《电磁场与电磁波》复习纲要(含答案)

第一章第一章 矢量分析矢量分析 1、方向导数和梯度的概念； 方向导数和梯度的关系； 直角坐标系中方向导数和梯度的表达式。 梯度是一个矢量。标量场梯度是一个矢量。标量场 u 在某点梯度的模等于该点的最大方向在某点梯度的模等于该点的最大方向 导数，方向为该点具有最大方向导数的方向。记为导数，方向为该点具有最大方向导数的方向。记为 gradu 方向导数：标量场方向导数：标量场 u 自某点沿某一方向上的变化率自某点沿某一方向上的变化率 标量场标量场 u 在给定点沿某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。在给定点沿某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。 2、通量的表达式；散度的计算式。 3、旋度的计算式；旋度的两个重要性质。 性质性质 1：旋度的散度恒等于：旋度的散度恒等于 0 性质性质 2：标量的梯度的旋度恒等于：标量的梯度的旋度恒等于 0 计算公式：计算公式： 梯度的表达式：梯度的表达式： z u e y u e x u eu zyx 直角坐标系直角坐标系 S n S SeFSFdd z F y F x F F z y x zyx zyx x y z zx y y z x FFF zyx eee y F x F e x F z F e z F y F eF 4、场论的两个重要定理：高斯散度定理和斯托克斯定理。 散度定理（高斯定理）散度定理（高斯定理） 斯托克斯定理斯托克斯定理 矢量场矢量场 F 沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即 5、无旋场和无散场概念。 旋度表示场中各点的场量与旋涡源的关系。旋度表示场中各点的场量与旋涡源的关系。 矢量场所在空间里的场量的旋度处处等于零，称该场为无旋场（或保守场）矢量场所在空间里的场量的旋度处处等于零，称该场为无旋场（或保守场） 散度表示场中各点的场量与通量源的关系散度表示场中各点的场量与通量源的关系。 矢量场所在空间里的场量的散度处处等于零，称该场为无散场（或管形场） 。矢量场所在空间里的场量的散度处处等于零，称该场为无散场（或管形场） 。 6、理解格林定理和亥姆霍兹定理的物理意义 格林定理反映了两种标量场格林定理反映了两种标量场 （区域区域 V 中的场与边界中的场与边界 S 上的场之间的关系上的场之间的关系） 之间满足的关系。之间满足的关系。 因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布 在无界空间，矢量场由其散度及旋度唯一确定在无界空间，矢量场由其散度及旋度唯一确定 在有界空间，矢量场由其散度、旋度及其边界条件唯一确定。在有界空间，矢量场由其散度、旋度及其边界条件唯一确定。 第二章第二章 电磁电磁现象的普遍规律现象的普遍规律 1、 电流连续性方程的微分形式。 2、 磁通连续性原理的微分形式、积分形式。 矢量场在空间矢量场在空间任意闭合曲面任意闭合曲面S S的通量的通量等于等于该闭合曲面该闭合曲面S S所包含体积所包含体积V V中中 矢量场的散度的体积分矢量场的散度的体积分，即，即 磁通连续性原理（积分形式）磁通连续性原理（积分形式） 0d)( S SrB VS VFSFdd SC SFlF dd t J 3、 介质中高斯定理的微分形式和积分形式。用高斯定理求场强方法与实例。 其积分形式为其积分形式为 第二章 电磁场的基本规律 例例2 2： 求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径为求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径为 a，电，电 荷密度为荷密度为 0 0 。 。 解：（解：（1 1）球外某点的场强）球外某点的场强 0 3 00 3 41 d a q SE S （2 2）求球体内一点的场强）求球体内一点的场强 VSE VS d 1 d 0 0 a r 0 r r E a r e r a E 2 0 3 0 3 ( ( r r a a ) ) 3 3 0 2 3 4 34 1 4r a q Er r e r E 0 0 3 （r a） 4、 磁介质中的安培环路定律的积分形式微分形式。用安培环路定律计算磁感应强度。 0)(rB VS VSDdd D ISJlH SC dd JH 恒定磁场的散度（微分形式）恒定磁场的散度（微分形式） 第二章 电磁场的基本规律 IHlH C 2d 磁场强度磁场强度 0 2 I He 磁化强度磁化强度 0 0 0 2 0 I a a e B MH 磁感应强度磁感应强度 0 0 2 2 I a I a e B e H M B 例例4 4 有一磁导率为有一磁导率为，半径为，半径为a a 的无限长导磁圆柱，其轴的无限长导磁圆柱，其轴 线处有无限长的线电流线处有无限长的线电流I，圆柱外是空气（，圆柱外是空气（0 0 ），试求圆柱内 ），试求圆柱内 外的外的、和和的分布。的分布。 解：应用安培环路定理，得解：应用安培环路定理，得 5、 媒质的本构关系。 各向同性线性媒质的本构关系为各向同性线性媒质的本构关系为(电磁场的辅助方程电磁场的辅助方程) 6、 感应电场的特点（有旋无源场） 。 感应电场是有旋场，变化的磁场是电场的旋度源，因此，产生电场的源有两种：电荷（散度感应电场是有旋场，变化的磁场是电场的旋度源，因此，产生电场的源有两种：电荷（散度 源）和时源）和时变磁场（旋度源） 。变磁场（旋度源） 。 7、 位移电流密度的求解。 ED HB EJ d t D J 第二章 电磁场的基本规律 例例 1 1 海水的电导率为海水的电导率为4S/m4S/m，相对介电常数为，相对介电常数为8181，求频率为，求频率为 1 1MHzHz时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值。时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值。 解：设电场随时间作正弦变化，表示为解：设电场随时间作正弦变化，表示为 则位移电流密度为则位移电流密度为 其振幅值为其振幅值为 传导电流的振幅值为传导电流的振幅值为 故故 mcosx Ee Et d0rmsin( ) x D JeEt t 3 dm0rmm 4.5 10JEE cmmm 4JEE 3 dm cm 1.125 10 J J 8、 麦克斯韦方程组的积分形式、微分形式；这些方程的物理意义。利用麦克斯韦方程组进 行计算。 麦克斯韦方程组的微分形式麦克斯韦方程组的微分形式与与麦克斯韦方程组的积分形式麦克斯韦方程组的积分形式 麦克斯韦第一方程，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场麦克斯韦第一方程，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场 麦克斯韦第二方程，表明变化的磁场产生电场麦克斯韦第二方程，表明变化的磁场产生电场 麦克斯韦第三方程表明磁场是无散场，磁感线总是闭合曲线麦克斯韦第三方程表明磁场是无散场，磁感线总是闭合曲线 麦克斯韦第四方程，表明电荷产生电场麦克斯韦第四方程，表明电荷产生电场 D B t B E t D JH 0 SV S CS CS dVSD SB S t B lE S t D JlH d 0d dd d)(d 第二章 电磁场的基本规律 例例 2 2 在无源在无源的电介质的电介质中，若已知电场强中，若已知电场强 度矢量度矢量，式中的，式中的E0 0为振幅、为振幅、为角频率、为角频率、 k k为相位常数。试确定为相位常数。试确定k k与与之间所满足的关系，并求出与之间所满足的关系，并求出与相应相应 的其他场矢量。的其他场矢量。 (00)J 、 (0) mcos( )V/m x Ee Etkz E 解：解：是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利 用麦克斯韦方程组可以确定用麦克斯韦方程组可以确定k k 与与之间所满足的关系，以及与之间所满足的关系，以及与 相应的其相应的其他场矢量。他场矢量。 E E mm cos()sin() x yyy E eeEtkze kEtkz zz m cos() y kE Betkz 对时间对时间t t 积分，得积分，得 () xyzxx B Eeeee E txyz 第二章 电磁场的基本规律 BH = DE 2 m sin() xyz y xx xyz eee H k E Heetkz xyzz HHH m sin() x xx DD eeEtkz tt D H t 由由 22 k m cos() y kE Hetkz mcos( ) x De Etkz 以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的H H 和和D D 代入式代入式 9、 电磁场的边界条件。 1.两种理想介质分界面上的边界条件两种理想介质分界面上的边界条件 理想导体表面上的边理想导体表面上的边界条件界条件 第三章第三章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题 1、电位梯度和电场强度的关系。 2、求导体的电容的方法与实例。 第三章第三章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题 例例3.1.5 3.1.5 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a ，外导体半径为，外导体半径为b ，内外导体，内外导体 间填充的介电常数为间填充的介电常数为 的均匀介质，的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。求同轴线单位长度的电容。 ( ) 2 l Ee 内外导体间的电位差内外导体间的电位差 1 ( )dd 2 bb l aa UEe l l 解解设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为和和， 应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为 故得同轴线单位长度的电容为故得同轴线单位长度的电容为 1 2 (F/m) ln( / ) l C Ub a a b 同轴线同轴线 ln( / ) 2 l b a n12 n12 n12 n12 ()0 ()0 ()0 ()0 e e e e DD BB EE HH n n n n 0 0 S S eD eB eE eHJ E 3、静电场的能量分布与计算公式，和能量密度的表达式。 第三章第三章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题 电量为电量为q 的带电体具有的电场能量的带电体具有的电场能量W We e 对于电荷体密度为对于电荷体密度为的体分布电荷，体积元的体分布电荷，体积元dVdV中的电荷中的电荷dVdV 具有的电场能量为具有的电场能量为 qW 2 1 e VWd 2 1 d e 故体分布电荷的电场能量为故体分布电荷的电场能量为 V VWd 2 1 e 对于面分布电荷，电场能量为对于面分布电荷，电场能量为 S S SWd 2 1 e 对于线分布电荷，电场能量为对于线分布电荷，电场能量为 c l lWd 2 1 e 3.1.4 3.1.4 静电场的能量静电场的能量 1. 1. 静电场的能量静电场的能量 4、恒定电场的概念。静电比拟法的应用。 由由 J E 可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场 的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电 荷产生的电场称为恒定电场。荷产生的电场称为恒定电场。 如果两种场，在一定条件下，场如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解 也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可 以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。 5、矢量磁位和磁感应强度的关系式。 EDw 2 1 e 电场能量密度：电场能量密度： BA 6、恒定磁场的能量分布与计算公式，能量密度的表达式。 第三章第三章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题 3.3.4 3.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量 1. 1. 磁场能量磁场能量 电流电流为为 I 的载流回路具有的磁场能量的载流回路具有的磁场能量Wm 2 m 2 1 d 2 1 2 1 LIlAIIW C 对于对于N N 个载流回路，则有个载流回路，则有 j C jj N j jj N j j lAIIW d 2 1 2 1 11 m 对于体分布电流，则有对于体分布电流，则有 V VAJWd 2 1 m 磁场能量密度：磁场能量密度： 7、静态场的边值问题；边值问题的类型；唯一性定理的表述。 第三章第三章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题 3.4.1 3.4.1 边值问题的类型边值问题的类型 1 |( ) S f S 已知场域边界面上的位函数值，即已知场域边界面上的位函数值，即 2 22 |() S f S n 1 11 |() S f S、 2 |( ) S fS n 第一类边值问题（狄里赫利问题）第一类边值问题（狄里赫利问题） 已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即 已知场域一部分边界面上的位函数值，而其余边界面上则已已知场域一部分边界面上的位函数值，而其余边界面上则已 知位函数的法向导数值，即知位函数的法向导数值，即 第三类边值问题（混合边值问题）第三类边值问题（混合边值问题） 第二类边值问题（纽曼问题）第二类边值问题（纽曼问题） S V m 1 2 wB H 惟一性定理的表述惟一性定理的表述 在场域在场域 V 的边界面的边界面 S 上给定上给定 或或 的值，则泊松的值，则泊松方程或方程或 Laplace 方程在场域方程在场域 V 具有惟具有惟 一值。一值。 8、镜像法的理论依据；确定镜像电荷的原则；导体劈的镜像电荷的确定。 镜像法的理论基础镜像法的理论基础 解的惟一性定理解的惟一性定理 确定镜像电荷的两条原则确定镜像电荷的两条原则 镜像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。镜像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。 镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域的边界条件来确定区域的边界条件来确定 第三章第三章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题 2. 2. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 对于半无限大导体平面形成的劈形边界对于半无限大导体平面形成的劈形边界, , 当导体劈的夹角当导体劈的夹角 满足满足（n n为整数）时，也可采用镜像法，镜像为整数）时，也可采用镜像法，镜像 电荷为电荷为2n2n- -1 1个。分布在半径为个。分布在半径为r0r0的圆上（的圆上（r0r0为点电荷到角为点电荷到角 顶点的距离）。镜像的角度为顶点的距离）。镜像的角度为 0 180 /n 2,1,2,.mm 电荷量为电荷量为为点电荷与劈的夹角。为点电荷与劈的夹角。,q 如果如果，则无法应用镜像原理。，则无法应用镜像原理。 0 180 /n 第四章第四章 时变电磁场时变电磁场 1. 无源区域中 E 和 H 满足的波动方程。洛仑兹规范条件和库仑规范条件。 0 2 2 2 t H H 0 t A 0 2 2 2 t E E 0 A 2. 坡印廷矢量的定义和物理意义 物理意义：物理意义： 方向方向 电磁能量传输的方向，电磁能量传输的方向， 与电场和磁场垂直与电场和磁场垂直 大小大小 通过垂直于能量传输方通过垂直于能量传输方 向的单位面积的电磁功率向的单位面积的电磁功率 3. 坡印廷定理及其物理意义，每一项所代表的物理意义。 第四章第四章 时变电磁场时变电磁场 其中：其中： 单位时间内体积单位时间内体积V 中所增加中所增加 的电磁能量的电磁能量 单位时间内电场对体积单位时间内电场对体积V中的电流所做的功；中的电流所做的功； 在导电媒质中，即为体积在导电媒质中，即为体积V内总的损耗功率内总的损耗功率 通过曲面通过曲面S 进入体积进入体积V 的电磁功率的电磁功率 表征电磁能量守恒关系的定理表征电磁能量守恒关系的定理 积分形式：积分形式： VVS VJEVBHDE t SHEdd) 2 1 2 1 ( d d d)( V VJEd V VBHDE t d) 2 1 2 1 ( d d S SHE d)( JEBHDE t HE ) 2 1 2 1 ()( 坡坡印廷印廷( (PoyntingPoynting) )定理定理 微分形式：微分形式： 物理意义：单位时间内，通过曲面物理意义：单位时间内，通过曲面 S 进入体积进入体积 V 的电磁能量等的电磁能量等 于体积于体积 V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和 HS 定义定义： ( W/m2 ) 4. 时谐电磁场的复数表示、瞬时表示。 5. 时谐电磁场的坡印廷矢量的瞬时表示和平均坡印廷矢量（能流密度矢量）的计算。 第四章第四章 时变电磁场时变电磁场 4.5.5 4.5.5 平均能量密度和平均能流密度矢量（复坡印廷定理）平均能量密度和平均能流密度矢量（复坡印廷定理） 电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方 关系，这种关系式称为二次式。在时谐电磁场中，常常要关系，这种关系式称为二次式。在时谐电磁场中，常常要关关 心心二次式二次式在一个时间周期在一个时间周期T T 中的平均值，即中的平均值，即 平均能流密度矢量平均能流密度矢量 av 00 11 d()d TT tEHt TT SS 平均电场能量密度平均电场能量密度eave 00 111 dd 2 TT wwtE D t TT 平均磁场能量密度平均磁场能量密度 mavm 00 111 dd 2 TT wwtH B t TT 在时谐电磁场中，二次式在时谐电磁场中，二次式的时间平均值可直接由复矢量计算，有的时间平均值可直接由复矢量计算，有 av 1 Re() , 2 EH S mav 1 Re() 4 wH B eav 1 Re() , 4 wE D 第五章第五章 均匀平面波在无界空间中的传播均匀平面波在无界空间中的传播 1. 均匀平面波的概念。 均匀平面波：等相位面上电场和磁场的方向、振幅都保持不变的平面波均匀平面波：等相位面上电场和磁场的方向、振幅都保持不变的平面波 2. 理想介质中的均匀平面波的传播特点 j( )j 0 j*-j ( , )ReeRe ( )e 1 ( )e( ) e 2 trt tt A r tAA r A rA r 0 ( , )cos( )A r tAtr 第五章第五章 均匀平面波在无界空间中的传播均匀平面波在无界空间中的传播 4 4、理想介质中的均匀平面波的传播特点、理想介质中的均匀平面波的传播特点 x y z E H o 理想介质中均匀平面波的理想介质中均匀平面波的和和EH 电场、磁场与传播方向之间相互垂直，且满足右手螺旋关系电场、磁场与传播方向之间相互垂直，且满足右手螺旋关系 是是横电磁波（横电磁波（TEMTEM波）波） 无衰减，电场与磁场的振幅不变无衰减，电场与磁场的振幅不变 波阻抗为实数，电场与磁场同相位波阻抗为实数，电场与磁场同相位 电磁波的相速与频率无关电磁波的相速与频率无关 电场能量密度等于磁场能量密度电场能量密度等于磁场能量密度 根据前面的分析，可总结出理想介质中的均匀平面波的传播根据前面的分析，可总结出理想介质中的均匀平面波的传播 特点为：特点为： 3. 周期、角频率、频率、波长、相位常数（波数） 、相速（波速） 、波阻抗的计算。 角频率角频率 ：表示单位时间内的相位变化，单位为：表示单位时间内的相位变化，单位为 rad/s 周期周期 T ：时间相位变化：时间相位变化 2 的时间间隔，即的时间间隔，即 相位常数相位常数 ：表示波传播单位距离的相位变化量：表示波传播单位距离的相位变化量 相速相速 v：电磁波的等相位面在空间中的移动速度：电磁波的等相位面在空间中的移动速度，真空中，真空中 平面波的速度与媒质特性有关，与频率无关，媒质中平面波的速度通常小于真空中的速度。平面波的速度与媒质特性有关，与频率无关，媒质中平面波的速度通常小于真空中的速度。 377120 0 0 0 波阻抗波阻抗 ) s ( 2 T2T rad/m)(k )H( 2 1 z T f 频率频率 f ： m/s103 10 36 1 104 11 8 97 00 0 cv 4. 磁场和电场之间的关系式。 5. 电磁波的极化的判断。 电磁波的极化状态取决于电磁波的极化状态取决于 Ex 和和 Ey 的振幅之间和相位之间的关系，分为：线极化、圆极化、的振幅之间和相位之间的关系，分为：线极化、圆极化、 椭圆极化。即由电磁波电场场量或磁场场量两个正交分量间的幅度和相位关系，可以判断波椭圆极化。即由电磁波电场场量或磁场场量两个正交分量间的幅度和相位关系，可以判断波 的极化方式。的极化方式。 线极化：线极化：电场强度矢量的端点轨迹为一直线段电场强度矢量的端点轨迹为一直线段 圆极化：电场强度矢量的端点轨迹为一个圆圆极化：电场强度矢量的端点轨迹为一个圆 椭圆极化：电场强度矢量的端点轨迹为一个椭圆椭圆极化：电场强度矢量的端点轨迹为一个椭圆 6. 色散现象。 色散现象：波的传播速度（相速）随频率改变而改变的现象。具有色散效应的波称为色散波。色散现象：波的传播速度（相速）随频率改变而改变的现象。具有色散效应的波称为色散波。 导电媒质是色散媒质导电媒质是色散媒质 7. 趋肤效应和趋肤深度。 趋肤效应：电磁波的频率越高，衰减系数越大，高频电磁波只能趋肤效应：电磁波的频率越高，衰减系数越大，高频电磁波只能 存在于良导体的表面层内，称为趋肤效应存在于良导体的表面层内，称为趋肤效应 趋肤深度（趋肤深度（ ） ：电磁波进入良导体后，其振幅下降到表面处振幅的） ：电磁波进入良导体后，其振幅下降到表面处振幅的 1/e 时所传播的距离。即时所传播的距离。即 第六章第六章 均匀平面波的反射与透射均匀平面波的反射与透射 1. 反射系数 、透射系数 及驻波比 S 的定义。 定义分界面上的反射系数定义分界面上的反射系数 为反射波电场的振幅与入射波电场振幅之比、透射系数为反射波电场的