江西省萍乡市2020年高一数学竞赛试题（含解析）

2020年江西省萍乡市高一年级数学竞赛试卷第卷（共60分）一、填空题（每题10分，共80分.）1. 若是单位向量，且，则_【答案】0【解析】2. 函数的值域为_【答案】【解析】时，x-1时，1-x0, -1综上值域为故答案为点睛：分段函数求值域，先分段求，再求并集，注意的是指数函数都是大于0的3. 4个函数，图象的交点数共有_【答案】5故答案为54. 若，则_【答案】0.5. 已知，则_【答案】【解析】cos+cos+cos=sin+sin+sin=0，cos=coscos，sin=sinsin，=1，=1，整理得：2+2(coscos+sinsin)=1,即coscos+sinsin=，cos()= ，02，02=或.同理可得：cos()= ,解得：=或。cos()= ;解得：=或。02，=,=,=.故的值为.点睛：本题主要考查了同角平方关系的应用，解题的关键是要发现sin2+cos2=1，从而可得，的基本关系，但要注意出现多解时一定要三思而后行.6. 甲乙两人玩猜数学游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，称甲乙“心相近”，现任意两人玩这游戏，则他们心相近的概率为_【答案】【解析】7. 在中，角所对边分别为，若，则_【答案】【解析】又A为锐角，所以A=8. 将10个数1，2，3，9，10按任意顺序排列在一个圆圈上，设其中连续相邻的3数之和为，则的最大值不小于_【答案】18【解析】设10个在圆圈上的排列的数依次为其中于是=故中必有一个不小于18故答案为18二、解答题（共70分）9. 已知函数（）是偶函数，若对一切实数都成立，求实数的取值范围.【答案】【解析】试题分析：函数（）是偶函数得出，证明出当时，为增函数，根据单调性去掉f,得出，即得解试题解析：（）是偶函数，当时，得对一切都成立，所以，.于是设，所以，当时，为增函数.，于是，即，所以即对一切实数都成立.点睛：型如的题目肯定会用到函数的奇偶性，单调性，所以做题时从这两方面着手即可.10. 记表示不超过实数的最大整数，在数列中，（），证明：.【答案】见解析【解析】试题分析：由（）知，数列为正项递增数列.把化为，两边同除得，裂项相消求和即得解.试题解析：由（）知，数列为正项递增数列.又，所以，.化为，两边同除得.因此， 故11. 如图，定直线与定相离，为上任意一点，为的两条切线，为两切点，其垂足为点，交于点，证明：为定长.【答案】见解析【解析】试题分析：因为，由射影定理，得，因为，所以，四点共圆，由圆幂定理得结合两个等式即得解. 试题解析：连，设为，的交点，因为，由射影定理，得因为，所以，四点共圆.由圆幂定理，得所以，即（定值），所以，为定长.12. 有（）个整数：，满足，证明能被4整除.【答案】见解析【解析】试题分析：反证法来解决问题，若为奇数，由，得均为奇数推出矛盾，所以，中必有偶数，如果中仅有一个偶数，推出矛盾，所以中必至少有2个偶数，即得证试题解析：首先，为偶数，事实上，若为奇数，由，得均为奇数，而奇数个奇数和应为奇数，且不为0，这与矛盾，