2020届高三数学考前解答题专练：数列

2020届高三考前解答题专练:数列1、设首项为的正项数列的前项和为,为非零常数,已知对任意正整数,总成立.（）求证：数列是等比数列；（）若不等的正整数成等差数列，试比较与的大小；（）若不等的正整数成等比数列，试比较与的大小.()证:因为对任意正整数，总成立,令，得,则令，得 (1) , 从而 (2),(2)(1)得,综上得,所以数列是等比数列（）正整数成等差数列，则,所以,则当时，当时，当时，（）正整数成等比数列，则,则,所以，当,即时，当,即时，当,即时，2、已知数列中，当且有：。()设数列满足，证明散列为等比数列，并求数列的通项公式；()记，规定，求数列的前项和。解：()由已知条件，得则 (2分)即是首项为，公比为的等比数列 (4分)两边同除以，得 (6分)是以为首项，为公差的等差数列 (8分)() 令，则 (9分) (10分)令 则 (12分)一，得 (14分)3、已知各项均不为零的数列an的前n项和为Sn，且满足a1c，2Snanan1r （1）若r6，数列an能否成为等差数列？若能，求满足的条件；若不能，请说明理由 （2）设， 若rc4，求证：对于一切nN*，不等式恒成立解：（1）n1时，2a1a1a2r，a1c0，2cca2r， （1分）n2时，2Snanan1r， 2Sn1an1anr，得2anan(an1an1)an0，an1an12 （ 3分）则a1，a3，a5，a2n1， 成公差为2的等差数列，a2n1a12(n1)a2，a4，a6，a2n， 成公差为2的等差数列， a2na22(n1)要使an为等差数列，当且仅当a2a11即rcc2 （ 4分）r6，c2c60，c2或3当c2，不合题意，舍去.当且仅当时，数列为等差数列 （5分）（2）a12(n1)a22(n1)a1a22a22(n1)（a12n）a2a12() （8分） （9分） （10分）（11分）rc4，4，201 （13分）且1 （14分）又rc4，则011（15分）对于一切nN*，不等式恒成立（16分）4、在数列中，.()求证：数列为等差数列；()设数列满足，若对一切且恒成立，求实数的取值范围.解:() 由变形得：即所以4分故数列是以为首项，为公差的等差数列5分()由()得6分所以7分设8分则两式相除得：10分所以是关于的单调递增函数，则故实数的取值范围是12分5、设数列 （1）求20200507 （2）求的表达式。解：（1）当时，由已知得同理，可解得 4分 （2）解法一：由题设当代入上式，得 （*） 6分由（1）可得由（*）式可得由此猜想： 8分证明：当时，结论成立。假设当时结论成立，即那么，由（*）得所以当时结论也成立，根据和可知，对所有正整数n都成立。因 12分解法二：由题设当代入上式，得 6分-1的等差数列， 12分6、是首项的等比数列，其前项和为Sn，且成等比数列。 （1）求数列的通项公式； （2）若，设为数列的前项和，求证：解：设数列的公比为 （1）若，则显然不成等差数列，与题设条件矛盾，所以11分由成等差数列，得化简得4分5分 （2）解法1：6分当2时，10分=1+12分解法2：6分当2时，设这里，为待定常数。则当n2时，易知数列为单调递增数列，所以可见，n2时，于是，n2时，有10分=1+12分7、等差数列的前项和为求数列的通项与前项和；设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列解：（）由已知得， （3分）故 （5分）（）由（）得 （6分）假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则即， （8分） ，得，与矛盾 （10分） 所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列 （12分）评析：（1）求解等差数列与等比数列的有关问题，定义、公式和性质是主要工具，要注意抓住基本量首项和公差（公比），方程思想、化归思想和运算能力是考查的重点； （2）正面求解，直接证明难以突破时，可以考虑从反面入手，运用正难则反的思想来处理，反证法就是从反面入手的一种重要的推理方法，一般地，以否定的形式出现的数学命题，我们常用反证法来实现证明。8、设数列满足，令. 试判断数列是否为等差数列？并求数列的通项公式；令，是否存在实数，使得不等式对一切都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由 比较与的大小由已知得, 即, 2分所以,即, 又,所以数列为等差数列，通项公式为. 6分(2)令，由，得 所以，数列为单调递减数列， 8分所以数列的最大项为，若不等式对一切都成立，只需，解得，又，所以的取值范围为 12分（3）问题可转化为比较与的大小设函数，所以当时，；当时，所以在上为增函数；在上为减函数当时，显然有，当时，即，所以，即所以综上：当时，即；当时，即 9、设an是等差数列，其前n项的和为Sn.（1）求证：数列为等差数列；（2）设an各项为正数，a1=，a1a2，若存在互异正整数m，n，p满足：m+p=2n；. 求集合的元素个数；（3）设bn=(a为常数，a0，a1，a1a2)，数列bn前n项和为Tn. 对于正整数c，d，e，f，若cdem时，. 12分于是. 14分而，故. 16分（注：第（3）问只写出正确结论的，给1分）10、将数列中的所有项按第一行排3项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： 记表中的第一列数， ，构成数列 （）设，求的值；（）若，对于任何，都有，且求数列 的通项公式； （）对于（）中的数列，若上表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为的等比数列，且，求上表中第（）行所有项的和解（）由题意，6分（）解法1：由且知，因此，可猜测（） 4分将，代入原式左端得左端即原式成立，故为数列的通项.3分用数学归纳法证明得3分解法2：由 ，令得，且即，