2020年四川省雅安市高三数学第三次诊断性考试理科试题

雅安市2020年高三第三次诊断性考试理科数学试题本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第卷1至2页。第卷3至8页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。3本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径一、选择题：1、设全集，集合，集合，则=（ ）A、 B、 C、 D2、点在直线的（ ）A、上方 B、下方 C、线上 D、位置视而定3、若，且不等式的解集为，则函数的图象为（ ） 4、函数，若对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、5、已知：，：，则是的（ ）A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件6、已知点，过点的直线与抛物线交于另外两点B、C，那么 是（ ）A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、锐角或钝角三角形7、已知向量，（），若，则数列的通项等于（ ）A、 B、 C、 D、8、已知，则的值为（ ）A、 B、 C、 D、9、在正方体中，与所成角为60的棱和面对角线共有（ ）A、4条 B、5条 C、8条 D、9条10、等差数列的前项和为，则（ ）A、2020 B、2020 C、2020 D、202011、若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ）A、15 B、16 C、 D、12、从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个号码中任意抽取3个号码，则所抽取的3个号码中，仅有两个号码是连续整数的概率为（ ）A、 B、 C、 D、第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。13、数的模长是 。14、知的最小值为，则的展开式中的常数项是 （数字作答）15、平面直角坐标系中，已知平面区域，则平面区域B的面积为 。16、上面四个图中，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则，是异面直线的序号有 。三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17、（12分）已知向量，其中为坐标原点，且。（1）若，求的值；（2）若，求的面积。18、(12分)某公司开展摸奖游戏，一个口袋中装有个红球（）和4个白球，一次从中摸出两个球，两个球的颜色不同即为中奖(1)试用表示一次摸奖中奖的概率；(2)若，求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有两次中奖的概率；(3)若三次摸奖(每次摸奖后放回)中奖的次数的数学期望为，试求的值19、(12分)如图两个边长为2的正方形和所在平面互相垂直，M、N分别是、上的点，且M、N不重合。（1）求证：；（2）当M、N是、中点时，求A到平面距离。 20、(12分)如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差(1)设数列是公方差为的等方差数列，求和（，）的关系式；(2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列；(3)设数列是首项为2，公方差为2的等方差数列，若将，这种顺序的排列作为某种密码，求这种密码的个数21、(12分)设，为直角坐标系中的单位向量，。（1）求动点的轨迹C的方程；（2）过点作直线与曲线交于A、B两点，若，是否存在直线使得为矩形?若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由22、(14分)已知函数在处取得极值（1）求函数的解析式；（2）求证：对于区间上任意两个自变量的值，都有；（3）若过点（）可作曲线的三条切线，求实数的取值范围。雅安市2020年高三第三次诊断性考试理科数学参考解答及评分意见一、选择题 1、D 2、A 3、B 4、D 5、B 6、C 7、C 8、B 9、C 10、C11、A 12、A二、填空题 13、 14、 15、 16、（3）三、解答题 17、(12分)解：（1） (1分) (2分)即 (5分) (6分) (7分)（2）， (8分) (9分)(11分)(12分)18、（12分）解：（1）由题意一次摸奖中奖的概率（）(4分)（2）由题意知已知事件为独立重复事件，且一次摸奖中奖的概率(9分)则恰有两次中奖的概率(8分)（3）由题意知已知事件为独立重复事件，则，(10分)即得(12分)19、(12分)解：(1)证明：连接(1分)平面是在平面的射影(2分)又(4分)（2）建立以D为原点，为轴空间直角坐标系，因M、N是， 中点则 (6分) 得平面的法向量为 令（）则(10分)点A到平面的距离(12分)注：若用等积法求出正确也类似给分20、(12分) （1）解：由等方差数列的定义可知：（，）(3分)（2）证法一：是等差数列，设公差为，则又是等方差数列，(5分)即(6分)，即是常数列(7分)证法二：是等差数列，设公差为，则又是等方差数列，设公方差为，则(5分)代人得，同理有， 两式相减得：即(6分)，即是常数列(7分)证法三：(接证法二，)由、得出：若，则是常数列(5分若，则是常数，矛盾(6分)是常数列(7分)（3）依题意，（，），或，(10分)即该密码的第一个数确定的方法数是1，其余每个数都有“正”或“负”两种确定方法，当每个数确定下来时，密码就确定了，即确定密码的方法数是种，故，这种密码共512种(12分)21、(12分)解：（1），动点到定点、的距离之和为8(3分)曲线C的轨迹方裎为(5分)(2)直线过，若是轴，则A、B是椭圆的顶点。与重合，与为矩形矛盾。直线的斜率存在 (6分)设：，由得恒成立由韦达定理得，是平行四边形(8分)若存在，使它为矩形，则即(9分)即，(11分)所求直线的方程为(12分)22、(14分) 解：（），依题意，(1分)即，解得，(3分)()证明：，当时，故在区间上为减函数，(5分)对于区间上任意两个自变量的值，都有(6分)（），曲线方程为，点不在曲线上 (7分)设切点为，则点的坐标满足(8