2020届高三数学第一轮复习《数列求和》讲义

序列之和要点1.算术级数的前N位和序号=_=_ _ NA1 D _ _，推导方法：_ _逆序加法_ _ _ _ _；几何级数的顶端N和Sn=na1演绎方法：乘以公比，减去错位。2.公共级数的前N项之和(1)1+2+3+n=_ _ _ _ _ _ _ _；(2)2+4+6+2n=_ _ N2+n _ _ _ _ _ _ _ _；(3)1+3+5+(2n-1)=_ N2 _ _ _ _；(4)12+22+32+N2=_ _ _ _ _ _ _ _；(5)13+23+33+n3=_ _ _2 _ _ _ _ _ _ _ _ _。3.数列求和的常用方法(1)公式法：一种可以直接使用等差或等比数列求和公式的方法。(2)通过将一个序列分成几个简单序列(算术、等比例、常数序列)然后分别求和来求和。(3)组合求和法：将一个序列的两个或多个相邻项组合成一组，以获得一个更容易求和的新序列的方法。(4)分裂项消去法：把一个序列的一般项分成两个项之差的形式，加上和消去中间项，留下有限项再求和的方法。(5)偏移减法：对数字序列中的每一项进行相同的变换，然后将新的数字序列偏移一个位置，并减去原始数字序列中的项，这是基于推导几何级数求和公式的方法。如果是算术差或几何级数，这种方法可以用来求出序列的上一段的和。(6)逆序求和法：即遵循推导等差数列求和公式的方法(1)一般序列求和应以一般项开始。如果没有通项，先找出通项，然后通过观察数列通项公式的特点和规律，判断求和类型，找到合适的求和方法。在求和过程中，应准确判断项数。用字母对序列求和通常伴随着分类讨论。(2)解决不等差和几何级数的方法主要有两种：(1)变换的思想，也就是说，一般的数字序列被设法变换成算术或几何级数，这通常是通过一般项的分解或错位减法来实现的。(2)不能转换成算术或几何级数的序列通常通过分裂相消除、位错相减法、反相加法等来求和。4.项目移除的通用公式。基本自测1.如果序列an的通项公式为an=2n 2n-1，则序列an的前n项之和为()A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1C.2n+1+n2-2 D.2n+n-22.已知an是第一项为1的几何级数，Sn是an的前n项之和，9s3=S6，则序列的前5项之和为()a .或5b .或5c.d .3.众所周知，几何级数an的每个项都是不等于1的正数。如果序列bn满足BN=Lgan，B3=18，B6=12，则序列bn的前N项之和的最大值等于()a126 b . 130 c . 132d . 1344.已知an是公差为-2的算术级数，a7是a3和a9的等比中间项，Sn是an的前N项之和，nN*，则S10的值为()A.-公元前110年-公元90年5.如果序列an满足a1，A2-A1，A3-A2，安-安-1，是一个几何级数，第一项为1，公比为3，然后An等于()A.学士学位6.系列1的前n项和sn=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _，7.已知序列an的通项公式是an=，其中前n项和sn=，则项数n=_ _ 6 _ _ _ _ _ _。8.如果已知系列an中A1=-60，An 1=An 3，则该系列前30项的绝对值之和为_765_。9.假设序列an是公差大于0的算术级数，a3和a5分别是方程X2-14x 45=0的两个实根。那么序列an的通项公式是an=_ .2n-1 _ _；如果bn=，则为系列bn的前n项和TN=_ _ _ _ 2-_ _ _。示例分析：问题类型一：分组转换和求和例1求和：(1)Sn=；(2)Sn=2+2+2。解决方案(1)由于安=否，Sn=+=(1+2+3+n)+=+=-+1。(2)当x=1时，sn=4n。当x1时，sn=2+2+2=+=(x2+x4+x2n)+2n+=+2n=+2n。Sn=探索和改进某个级数的求和，就是把这个级数分解成几个可以求和的新级数的和或差，从而得到原来级数的和。这需要分析和研究该系列的一般术语的结构特征，以及它们之间的关系(2)总和sn=1.解和公式的k项是ak=1+=2。Sn=2+=2(1+1+1-(+)=2=+2n-2。问题2:偏移减法求和示例2将序列an设置为符合a1 3a2 32a3 3n-1an=，nN*。(1)找到序列an的一般项；(2)设置bn=，并找到序列bn的前n项和Sn。溶液(1)a1 3a 2 32 a33n-1an=，n2时的，a1 3a2 32a3 3n-2an-1=2- 3n-1an=， an=。在中，设n=1，得到a1=，适用于an=，an=.(2)bn=,bn=n3n.Sn=3+232+333+n3n,3Sn=32+233+334+n3n+1.-得到2sn=n3n 1-(3 32 33.3n)，即2sn=n3n 1，Sn=+.变体训练2 序列an的前n项的和已知为Sn，并且sn n=2an (n n *)。(1)证明序列an 1是几何级数，并找到序列an的通式；(2)如果bn=(2n 1) an 2n 1，序列bn的前n项之和为t n。找到满足不等式2 013的n的最小值。(1)证明了因为sn n=2an，即Sn+n=2an-n，所以sn-1=2an-1-(n-1) (n 2，nN*)。两个公式的相减得到an=2an-1 1。所以1=2 (an-1 1) (n 2，nN*)，所以序列an 1是几何级数。因为sn n=2an，让n=1，得到a1=1。A1 1=2，所以an 1=2n，所以an+1=2n-1。(2)因为bn=(2n 1)2n 1，所以bn=(2n 1) 2n。所以总氮=32 522 723.(2n-1) 2n-1 (2n 1) 2n，2Tn=322+523+(2n-1)2n+(2n+1)2n+1，(1)-，get-TN=32 2(22 232n)-(2n 1)2n 1=6 2-(2n 1)2n 1=-2 2n 2-(2n 1)2n 1=-2-(2n-1)2n+1。所以TN=2 (2n-1) 2n 1。如果2 013，2 013是2n 12 013。由于210=1 024，211=2 048，n 1 11，即n10，满足不等式2 013的n的最小值为10。(2)已知序列an的前N项之和为Sn，A1=1，An 1=2Sn 1 (n n *)，算术级数bn中的bn0 (nN*)，B1 B2 B3=15，A1 B1、A2 B2、A3 B3为几何级数。(1)找出序列an，bn的通项公式；(2)找出序列anbn的前n项和t n。解(1)a1=1，an 1=2sn 1 (n n *)，an=2Sn-1+1 (nN*，n1)，an+1-an=2(Sn-Sn-1)，也就是说，1-an=2an，8756；an 1=3an (n n *，n 1)。而a2=2 a1=3， a2=3a1。序列an是一个几何级数，第一项为1，公比为3， an=3n-1 (n n *)。a1=1,a2=3,a3=9，在算术级数bn中，B1 B2 B3=15，b2=5.A1 B1、A2 B2、A3 B3也是几何级数。如果算术级数bn的容差是D，则有(A1 B1) (A3 B3)=(A2 B2) 2。 (1 5-d) (9 5 d)=64，结果d=-10或d=2，bn0(nn *n *)，下降D=-10，取D=2，b1=3,bn=2n+1 (nN*)。(2)总氮=31 53 732.(2n-1) 3n-2 (2n 1) 3n-1，由(1)可知3tn=33+532+733+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n, -获得-2tn=31 23 232 23323n-1-(2n 1)3n=3 2(3 32 333n-1)-(2n 1)3n=3+2-(2n+1)3n=3n-(2n+1)3n=-2n3n。Tn=n3n.(3)在算术级数中，前段所指的总和符合条件。(一)找到序列的通项公式；(二)记住，找出序列的前一段的和。解决方法：(1)将算术级数的容差设置为，从：所以，也就是说，所以。(二)顺便得到。所以，当时，当时，那是。问题类型的三个分割项目的总和通过阶段消除法消除。例3在已知序列an中，a1=1，当n2时，其前n项和Sn满足s=an。(1)找到Sn的表达式；(2)设置bn=，并找到bn的前n项和t n。解(1)s=an，an=sn-sn-1 (n 2)，s=(sn-sn-1)，即，2sn-1sn=sn-1-sn，根据主题sn-1sn 0，(1)将公式的两边除以sn-1sn，得到-=2；序列是算术级数，第一项=1，公差为2。=1+2(n-1)=2n-1,Sn=.(2)和bn=，Tn=b1+b2+bn=+=。为了改进分裂项求和法的使用，我们应该注意当正负项取消时，哪些项被删除，哪些项被保留。我们不能遗漏未被淘汰的项目。未被淘汰的项目具有前后对称的特点。从本质上说，这种方法的原因和目的是使正项和负项取消。变体训练3已知序列an的前n项的和是Sn，a1=1，an 1=sn (n=1，2，3，)。(1)找到序列an的通式；(2)使BN=，TN=(1)解来自已知(n2)以获得1=an (n 2)。数列an是以a2为第一项和公比的几何级数。A2=S1=A1=，an=a2n-2=n-2 (n2)。an=(2)证明bn=n=-Tn=+=+=1-=。(2)正项序列的前n项之和是Sn，并且(1)找到序列的通项公式；(2)设立解决方案(1)=11) (1)-2，获取也就是和。因此，该序列是第一项为1且容差为2的算术级数。(2)问题式四逆序求和法例4。(1)假设用教科书中推导等差数列和公式的方法，可以得到的值是A.学士学位解决方案：因为，原来的公式选项a问题类型五和总和例5:数列的上一段之和满足：其中，(1)验证：数列为几何级数；(ii)设置序列的公共比率以满足通式。记录和核实：解决方案(一)当时，(1)、(2)(2)- get:()此外，我们可以理解，第一项是1，男性比例的几何级数。()、然后()变体培训5的价值是公元前2525年，公元前5050年，公元10100年，公元20200年解答：原公式，选择b例6。一个序列的一般术语的前面各段的总和是。(1)寻求；(2)找出序列前面段落的总和。解决方案： (1)由于，因此,因此()(2)减去这两种类型因此.顺序求和练习(1)1.数列的通项公式是，如果它前面的项之和是10，则项数是公元前11年，公元120年，公元121年解决方案：然后通过，获得，选择c2.如果序列的一般项为，则序列的上一段的和为A.学士学位解决方案：然后选项a3.如果已知序列的前面段落之和为，则值为公元前65年，公元前67年，公元61年，56年解决方案：通过，通过，原公式，选择b4.序列的上一段的总和是A.学士学位分析：替代测试，因为，因此，选择a5.那么，按几何级数A.学士学位分析：是的，那么，所以原来的公式，选择d6.数列通项公式，前n项之和。,7.如果数列满足，则数列的通项公式为_ _ _。8.在系列中，然后_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。解决方法：当数字为奇数时；当数字是偶数时，9.在、系列中，该系列前2020项的总和是_ _ _ _ _ _。解决方案：从主题中，我们可以看到，然后10.已知的顺序是算术级数，前面段落的和是(一)找到数列的通项公式；(二)求和：解决方法：(1)根据问题的含义，将算术级数的容差设置为D。该序列的通式为解决办法：=11.将序列的前N项之和设置为几何级数，并且(一)找到序号之和的通式；(二)设置为查找序列前面段落的总和。解决方法：(1):当时，因此，an的通式是，即公差的算术级数让bn有一个通式因此