初中奥数：相遇问题及解析

初中奥数：相遇问题及解析1.甲乙同时从东西两镇相向步行，在距离西镇20千米处相遇，相遇后两人继续前进，甲至西镇，乙至东镇后立即返回，两人又在距东镇15千米处相遇，求东西两镇的距离？ 2.快慢车同时从甲乙两站相对出发，6小时相遇，这时快车离乙站还有240千米，已知慢车从乙站到甲站需15小时，两车到站后，快车停车0.5小时，慢车停一小时返回，从第一次相遇到途中在相遇，经过多少小时？ 1.(没想到好的算术解法，先用方程做一下） 设两镇相距x千米 第一次相遇时，甲走了x-20千米，乙走了20千米 第二次相遇时，甲走了2x-15千米，一走了x+15千米 两人的速度比是一定的，那么在相同时间内的路程比也是一定的 (x-20)/20=(2x-15)/(x+15) x2-45x=0,x不可能为0 所以x=45千米 2.快车离乙站还有240千米，即慢车在6小时内走了240千米 慢车每小时走：240/6=40千米 两站相距：4015=600千米 快车6小时内走了600-240=360千米 所以快车每小时走：360/6=60千米 快车到达乙站需要：600/60=10小时 慢车到达甲站需要：600/40=15小时 等到慢车从甲站再次出发时， 快车已经离开乙站，走了15-10-0.5+1=5.5小时 走了5.560=330千米 此时两车相距600-330=270千米 两车相遇还需要270/(60+40)=2.7小时 所以两车从出发到第二次相遇一共经过： 10+0.5+5.5+2.7=18.7小时 从第一次相遇到途中再次相遇，经过：18.7-6=12.7小时考点：多次相遇问题 1.兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩，从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，他们第十次相遇时，妹妹还需走()米才能回到出发点 分析：第十次相遇，妹妹已经走了：3010（1.3+1.2）1.2=144（米）14430=4（圈）24（米）30-24=6（米）还要走6米回到出发点 解答：解：第十次相遇时妹妹已经走的路程： 3010（1.3+1.2）1.2， =3002.51.2， =144（米） 14430=4（圈）24（米） 30-24=6（米） 还要走6米回到出发点 故答案为6米 点评：此题属于多次相遇问题，关键在于先求出第十次相遇时妹妹已经走的路程 2.有人沿公路前进，对面来了一辆汽车，他问司机：“后面有自行车吗？”司机回答：“十分钟前我超过一辆自行车”，这人继续走了十分钟，遇到自行车，已知自行车速度是人步行速度的三倍，问汽车的速度是步行速度的（）倍 考点：多次相遇问题 分析：人遇见汽车的时候，离自行车的路程是：（汽车速度-自行车速度）10，这么长的路程要自行车和人合走了10分钟，即：（自行车+步行）10，等式：（汽车速度-自行车速度）10=（自行车+步行）10，即：汽车速度-自行车速度=自行车速度+步行速度汽车速度=2自行车速度+步行速度，又自行车的速度是步行的3倍，所以汽车速度是步行的7倍 解答：（汽车速度-自行车速度）10=（自行车+步行）10， 即：汽车速度-自行车速度=自行车速度+步行速度 汽车速度=2自行车速度+步行，又自行车的速度是步行的3倍， 所以汽车速度=（23+1）步行速度=步行速度7 故答案为：7 点评：解答此题的关键是要推出：汽车与自行车的速度差等于人与自行车的速度和1.甲、乙两个运动员分别从相距100米的直跑道两端同时相对出发，甲以每秒6.25米，乙以每秒3.75米的速度来回匀速跑步，他们共同跑了8分32秒，在这段时间内两人多次相遇（两人同时到达同一地点叫做相遇）他们最后一次相遇的地点离乙的起点有()米甲追上乙()次，甲与乙迎面相遇()次 分析：8分32秒=512（秒） 当两人共行1个单程时第1次迎面相遇，共行3个单程时第2次迎面相遇，共行2n-1个单程时第n次迎面相遇 因为共行1个单程需100（6.25+3.75）=10（秒），所以第n次相遇需10（2n-1）秒， 由10（2n-1）=510，解得n=26，即510秒时第26次迎面相遇 此时，乙共行3.75510=1912.5（米），离10个来回还差20010-1912.5=87.5（米），即最后一次相遇地点距乙的起点87.5米 类似的，当甲比乙多行1个单程时，甲第1次追上乙，多行3个单程时，甲第2次追上乙，多行2n-1个单程时，甲第n次追上乙因为多行1个单程需100（6.25-3.75）=40（秒），所以第n次追上乙需40（2n-1）秒当n=6时，40（2n-1）=440512；当n=7时，40（2n-1）=520512，所以在512秒内甲共追上乙6次 解答：解：当两人共行1个单程时第1次迎面相遇，共行3个单程时第2次迎面相遇，共行2n-1个单程时第n次迎面相遇 因为共行1个单程需100（6.25+3.75）=10（秒）， 8分32秒=512秒，（512-10）（102）25（次），所以25+1=26（次） 最后一次相遇地点距乙的起点： 20010-3.75510， =2000-1912.5， =87.5（米） 多行1个单程需100（6.25-3.75）=40（秒），所以第n次追上乙需40（2n-1）秒 当n=6时，40（2n-1）=440512；当n=7时，40（2n-1）=520512，所以在512秒内甲共追上乙6次 故答案为：87.5米；6次；26次 2.前进钢铁厂用两辆汽车从距工厂90千米的矿山运矿石，现有甲、乙两辆汽车，甲车自矿山，乙车自钢铁厂同时出发相向而行，速度分别为每小时40千米和50千米，到达目的地后立即返回，如此反复运行多次，如果不计装卸时间，且两车不作任何停留，则两车在第三次相遇时，距矿山多少千米？ 分析：在往返来回相遇问题中，第一次相遇两人合走完一个全程，以后每次再相遇，都合走完两个全程即：两人相遇时是在他们合走完1，3，5个全程时然后根据路程速度和=相遇时间解答即可 解答：解答：第三次相遇时两车的路程和为： 90+902+902， =90+180+180， =450（千米）； 第三次相遇时，两车所用的时间： 450（40+50）=5（小时）； 距矿山的距离为：405-290=20（千米）； 答：两车在第三次相遇时，距矿山20千米 点评：在多次相遇问题中，相遇次数n与全程之间的关系为：1+（n-1）2个全程=一共行驶的路程 3.王明从A城步行到B城，同时刘洋从B城骑车到A城，1.2小时后两人相遇相遇后继续前进，刘洋到A城立即返回，在第一次相遇后45分钟又追上了王明，两人再继续前进，当刘洋到达B城后立即折回两人第二次相遇后()小时第三次相遇 分析：由题意知道两人走完一个全程要用1.2小时从开始到第三次相遇，两人共走完了三个全程，故需3.6小时第一次相遇用了一小时，第二次相遇用了40分钟，那么第二次到第三次相遇所用的时间是：3.6小时-1.2小时-45分钟据此计算即可解答 解答：解：45分钟=0