河北省唐山市第二中学2020学年高一数学上学期期中试题

河北省唐山市第二中学2020学年高一数学上学期期中试题考试时间：120分钟 总分：150分 第卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1已知集合Ax|x2x60，集合Bx|x10，则（RA）B（）A（1，3）B（1，3C3，+）D（3，+）2已知函数f（x）（m2m1）是幂函数，且x（0，+）时，f（x）是递减的，则m的值为（）A1B2C1或2D33已知f（x）loga（x+1）1（a0，a1），则此函数恒过定点是（）A（1，0）B（0，1）C（0，1）D（1，1）4函数f（2x+1）的图象可由f（2x1）的图象经过怎样的变换得到（）A向左平移2个单位B向右平移2个单位C向左平移1个单位D向右平移1个单位5分段函数则满足f（x）1的x值为（）A0B3C0或3D6下列各组函数中，表示相同函数的是（）Af（x）x与g（x）Bf（x）|x|与g（x）Cf（x）与g（x）Df（x）x0与g（x）17已知，则（）AabcBacbCcabDcba8函数f（x）loga|x+1|在（1，0）上是增函数，则f（x）在（，1）上是（）A函数值由负到正且为增函数B函数值恒为正且为减函数C函数值由正到负且为减函数D没有单调性9已知函数f（x），则下列的图象错误的是（）Ayf（x1）的图象Byf（x） 的图象Cy|f（x）|的图象Dyf（|x|） 的图象10函数ylgx+x有零点的区间是（）A（1，2）B（）C（2，3）D（，0）11已知函数f（x）在（，+）上是增函数，则a的取值范围是（）Aa1Ba2C1a2D1a212已知函数f（x）（x+1）2，若存在实数a，使得f（x+a）2x4对任意的x2，t恒成立，则实数t的最大值为（）A10B8C6D4第卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分,共20分，答案填在卷答题卡上）13求函数y的定义域 14已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x0时，f（x）4x+1，写出分段函数f（x）的解析式 15已知f（x），则函数yf（f（x）+1的零点的个数是 ；16函数f（x）的定义域为A，若x1，x2A且f（x1）f（x2）时总有x1x2，则称f（x）为单函数例如，函数f（x）x+1（xR）是单函数下列命题：函数f（x）x22x（xR）是单函数；函数f（x）是单函数；若yf（x）为单函数，x1，x2A且x1x2，则f（x1）f（x2）；函数f（x）在定义域内某个区间D上具有单调性，则f（x）一定是单函数其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）三、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程，答案填在卷答题卡上）17计算：（1）；（2）（lg5）2（lg2）2+lg418已知集合A，Bx|（x1+m）（x1m）0（1）若m3，求AB；（2）若m0，AB，求m的取值范围19. 设f（x），其中实常数a1（1）求函数f（x）的定义域和值域（2）已知f（x）为奇函数，求a 20. 设函数f（x）log3（9x）log3（3x），且x9（1）若f（x）=6，求x的值；（2）求函数f（x）的最大值与最小值及与之对应的x的值21. 设为奇函数，a为常数（1）求证：f（x）是（1，+）上的增函数（2）若对于区间3，4上的每一个x值，不等式恒成立，求实数m取值范围22. 定义在R上的函数f（x）满足对于任意实数x，y都有f（x+y）f（x）+f（y），且当x0时，f（x）0，f（1）2（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）的单调性，并求当x3，3时，f（x）的最大值及最小值；（3）解关于x的不等式f（bx2）f（x）f（b2x）f（b）（b22）唐山二中2020学年度第一学期高一期中考试数学试卷考试时间：120分钟 总分：150分 第卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1-12：CACC CBBC DBDD二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分,共20分）13x|x1 14 153 16一选择题（共12小题）1已知集合Ax|x2x60，集合Bx|x10，则（RA）B（）A（1，3）B（1，3C3，+）D（3，+）【分析】先确定A，再求出RA，而后可求（RA）B【解答】解：Ax|2x3，RAx|x2或x3，（RA）Bx|x33，+）故选：C【点评】此题考查了交、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2已知函数f（x）（m2m1）是幂函数，且x（0，+）时，f（x）是递减的，则m的值为（）A1B2C1或2D3【分析】根据幂函数的定义求出m的值，代入检验即可【解答】解：由题意得：m2m11，解得：m2或m1，m2时，f（x）x3，递增，不合题意，m1时，f（x）x3，递减，符合题意，故选：A【点评】本题考查幂函数的定义，考查函数的单调性问题，是一道基础题3已知f（x）loga（x+1）1（a0，a1），则此函数恒过定点是（）A（1，0）B（0，1）C（0，1）D（1，1）【分析】令对数函数的真数为1，求得自变量的值即可求得答案【解答】解：由x+11得：x0，此时f（x）1，f（x）loga（x+1）1（a0，a1）恒过定点（0，1），故选：C【点评】本题考查对数函数的单调性与特殊点，令对数函数的真数为1，求得自变量的值是关键，属于中档题4函数f（2x+1）的图象可由f（2x1）的图象经过怎样的变换得到（）A向左平移2个单位B向右平移2个单位C向左平移1个单位D向右平移1个单位【分析】根据函数的图象的变换规律，把函数f（2x1）的图象向左平移1个单位可得函数f2（x+1）1f（2x+1）的图象，从而得出结论【解答】解：把函数f（2x1）的图象向左平移1个单位可得函数f2（x+1）1f（2x+1）的图象，故选：C【点评】本题主要考查函数的图象的变换规律的应用，属于基础题5分段函数则满足f（x）1的x值为（）A0B3C0或3D【分析】对x分类讨论，当x0时，2x1，当x0时，log3x1，分别求解，即可得到满足f（x）1的x值【解答】解：，当x0时，f（x）2x，f（x）1，2x1，x0；当x0时，f（x）log3x，f（x）1，log3x1，x3综合，满足f（x）1的x值为0或3故选：C【点评】本题考查了分段函数的解析式，分段函数的取值问题对于分段函数一般选用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题主要考查了根据函数值求变量的取值，解题的关键是判断该用哪段解析式进行求解属于基础题6下列各组函数中，表示相同函数的是（）Af（x）x与g（x）Bf（x）|x|与g（x）Cf（x）与g（x）Df（x）x0与g（x）1【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可【解答】解：Ag（x）x，函数的定义域为x|x0，两个函数的定义不相同，不是相同函数；Bg（x）|x|，两个函数的定义域和对应法则相同，是相同函数；C由得，得x1，由x210得x1或x1，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；Df（x）的定义域为x|x0，两个函数的定义域不相同，不是相同函数故选：B【点评】本题主要考查函数概念的应用，分别判断函数的定义域和对应法则是解决本题的关键7已知，则（）AabcBacbCcabDcba【分析】容易得出，从而可得出a，b，c的大小关系【解答】解：，acb故选：B【点评】考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义8函数f（x）loga|x+1|在（1，0）上是增函数，则f（x）在（，1）上是（）A函数值由负到正且为增函数B函数值恒为正且为减函数C函数值由正到负且为减函数D没有单调性【分析】由已知分析出外函数的单调性，进而可得f（x）在（，1）上单调性和符号【解答】解：内函数t|x+1|在（1，0）上是增函数，若函数f（x）loga|x+1|在（1，0）上是增函数，则外函数ylogat为增函数，内函数t|x+1|在（，1）上是减函数，故f（x）在（，1）上是减函数，又由f（2）0，故f（x）在（，1）上是函数值由正到负且为减函数，故选：C【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，熟练掌握复合函数单调性“同增异减”的原则，是解答的关键9已知函数f（x），则下列的图象错误的是（）Ayf（x1）的图象Byf（x） 的图象Cy|f（x）|的图象Dyf（|x|） 的图象【分析】先画出函数f（x）的图象，再根据函数的图象特征以及图象的变化规律，判断各个选项的正确性【解答】解：当1x0时，f（x）2x，表示一条线段，且线段经过（1，2）、（0，0）当0x1时，f（x），表示一段抛物线，如图所示：由于f（x1）的图象可由f（x）的图象向右平移一个单位得到，故A正确由于f（x）的图象可由f（x）的图象关于y轴对称后得到的，故B正确由于f（x）的值域为0，2，故f（x）|f（x）|，故|f（x）|的图象可与f（x）的图象完全相同，故C正确由于f（|x|）是偶函数，图象关于y轴对称，故当0x1时，它的图象和f（x）的图象相同，当1x0时的图象，只要把 f（x）在y轴右侧的图象关于y轴对称即可得到，且图象过原点，故D不正确【点评】本题主要考查函数的图象特征以及图象的变化规律，属于基础题10函数ylgx+x有零点的区间是（）A（1，2）B（）C（2，3）D（，0）【分析】先求函数的定义域，再利用函数的零点的判定定理求解【解答】解：函数f（x）lgx+x的定义域为（0，+），且在定义域（0，+）上连续；而f（0.1）1+0.10，f（1）0+10；故函数f（x）lgx+x的零点所在的区间是（0.1，1）故选：B【点评】本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题11已知函数f（x）在（，+）上是增函数，则a的取值范围是（）Aa1Ba2C1a2D1a2【分析】由分段函数的单调性可证，两段函数分别递增且要比较x1时函数值的大小【解答】解：f（x）在（，+）上是增函数，解可得，1a2，故选：D【点评】本题主要考查了分段函数的单调性的应用，解题的关键是要确定每段函数的单调性并且要注意在x1时两端函数的函数值的大小比较12已知函数f（x）（x+1）2，若存在实数a，使得f（x+a）2x4对任意的x2，t恒成立，则实数t的最大值为（）A10B8C6D4【分析】先由f（x）（x+1）2和f（x+a）2x4得（x+a+1）22x4，化简得（x+a）2+2a+50，令g（x）（x+a）2+2a+5，利用函数性质将恒成立问题转化为g（2）0且g（t）0，求解t的范围，最后求出最值【解答】解：f（x）（x+1）2，f（x+a）2x4，即为（x+a+1）22x4，化简（x+a）2+2a+50，设g（x）（x+a）2+2a+5，g（x）图象为开口向上的抛物线，若对任意的x2，t，g（x）0恒成立，只需函数在两个端点处的函数值非正即可，即g（2）a2+6a+90，配方得（a+3）20则a+30，a3 此时g（t）0即为g（t）（t3）210即1t31，解得2t4， 又t2，2t4， 则t的最大值为4故选：D【点评】恒成立问题的转化，本题利用了二次函数的图象及性质求解，是一种重要的方法二填空题（共4小题）13函数y的定义域 【解答】x|x1【点评】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题目14已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x0时，f（x）4x+1，写出分段函数f（x）的解析式【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论【解答】解：f（x）是定义域为R的奇函数，f（0）0，若x0，则x0，即当x0时，f（x）4x+1f（x），即f（x）4x1，则；故答案为：；【点评】本题主要考查函数解析式的求解，利用函数奇偶性的对称性是解决本题的关键15已知f（x），则函数yf（f（x）+1的零点的个数是3；【分析】画出函数f（x）的图象，代助图象分析函数零点的个数，进而可得答案【解答】解：函数f（x），的图象如下图所示：结合图象分析：yff（x）+10，则ff（x）1，则f（x）或f（x）；对于f（x），存在两个零点；对于f（x），存在1个零点，综上所述，函数yff（x）+1的零点个数为3个，故答案为：3【点评】本题考查的知识点是函数的零点，分段函数的图象，对数函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，难度中档16函数f（x）的定义域为A，若x1，x2A且f（x1）f（x2）时总有x1x2，则称f（x）为单函数例如，函数f（x）x+1（xR）是单函数下列命题：函数f（x）x22x（xR）是单函数；函数f（x）是单函数；若yf（x）为单函数，x1，x2A且x1x2，则f（x1）f（x2）；函数f（x）在定义域内某个区间D上具有单调性，则f（x）一定是单函数其中的真命题是（写出所有真命题的编号）【分析】根据已知中“单函数”的定义，可得函数f（x）为单函数时，对任意x1x2，均有f（x1）f（x2）成立，由此举出反例可判断，根据定义可判断，进而得到答案【解答】解：中函数f（x）x22x（xR），当x0或x2时，f（x）0，故x1，x2A且f（x1）f（x2）时，有x1x2，不满足“单函数”的定义；中函数f（x），当x0或x4时，f（x）2，故x1，x2A且f（x1）f（x2）时，有x1x2，不满足“单函数”的定义；由“单函数”的定义可得f（x1）f（x2）时总有x1x2，故其逆否命题：x1x2，则f（x1）f（x2）成立，故为真命题中函数f（x）在定义域内某个区间D上具有单调性，但在整个定义域上有增有减时，可能会存在x1x2，使x1x2，从而不满足“单函数”的定义；综上真命题只有故答案为：【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了新定义“单函数”，正确理解“单函数”的定义是解答的关键三解答题（70分）17计算：（10分）（1）；（2）（lg5）2（lg2）2+lg4【解答】解：（1）原式2+451；（2）原式（lg5+lg2）（lg5lg2）+lg4lg5lg2+2lg2lg5+lg2118.（12分）已知集合A，Bx|（x1+m）（x1m）0（1）若m3，求AB；（2）若m0，AB，求m的取值范围【解答】解：（1）由6+5xx20，解得1x6，Ax|1x6，当m3时，集合Bx|2x4，则ABx|1x4；（2）m0，Bx|（x1+m）（x1m）0x|1mx1+m，且AB，解得：m519. （12分）设f（x），其中实常数a1（1）求函数f（x）的定义域和值域（2）已知f（x）为奇函数，求a 【解答】解：（1）1+2x0恒成立，函数f（x）的定义域为（，+），f（x）1，a1，a+101+2x1，01则0a+1，11a，即函数的值域（1，a） 8fen（2）f（x），f（x）f（x），即1+a2xa+2x，此时a1，此时函数为奇函数 4fen 20. （12分）设函数f（x）log3（9x）log3（3x），且x9（1）（1）若f（x）=6，求x的值；（2）求函数f（x）的最大值与最小值及与之对应的x的值【解答】解：（1）函数f（x）log3（9x）log3（3x）6，且x9；x=3 4fen（2）令tlog3x，函数f（x）log3（9x）log3（3x）（log3x+2）（log3x+1）+3log3x+2t2+3t+2，又x9，2log3x2，2t2；令g（t）t2+3t+2，t2，2； 4fen当t时，g（t）min，即log3x，x，f（x）min，此时x； 2fen当t2时，g（t）maxg（2）12，即log3x2，x9，f（x）max12，此时x92fen21. （12分）设为奇函数，a为常数（1）求证：f（x）是（1，+）上的增函数（2）若对于区间3，4上的每一个x值，不等式恒成立，求实数m取值范围【解答】解：（1）f（x）是奇函数，定义域关于原点对称，由0，得（x1）（1ax）0令（x1）（1ax）0，得x11，x2，1，解得a1f（x），令u（x）1+，设任意x1x2，且x1，x2（1，+），则u（x1）u（x2），1x1x2，x110，x210，x2x10，u（x1）u（x2）0，即u（x1）u（x2）u（x）1+（x1）是减函数，又yu为减函数，f（x）在（1，+）上为增函数 6fen（2）由题意知（）xm，x（3，4）时恒成立，令g（x）（）x，x（3，4），由（2）知在3，4上为