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文档简介

【例1】设系统的微分方程为:,求系统的状态空间表达式。,解选取,为状态变量，即,则由系统的微分方程得状态空间表达式,即,其向量-矩阵方程形式的状态空间表达式为,【例2】已知系统传递函数为,试求其能控标准型、能观标准型状态空间表达式。,解系统的能控标准型实现为,式中,由式(1-128)得系统的能观标准型实现为,式中,【例3】已知,求,运用拉普拉斯变换法求解,【例4】线性定常系统齐次状态方程为，其中A为22的常数阵。,已知当时，,状态方程的解；,当,时，,状态方程的解，,求系统状态转移矩阵及系统矩阵A,解对应初始状态，自由运动的解为：,由题意，得,即,则,例5：,【例6】动态系统的状态方程如下，试判断其能控性。,解,故,它是一个三角形矩阵，斜对角线元素均为1，不论取何值，其秩为3，即=3=n,故系统总是能控的。,【例7】电路如图3-7所示。,图3-7,其中,u为输入,i为输出,流经电感的电流和电容上的电压为状态变量，分析系统的能控性。,解,令,整理以上三式得向量矩阵形式的系统状态空间表达式为,当满足时，满秩，系统能控，否则不能控。,例8考察如下系统的能控性。,(1)系统能控,(2)系统不能控,(3)系统能控,(4)系统不能控,图3-8是系统（2）的状态变量图。,图3-8,（5）系统能控,（6）系统不能控,（7）系统能控,【例9】电路如图3-9所示,u为输入，电阻R0上的电压y为输出,i1、i2为状态变量,分析系统的能观测性。,图3-9,解,令,可导出电路的状态空间表达式为,能观测性判别矩阵,可见,故系统是不能观测的。,【例10】判断下列系统的能观测性,（1）系统能观测,（2）系统不能观测,（3）系统能观测,（4）系统不能观测,【例11】试将下列状态空间表达式变换成能控标准型,并求系统的传递函数,解变换前系统能控判别矩阵,因为,故系统是能控的，可化为能控标准型。,又因为系统的特征多项式为,故,引入,其中非奇异变换阵由式(3-105)得,则,也可根据式(3-114)先求变换阵的逆矩阵。由式(3-115)得,由式(3-114)得的逆矩阵为,则,变换后所得能控标准型为,其中,由能控标准型,据式(3-116)可直接写出系统的传递函数,【例12】已知非线性系统状态方程为,试分析其平衡状态的稳定性。,解由系统平衡状态的方程,解出唯一平衡状态,。,选取标准二次型为李亚普诺夫函数，即,该函数是正定的。沿任意状态轨迹对时间的导数为,将系统状态方程代入上式,得,显然,有;且当时,故负定。,因
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