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文档简介

31基本不等式32基本不等式与最大(小)值,一、重要不等式如果a，bR，那么_(当且仅当ab时取“”号),2函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，才能利用“定理”求出函数的最大值或最小值若含变数的各项之和或之积不是常数(定值)时，必须进行适当的配凑，使和或积变为常数(定值)，方可使用“定理”求出函数的最大值或最小值,总之，由均值不等式(平均值定理)求最值可分为三步第一步，全正(即求平均值的各个量都是正数)；第二步，凑定值这步技巧性强，充分体现解题人利用均值不等式求最值的水平，应侧重训练，当凑出和为定值时，对应各个量的积有最大值；当凑出的积为定值时，其对应各量的和有最小值；第三步，“取等号”，即对应各个量能取得等号时，有最值存在，否则，没有最值存在，以上三步可简化为：一正，二定，三相等，三步缺一不可,4在利用均值不等式求最值时，凑定值是很重要的一步，但是很多时候都是因为取不到最值而苦恼，那么，在求最值时有哪些技巧可以使用呢？利用均值不等式求最值常常需要对函数进行适当的变形在变形过程中常要用到某些特定的技巧，主要有下面几点：(1)将所得出的正函数平方，然后再使用均值不等式求解有时候直接带有根号的定值不容易看出来，可以先平方再找最值，得出结果开方即可，但是要注意平方前后的正负问题；,(2)有些和(积)不为常数的函数求最值时，可通过引入参数后，再使用均值不等式求解主要是一些比较复杂的式子，使用一个参数作一个整体代换可以使整个式子更加简洁，也更容易得出定值；(3)有些函数在求最值时，需要几次使用均值不等式进行放缩才能达到目的，放缩时要保证几个等号能同时成立；(4)有时候使用均值不等式的变形，要根据题目的特点，选用合适的公式例如,分析：要求xy的最小值，根据均值定理，应构建某个积为定值这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会,例5函数f(x)对一切实数x，y均有f(xy)f(y)(x2y1)x成立，且f(1)0.(1)求f(0)；(2)求f(x)；(3)不等式f(x)ax5当0x2时恒成立，求a的取值范围,解析：(1)令x1，y0，得f(10)f(0)(1201)12，f(0)f(1)22.(2)令y0，f(x0)f(0)(x201)xx2x，f(x)x2x2.,答案：A,例6(数学与日常生活)某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理,因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元,变式训练6如下图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成(1)现有长36m的钢筋网材料，则每间虎笼的长、宽各设计为多少
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