高考数学 2014全套汇编：第5章 平面向量、解三角形 第1节 平面向量

【数学数学】2014】2014 版版66 年高考年高考 4 4 年模拟年模拟 第五章第五章 平面向量、解三角形平面向量、解三角形 平面向量平面向量 第一部分第一部分 六年高考荟萃六年高考荟萃 20132013 年高考题年高考题 一、选择题 1. （2013 年高考上海卷（理）在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中,记以 A 为起点,其余顶 点为终点的向量分别为;以 D 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 12345 ,a a a a a .若分别为的最小值、最大值,其中 12345 ,d dd dd ,m M() () ijkrst aaaddd ,则满足（ ） , , 1,2,3,4,5i j k , , 1,2,3,4,5r s t ,m M ABCD0,0mM0,0mM0,0mM0,0mM 答案：D 【解答】作图知，只有，其余均有，故选 D0AF DEAB DC 0 ir a d 2. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版）已知点 （ ）1,3 ,4, 1 ,ABAB 则与向量同方向的单位向量为 ABCD 34 55 ，- 43 55 ，- 3 4 5 5 ， 4 3 5 5 ， 答案：A ，所以，所以同方向的单位向量是，选 A.(3, 4)AB | 5AB 134 ( ,) 555 AB 3. （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版）设 是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有 0 ,PABCABABBP 4 1 0 ABP .则（ ）CPBPPCPB 00 ABCD 0 90ABC 0 90BACACAB BCAC 答案：D 以 AB 所在的直线为 x 轴，以 AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系，设 AB=4，C（a，b） ，P（x，0）则 BP0=1，A（2，0） ，B（2，0） ，P0（1，0） 所以=（1，0） ，=（2x，0） ，=（ax，b） ，=（a1，b） 因为恒有 所以（2x） （ax）a1 恒成立 整理可得 x2（a+2）x+a+10 恒成立 所以=（a+2）24（a+1）0 即=a20 所以 a=0，即 C 在 AB 的垂直平分线上 所以 AC=BC 故ABC 为等腰三角形 故选 D 4. （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版）在四边形 ABCD 中,则四边形的面积为（ ）(1,2)AC ( 4,2)BD ABC5D1052 5 答案：C 由题意，容易得到设对角线交于 O 点，则四边形面积等于四个三角形面积之ACBD 和 即 S= 容易算出 11 (*)(*) 22 AO DOAO BOCO DOCO BOACBD ，则算出 S=5故答案 C5,2 5ACBD 5. （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版）在平面直角 坐标系中,是坐标原点,两定点满足则点集O,A B2,OAOBOA OB A 所表示的区域的面积是（ ）|,1, ,P OPOAOBR ABCD2 22 34 24 3 答案：D .1,其中是线外一点则三点共线若PCPBPAPCBA 在本题中，. 3 2cos4cos| OBOAOBOA 建立直角坐标系，设 A(2,0),).(10, 0).31 (含边界内在三角形时，则当OABPB 344的面积三角形的面积根据对称性，所求区域OABS 所以选 D 6. （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）在平面上, 12 ABAB , 12 1OBOB , 12 APABAB .若 1 2 OP ,则OA 的取值范围是（ ） A 5 0, 2 B 57 , 22 C 5 ,2 2 D 7 ,2 2 答案：D 【命题立意】本题考查平面向量的应用以及平面向量的基本定理。因为，所以 12 ABAB 将在直角坐标系中取点，因为，所以过点作一个半径为 1 12 ,A B B 12 1OBOB 12 ,B B 的单位圆，圆心为.设，因为( , )O a b 12 (0, ),( ,0)By B x ，所以。因为，所以 12 APABAB ( , )P x y 12 1OBOB ，两式相加得，又 2222 ()1,()1xabayb 2222 ()()2xaybba ,所以，即， 2222 ()() ,OPxaybOAab 22 2OPOA 22 2OAOP 所以，因为，所以，即，即 2 2OAOP 1 2 OP 2 1 4 OP 2 1 222 4 OP ，所以，即,所以的取值范 2 7 22 4 OP 2 7 22 4 OP 7 2 2 OAOA 围是，选 D. 7 (,2 2 7. （2013 年高考湖南卷（理）已知是单位向量,.若向量满足, a b0a b Ac （ ）1,cabc则的取值范围是 AB 2-1,2+1 ，2-1,2+2 ， CD 1,2+1 ，1,2+2 ， 答案：A 本题考查数量积的应用。因为，即，又，所以，不0a b ab 1ab 2ab 妨让固定，设，则，即的终点在以对应点为圆心，半径为 1 的, a b uab 1cu c u 圆上。则当与方向相同时，当与方向相反时，所c u max 21c c u min 21c 以的取值范围是，选 A.c 2-1,2+1 ， 8. （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对）已知 向量,若,则（ ）1,1 ,2,2mn mnmn = ABCD432-1 答案：B 因为， 所以=（2+3，3） ， 因为， 所以=0， 所以（2+3）3=0，解得 =3故选 B 9. （2013 年高考湖北卷（理）已知点.,则向量1,1A 1,2B2, 1C 3,4D 在方向上的投影为（ ）AB CD ABCD 3 2 2 3 15 2 3 2 2 3 15 2 答案：A 本题考查向量的投影以及数量的坐标运算。因为,所以(2,1),(5,5)ABCD ，。所以向量在方向上的投影(2,1) (5,5)15AB CD 22 555 2CD ABCD 为，选 A. 153 2 cos, 25 2 AB CD ABAB CD CD 二、填空题 10.（2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯 WORD 版含答案）已知 正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则AE BD A_. 答案：2 因为已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则 =0， 故 =（ ）（）=（）（）=+ =4+00=2，故答案为 2 11.（2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）已知向量与 AB 的夹角为,且,若,且, AC 120 3AB 2AC APABAC APBC 则实数的值为_. 答案： 7 12 向量与的夹角为，且所以AB AC 120| 3,| 2,ABAC 。由得，即 1 cos1203 23 2 AB ACABAC APBC 0AP BC ，所以，即() ()0AP BCABACACAB 22 (1)0ACABAB AC ，解得。493(1)0 7 12 12.（2013 年高考新课标 1（理）已知两个单位向量a,b的夹角为 60,c=ta+(1-t)b, 若bc=0,则t=_. 答案：t=2. 因为，所以=0， 所以 tcos60+1t=0，所以 1=0，解得 t=2故答案为 2 13.（2013 年高考北京卷（理）向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若 c=a+b (,R),则=_. b c a 答案：4 以向量 、 的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系 可得 =（1，1） ， =（6，2） ， =（1，3） 因为 所以，解之得 =2 且 = 因此，=4 故答案为：4 14.（2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版）设 为单位向量,非零向量,若的夹角为,则的最大 21,e eRyxeyexb, 2121,e e 6 | | b x 值等于_. 答案：2 = |x| |b b| |x| (xe e1 +ye e2)2 |x| x2 +y2 +3xy 1 x2 +y2 +3xy x2 1 ( y x) 2 + 3y x + 1 ，所以的最大值为 2 1 ( y x 3 2) 2 + 1 4 |x| |b b| 15.（2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯 WORD 版含附加 题）设分别是的边上的点,若ED，ABCBCAB，ABAD 2 1 BCBE 3 2 (为实数),则的值为_.ACABDE 21 21 ， 21 答案： 1 2 易知 121212 232363 DEABBCABACABABAC 所以 12 1 2 16.（2013 年高考四川卷（理）在平行四边形中,对角线与交于点,ABCDACBDO ,则_.ABADAO 答案：2 因为四边形 ABCD 为平行四边形，对角线 AC 与 BD 交于点 O， 所以+=， 又 O 为 AC 的中点， 所以=2， 所以+=2， 因为+=， 所以 =2 故答案为：2 17.（2013 年高考江西卷（理）设,为单位向量.且,的夹角为,若 1 e 2 e 1 e 2 e 3 ,则向量在方向上的射影为 _ 12 3aee 1 2beab 答案： 5 2 本题考查向量的投影的概念，以及平面向量的数量积的运算。向量在方向上的射a b 影为。，cos, a b aa b b 2b ，所以向量在方向上的射影为 2 121112 1 (3 ) 226265 2 a beeeee e a b 。 5 2 a b b 18.（2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案）在平行四边形 ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为_.60BAD 1AD BE 答案： 1 2 因为 E 为 CD 的中点，所以. 因为 11 22 BEBCCEADDCADAB ADACAB ，所以，即1AC BE 22111 () ()1 222 AC BEADABADABADABAB AD ，所以，解得。 211 1cos601 22 ABAB 211 0 24 ABAB 1 2 AB 20122012 年高考题年高考题 1.2012浙江卷 设 a，b 是两个非零向量( ) A若|ab|a|b|，则 ab B若 ab，则|ab|a|b| C若|ab|a|b|，则存在实数 ，使得 ba D若存在实数 ，使得 ba，则|ab|a|b| 答案：C 解析 本题主要考查平面向量的相关概念与性质以及应用等基础知识，考查学 生基本能力和素质 法一：对于选项 A，若|ab|a|b|可得 ab|a|b|，则 a 与 b 为方向相反的向量， A 不正确；对于选项 B，由 ab，得 ab0，由|ab|a|b|，得 ab|a|b|，B 不正 确；对于选项 C，若|ab|a|b|可得 ab|a|b|，则 a 与 b 为方向相反的共线向量， ba；对于选项 D，若 ba，当 0 时，|ab|a|b|，当 0，a 与 b 的夹角 ，且 ab 和 ba 都在集合Error!中，则 ab( ) (0， 4) A. B1C. D. 1 2 3 2 5 2 答案：C 解析 本题考查平面向量的数量积的运算以及向量的新定义，突破口是通过新 定义把问题转化为熟悉的问题解决根据新定义得： abcos， ab bb |a|b|cos |b|b| |a|cos |b| 2 2 bacos1，且 ab 和 ba 都在集合Error!中，所以 ba aa |a|b|cos |a|a| |b|cos |a| ba ，所以 ab2cos22，所以 1ab0 时，|ab|a|b|，当 2)， y2 a2 x2 4 其离心率为，故，则 a4，故椭圆 C2的方程为1. 3 2 a24 a 3 2 y2 16 x2 4 (2)解法一：A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)， 由2及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程 OB OA 为 ykx.将 ykx 代入y21 中，得(14k2)x24，所以 x ， x2 42 A 4 14k2 将 ykx 代入1 中，得(4k2)x216，所以 x ， y2 16 x2 42 B 16 4k2 又由2，得 x 4x ，即，解得 k1，故直线 AB 的方程为 yx 或 OB OA 2 B2 A 16 4k2 16 14k2 yx. 解法二：A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)， 由2及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程 OB OA 为 ykx. 将 ykx 代入y21 中，得(14k2)x24，所以 x ， x2 42 A 4 14k2 由2，得 x ，y ， OB OA 2 B 16 14k22 B 16k2 14k2 将 x ，y代入1 中，得1，即 4k214k2， 2 B2 B y2 16 x2 4 4k2 14k2 解得 k1，故直线 AB 的方程为 yx 或 yx. 22.2012福建卷 如图，椭圆 E：1(ab0)的左焦点为 F1，右焦点为 F2，离心 x2 a2 y2 b2 率 e ，过 F1的直线交椭圆于 A、B 两点，且ABF2的周长为 8.(1)求椭圆 E 的方程；(2) 1 2 设动直线 l：ykxm 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P，且与直线 x4 相交于点 Q.试探究： 在坐标平面内是否存在定点 M，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M？若存在，求出点 M 的坐 标；若不存在，说明理由 答案：解：解法一： (1)因为|AB|AF2|BF2|8，即|AF1|F1B|AF2|BF2|8， 又|AF1|AF2|BF1|BF2|2a，所以 4a8，a2.又因为 e ，即 ，所以 c1， 1 2 c a 1 2 所以 b.故椭圆 E 的方程是1. a2c23 x2 4 y2 3 (2)由Error!得(4k23)x28kmx4m2120. 因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0，y0)，所以 m0 且 0， 即 64k2m24(4k23)(4m212)0，化简得 4k2m230.(*) 此时 x0，y0kx0m ，所以 P. 4km 4k23 4k m 3 m ( 4k m， 3 m) 由Error!得 Q(4,4km) 假设平面内存在定点 M 满足条件，由图形对称性知，点 M 必在 x 轴上 设 M(x1,0)，则0 对满足(*)式的 m、k 恒成立 MP MQ 因为，(4x1,4km)，由0， MP ( 4k mx1， 3 m) MQ MP MQ 得4x1x 30， 16k m 4kx1 m2 1 12k m 整理，得(4x14) x 4x130.(*) k m2 1 由于(*)式对满足(*)式的 m，k 恒成立，所以Error!解得 x11. 故存在定点 M(1,0)，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M. 解法二：(1)同解法一 (2)由Error!得(4k23)x28kmx4m2120. 因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0，y0)，所以 m0 且 0， 即 64k2m24(4k23)(4m212)0，化简得 4k2m230.(*) 此时 x0，y0kx0m ，所以 P. 4km 4k23 4k m 3 m ( 4k m， 3 m) 由Error!得 Q(4,4km) 假设平面内存在定点 M 满足条件，由图形对称性知，点 M 必在 x 轴上 取 k0，m，此时 P(0，)，Q(4，)，以 PQ 为直径的圆为(x2)2(y) 3333 24，交 x 轴于点 M1(1,0)，M2(3,0)；取 k ，m2，此时 P ，Q(4,0)，以 PQ 为直 1 2 (1， 3 2) 径的圆为 22 ，交 x 轴于点 M3(1,0)，M4(4,0)所以若符合条件的点 M 存 (x 5 2) (y 3 4) 45 16 在，则 M 的坐标必为(1,0) 以下证明 M(1,0)就是满足条件的点： 因为 M 的坐标为(1,0)，所以，(3,4km)， MP ( 4k m1， 3 m) MQ 从而330， MP MQ 12k m 12k m 故恒有，即存在定点 M(1,0)，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M. MP MQ 20112011 年高考题年高考题 一、选择题 1.（四川理 4）如图，正六边形 ABCDEF 中，BA CDEF = A0 BBE CAD DCF 【答案】D 【解析】BA CDEFBAAFEFBFEFCEEFCF 2.（山东理 12）设 1 A ， 2 A ， 3 A ， 4 A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 1312 A AA A （R）， 1412 A AA A （R），且 11 2 ,则称 3 A ， 4 A 调和分割 1 A ， 2 A ,已知平面上的点 C，D 调和分割点 A，B 则下面说法正确的是 AC 可能是线段 AB 的中点 BD 可能是线段 AB 的中点 CC，D 可能同时在线段 AB 上 DC，D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 【答案】D 3.（全国新课标理 10）已知 a，b 均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题 1 2 :| 10,) 3 pab 2 2 :| 1(, 3 pab 13:| | 10,) 3 pab 4:| | 1(, 3 pab 其中真命题是 （A） 14 ,p p （B） 13 ,p p （C） 23 ,pp （D） 24 ,pp 【答案】A 4.（全国大纲理 12）设向量 a，b，c 满足 a = b =1，a b A= 1 2 ， ,ac bc = 0 60 ，则 c 的最大值等于 A2 B 3 C 2 D1 【答案】A 5.（辽宁理 10）若a，b，c均为单位向量，且 0ba ， 0)()(cbca ，则 |cba 的最大值为 （A） 12 （B）1 （C） 2 （D）2 【答案】B 6.（湖北理 8）已知向量 a=（x+z,3）,b=（2,y-z），且 a b若 x,y 满足不等式 1xy ，则 z 的取值范围为 A-2，2 B-2，3 C-3，2 D-3，3 【答案】D 7.（广东理 3）若向量，满足且，则 (2 )cab A4 B3 C2 D0 【答案】D 8.（广东理 5）已知在平面直角坐标系 xOy 上的区域D由不等式组 02 2 2 x y xy 给定。若 ( , )M x y 为D上的动点，点A的坐标为( 2,1)，则z OM OA 的最大值为 C A4 2 B3 2 C4 D3 【答案】 9.（福建理 8）已知 O 是坐标原点，点 A（-1,1）若点 M（x,y）为平面区域 2 1 y2 xy x ， 上的一个动点，则OA OM 的取值范围是 A-10 B01 C02 D-12 【答案】C 二、填空题 10.（重庆理 12）已知单位向量 1 e ， 2 e 的夹角为 60，则 12 2ee _ 【答案】 3 11.（浙江理 14）若平面向量 ， 满足|=1，|1，且以向量 ， 为邻边的 平行四边形的面积为 1 2，则 与 的夹角的取值范围是 。 【答案】 5 , 66 12.（天津理 14）已知直角梯形ABCD中，AD/BC, 0 90ADC , 2,1ADBC , P是腰DC上的动点，则 3PAPB 的最小值为_. 【答案】5 13.（上海理 11）在正三角形ABC中，D是BC上的点， 3,1ABBD ，则AB AD 。 【答案】 15 2 14.（江苏 10）已知 21,e e 是夹角为 3 2 的两个单位向量， ,2 2121 eekbeea 若 0 ba ，则 k 的值为 . 【答案】4 5 15.（安徽理 13）已知向量 , a b满足() ()abab ，且 1a ， 2b ， 则 a 与 b 的夹角为 . 【答案】3 16.（北京理 10）已知向量 a=（ 3 ，1），b=（0，-1），c=（k， 3 ）。若 a-2b 与 c 共 线，则 k=_。 【答案】1 17.（湖南理 14）在边长为 1 的正三角形 ABC 中, 设 2,3,BCBD CACE 则 AD BE _ 【答案】 1 4 18.（江西理 11）已知 2ab ,( 2 )ab ab （） =-2，则a 与b 的夹角为 【答案】3 20102010 年高考题年高考题 一、选择题 1.1.（20102010 湖南文）湖南文）6. 若非零向量 a，b 满足| |,(2)0ababb，则 a 与 b 的夹角为 A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500 【答案】 C 2.2.（20102010 全国卷全国卷 2 2 理）理）（8）ABCV中，点D在AB上，CD平方ACB若CBa uur ， CAb uu r ，1a ，2b ，则CD uuu r （A） 12 33 ab （B） 21 33 ab （C） 34 55 ab （D） 43 55 ab 【答案】B 【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理. 【解析】因为CD平分ACB，由角平分线定理得 ADCA2 = DBCB1 ，所以 D 为 AB 的三等 分点，且 22 ADAB(CBCA) 33 ，所以 2121 CDCA+ADCBCAab 3333 ， 故选 B. 3.3.（20102010 辽宁文）辽宁文）（8）平面上, ,O A B三点不共线，设,OAa OBb ,则OAB的面积 等于 （A） 22 2 ()aba b （B） 22 2 ()aba b （C） 22 2 1 () 2 aba b （D） 22 2 1 () 2 aba b 【答案】C 解析： 2 2 22 111() |sin,| 1cos,| 1 222| | OAB a b Sa ba ba ba ba b ab 22 2 1 () 2 aba b 4.4.（20102010 辽宁理）辽宁理）(8)平面上 O,A,B 三点不共线，设,OA=a OBb，则OAB 的面积等于 (A) 222 | |()|aba bA (B) 222 | |()|aba bA (C) 222 1 | |() 2 |aba bA (D) 222 1 | |() 2 |aba bA 【答案】C 【命题立意】本题考查了三角形面积的向量表示，考查了向量的内积以及同角三角函数的 基本关系。 【解析】三角形的面积 S= 1 2 |a|b|sin，而 2222222 11 | |()| |() cos, 22 ababababa b 2 11 | 1 cos,|sin, 22 a ba ba ba b 5.5.（20102010 全国卷全国卷 2 2 文）文）（10）ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分ACB，若CB = a , CA = b , a= 1 ，b= 2, 则CD = （A） 1 3 a + 2 3 b （B） 2 3 a + 1 3 b （C） 3 5 a + 4 5 b （D） 4 5 a + 3 5 b 【答案】 B 【解析解析】B】B：本题考查了平面向量的基础知识：本题考查了平面向量的基础知识 CDCD 为角平分线，为角平分线， 1 2 BDBC ADAC ， ABCBCAab ， 222 333 ADABab ， 2221 3333 CDCAADbabab 6.6.（20102010 安徽文）安徽文）(3)设向量(1,0)a , 1 1 ( , ) 2 2 b ,则下列结论中正确的是 (A)ab (B) 2 2 a b A (C)/ /ab (D)ab与b垂直 【答案】D 【解析】 11 ( ,) 22 ab =，()0ab bA，所以ab与b垂直. 【规律总结】根据向量是坐标运算，直接代入求解，判断即可得出结论. 7.7.（20102010 重庆文）重庆文）（3）若向量(3,)am，(2, 1)b ，0a b A，则实数m的值为 （A） 3 2 （B） 3 2 （C）2 （D）6 【答案】 D 解析：60a bmA，所以m=6 8.8.（20102010 重庆理）重庆理）(2) 已知向量 a，b 满足0,1,2,a bab，则2ab A. 0 B. 2 2 C. 4 D. 8 【答案】 B 解析：2ab22844)2( 222 bbaaba 9.9.（20102010 山东文）山东文）（12）定义平面向量之间的一种运算“A”如下：对任意的( , )am n， ( , )bp q，令abmqnpA，下面说法错误的是 (A)若 a 与 b 共线，则0ab A (B)abbaAA (C)对任意的R，有()()ababAA (D) 2222 ()()| |aba babA 【答案】B 10.10.（20102010 四川理）四川理）（5）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外， 2 16,BCABACABAC 则AM （A）8 （B）4 （C） 2 （D）1 解析：由 2 BC 16，得|BC|4 ABACABACBC 4 而ABACAM 故AM 2 【答案】C 11.11.（20102010 天津文）天津文）（9）如图，在 ABC 中，ADAB，3BC BD ，1AD ，则 AC AD = （A）2 3 （B） 3 2 （C） 3 3 （D）3 【答案】D 【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知 识，属于难题。 | |cos| cos|sinACADACADDACACDACACBAC sinB3BC 【温馨提示】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加 强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。 12.12.（20102010 广东文）广东文） 13.13.（20102010 福建文）福建文） 14.14.（20102010 全国卷全国卷 1 1 文）文）（11）已知圆O的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为 两切点，那么PA PB 的最小值为 (A) 42 (B)32 (C) 42 2 (D)32 2 【答案】D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法 判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析 1】如图所示：设 PA=PB=x(0)x ,APO=,则 APB=2，PO= 2 1x， 2 1 sin 1x ， | |cos2PA PBPAPB = 22 (1 2sin)x= P A B O 22 2 (1) 1 xx x = 42 2 1 xx x ，令PA PBy ，则 42 2 1 xx y x ，即 42 (1)0 xy xy，由 2 x是实数，所以 2 (1)4 1 ()0yy ， 2 610yy ，解得32 2y 或32 2y . 故 min ()32 2PA PB .此时21x . 【解析 2】设,0APB， 2 cos1/tancos 2 PA PBPAPB 22 2 2 22 1 sin1 2sin cos 22 2 1 2sin 2 sinsin 22 换元： 2 sin,01 2 xx ， 11 21 232 23 xx PA PBx xx 【解析 3】建系：园的方程为 22 1xy，设 11110 ( ,), ( ,), (,0)A x yB xyP x， 22 11101110110 ,001AOPAx yxxyxx xyx x 22222222 1100110110 221232 23PA PBxx xxyxxxxx 15.15.（20102010 四川文）四川文）（6）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外， 2 16BC ， ABACABAC ，则AM （A）8 （B）4 （C）2 （D）1 【答案】C 解析：由 2 BC 16，得|BC|4 ABACABACBC 4 222 10110111001 ,2PA PBxxyxxyxx xxy 而ABACAM 故AM 2 16.16.（20102010 湖北文）湖北文）8.已知ABC和点 M 满足0MAMBMC .若存在实m使得 AMACmAM 成立，则m= A.2B.3C.4D.5 17.17.（20102010 山东理）山东理）(12)定义平面向量之间的一种运算“A”如下，对任意的a=(m,n) ， bp,q) （，令ab=mq-np A，下面说法错误的是（ ） A.若a 与b 共线，则ab=0 A B.ab=ba AA C.对任意的R，有a)b= ( A（ab) A D. 2222 (ab) +(ab) =|a| |b| A 【答案】B 【解析】若a 与b 共线，则有ab=mq-np=0 A，故 A 正确；因为bapn-qm A，而 ab=mq-np A，所以有abba AA，故选项 B 错误，故选 B。 【命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知 识以及分析问题、解决问题的能力。 18.18.（20102010 湖南理）湖南理）4、在Rt ABC中，C=90AC=4，则AB AC uu u r uuu r 等于 A、-16 B、-8 C、8 D、16 19.19.(2010(2010 年安徽理年安徽理) ) 20.20.（20102010 湖北理）湖北理）5已知ABC和点 M 满足0MA MB MC +.若存在实数 m 使得 AB ACAMm 成立，则 m= A2 B3 C4 D5 二、填空题二、填空题 1.1.（20102010 上海文）上海文）13.在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标 为( 5,0)，1(2,1)e 、2(2, 1)e 分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线 上的点P，若 1 2 OPaebe （a、bR），则a、b满足的一个等式是 4ab1 。 解析：因为1(2,1)e 、2(2, 1)e 是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为 xy 2 1 ，又1, 2,5bac 双曲线方程为1 4 2 2 y x ， 1 2 OPaebe =),22(baba， 1)( 4 )22( 2 2 ba ba ，化简得 4ab1 2.2.（20102010 浙江理）浙江理）（16）已知平面向量,(0,) 满足1，且与的 夹角为 120，则的取值范围是_ . 解析：利用题设条件及其几何意义表示在三角形中，即可迎刃而解，本题主要考察了平面 向量的四则运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档 题。 3.3.（20102010 陕西文）陕西文）12.已知向量a（2，1），b（1，m），c（1，2）若 （ab）c，则 m . 【答案】1 解析：0) 1() 1(21/)(),1, 1 (mcbamba得由，所以 m=-1 4.4.（20102010 江西理）江西理）13.已知向量a ，b 满足1a ，2b ， a 与b 的 夹角为 60，则ab 【答案】 3 【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余 弦定理等知识，如图,aOA bOB abOAOBBA ，由余弦定 理得：3ab 5.5.（20102010 浙江文）浙江文）（17）在平行四边形 ABCD 中，O 是 AC 与 BD 的交点，P、Q、M、N 分别 是线段 OA、OB、OC、OD 的中点，在 APMC 中任取一点记为 E，在 B、Q、N、D 中任取一点记 为 F，设 G 为满足向量OGOE OF 的点，则在上述的点 G 组成的集合中的点，落在平 行四边形 ABCD 外（不含边界）的概率为 。 答案： 3 4 6.6.（20102010 浙江文）浙江文）（13）已知平面向量,1,2,(2 ), 则2a的值 是 答案 ：10 7.7.（20102010 天津理）天津理）（15）如图，在ABCA中，ADAB,3BCBD , 1AD ,则AC AD A . 【答案】D 【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。 | |cos| cos|sinACADACADDACACDACACBAC sinB3BC 【解析】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平 面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。 8.8.（20102010 广东理）广东理）10.若向量a r =（1,1,x）, b r =(1,2,1), c r =(1,1,1),满足条件 () (2 )cab rrr =-2,则x= . 【答案】2 2 (0,0,1)cax ，()