ）， 于是由 21 (1), nn ara 可得 2 1 1() n n a rnN a ， 23 , n a aa 成等比数列， 当n2时， 2 (1). n n ar ra 综上，数列 n a 的通项公式为 2 1, (1),2 n n n an a r ra n （II）对于任意的 * mN ，且 12 2, mmm maaa 成等差数列，证明如下： 当 r=0 时，由（I）知， ,1, 0,2 m a n a n 对于任意的 * mN ，且 12 2, mmm maaa 成等差数列， 当 0r ， 1r 时， 21211 ,. kkkkkk SSaaSa 若存在 * kN ，使得 112 , kk SS S 成等差数列， 则 12 2 kkk SSS ， 1221 222,2, kkkkkk SaaSaa 即 由（I）知， 23 , m a aa的公比 12r ，于是 对于任意的 * mN ，且 12 2,2,4, mmmm maaaa 从而 1212 2, mmmmmm aaaaaa 即 成等差数列， 综上，对于任意的 * mN ，且 12 2, mmm maaa 成等差数列。 14（辽宁理 17） 已知等差数列an满足 a2=0，a6+a8=-10 （I）求数列an的通项公式； （II）求数列 1 2n n a 的前 n 项和 解： （I）设等差数列 n a 的公差为 d，由已知条件可得 1 1 0, 21210, ad ad 解得 1 1, 1. a d 故数列 n a 的通项公式为 2. n an 5 分 （II）设数列 1 2 n n n a nS 的前项和为 ，即 2 11 1 ,1 22 n n n aa SaS 故 ， 12 . 2242 nn n Saaa 所以，当 1n 时， 121 1 1 1 1 2222 1112 1() 2422 12 1(1) 22 nnnn nn nn nn Saaaaa a n n . 2n n 所以 1 . 2 n n n S 综上，数列 11 . 22 n n nn an nS 的前项和 12 分 15（全国大纲理 20） 设数列 n a 满足 1 0a 且 1 11 1. 11 nn aa （）求 n a 的通项公式； （）设 1 1 1 ,1. n n nnkn k a bbS n 记S证明： 解： （I）由题设 1 11 1, 11 nn aa 即 1 1 n a 是公差为 1 的等差数列。 又 1 11 1,. 11 n n aa 故 所以 1 1. n a n （II）由（I）得 1 1 , 1 1 11 1 n n a b n nn nn nn ，8 分 11 111 ()11. 11 nn nk kk Sb kkn 12 分 16（山东理 20） 等比数列 n a 中， 123 ,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 123 ,a a a 中的任 何两个数不在下表的同一列 第一列第二列第三列 第一行3210 第二行6414 第三行9818 （）求数列 n a 的通项公式； （）若数列 n b 满足： ( 1)ln nnn baa ，求数列 n b 的前 n 项和 n S 解：（I）当 1 3a 时，不合题意； 当 1 2a 时，当且仅当 23 6,18aa 时，符合题意； 当 1 10a 时，不合题意。 因此 123 2,6,18,aaa 所以公式 q=3， 故 1 2 3. n n a （II）因为 ( 1) ln n nnn baa 11 1 1 2 3( 1) (2 3) 2 3( 1) ln2(1)ln3 2 3( 1)