2020年全国高考数学第二轮复习 选修4—1 几何证明选讲 理

选修41几何证明选讲真题试做1(2020北京高考，理5)如图，ACB90，CDAB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()ACECBADDBBCECBADABCADABCD2 DCEEBCD22(2020天津高考，理13)如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF3，FB1，EF，则线段CD的长为_3(2020课标全国高考，理22)如图，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点若CFAB，证明：(1)CDBC；(2)BCDGBD.考向分析从近几年的高考情况看，本部分内容主要有两大考点，一是会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及其性质定理；二是会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理等在高考中常以圆为背景，主要考查最基本、最重要的内容，试题多以填空题、解答题的形式呈现，试题难度属中低档预计在今后高考中，几何证明选讲主要考查最基本、最重要的内容，如相似三角形，圆的切线、弦切角，圆内接四边形的性质与判定，与圆有关的比例线段等，试题难度中等另外，对平行线等分线段定理及平行线分线段成比例定理、直角三角形的射影定理、切线长定理等内容的考查，也应引起足够的重视热点例析热点一相似三角形问题【例】如图，点P是O的直径CB的延长线上一点，PA和O相切于点A，若PA=15，PB=5.(1)求tanABC的值；(2)若弦AD使BAD=P，求AD的长规律方法在求线段的长度或计算比例线段的比值时，应注意的问题：(1)应先寻找所求线段或比例线段所在的两个三角形(2)判断寻找的两个三角形是否具备相似的条件(3)如果条件不能直接找出时，可巧添辅助线(4)如果有平行线时可应用平行线分线段成比例定理加以解决变式训练1如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作一直线AP垂直于直线OM，垂足为P.(1)证明OMOP=OA2；(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点，过B点的切线交直线ON于K，证明OKM90.热点二有关圆的切线、弦切角问题【例】如图，已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)ACEBCD；(2)BC2BECD.规律方法与圆的切线有关的几何证明问题处理思路：(1)若两圆相切，往往需要添加两圆的公切线，转化为弦切角与圆心角、圆周角之间的关系(2)在利用圆的切线、弦切角解题时，应特别注意圆周角、圆心角与弦切角的特殊关系变式训练2如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1r2)圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)求证：ABAC为定值热点三圆内接四边形的判定与性质【例】如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PB=1，PD=3，则的值为_.规律方法有关圆内接四边形问题的处理思路：(1)圆内接四边形(亦即四点共圆)的判定与性质，在近几年高考中常有考查，处理此类问题的关键是掌握对角的互补关系，同边所形成的弦、角的等量关系以及外角与其内对角的相等关系等(2)通常情况下先把圆内接四边形问题转化为圆周角、圆心角、圆内角、圆外角、弦切角以及圆内接四边形的对角等问题，再利用题设条件来解决问题(3)值得注意的有，在平面几何中求角的大小，经常考虑借助三角形内角和定理及其推论；在圆中求角的大小常常借助与圆有关的角的定理来完成变式训练3如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且ECED.(1)证明：CDAB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EFEG，证明：A，B，G，F四点共圆热点四有关与圆相关的比例线段问题【例】如图，在ABC中，C=90，BE是CBD的角平分线，DEBE交AB于D，O是BDE的外接圆(1)求证：AC是O的切线；(2)如果AD=6，求BC的长规律方法与圆有关的比例线段问题的处理思路：解决与圆有关的比例线段问题，常常结合圆的切割线定理、割线定理、相交弦定理等来进行分析，当然，在解题过程中善于发现、构造相似三角形，寻找平行线截线段成比例等也是解决问题的关键环节变式训练4如图，已知O的割线PAB交O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA3，AB4，PO5，则O的半径为_1如图，ABCD中，N是AB延长线上一点，的值等于()A B1 C D2(原创题)如图，矩形ABCD中，DEAC于点E，则图中与ABC相似的三角形有()A1个 B2个 C3个 D4个3(2020北京丰台区3月模拟，12)如图所示，RtABC内接于圆，ABC60，PA是圆的切线，A为切点，PB交AC于点E，交圆于点D.若PAAE，PD，BD3，则AP_，AC_.4(2020湖北华中师大一附中5月模拟，15)如图所示，圆O的直径为6，C为圆周上一点，BC3，过点C作圆的切线l，过点A作l的垂线AD，垂足为D，则CD_.5如图，已知RtABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm,4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则_.6(2020江苏镇江5月模拟，21)如图，O的半径OB垂直于直径AC，D为AO上一点，BD的延长线交O于点E，过E点的圆的切线交CA的延长线于P.求证：PD2PAPC.7(2020吉林长春实验中学模拟，22)如图，在ABC中，ABAC，过点A的直线与ABC的外接圆交于点P，交BC的延长线于点D.(1)求证：；(2)若AC3，求APAD的值参考答案命题调研明晰考向真题试做1A23证明：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DEBC.又已知CFAB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CFBDAD.而CFAD，连接AF，所以ADCF是平行四边形，故CDAF.因为CFAB，所以BCAF，故CDBC.(2)因为FGBC，故GBCF.由(1)可知BDCF，所以GBBD.而DGBEFCDBC，故BCDGBD.精要例析聚焦热点热点例析【例1】解：(1)连接AC，BC为O的直径，BAC90.又PA为切线，BAPC.又PP，PABPCA.3.在RtABC中，tanABC3.(2)由切割线定理，得PA2PBPC，即PA2PB(PBBC)又PA15，PB5，BC40.设ABx，则AC3x.由勾股定理，得AC2AB2BC2，即x2(3x)2402，得x4(舍去负根)连接BD，在PAB和ADB中，PABD，PBAD，PABADB.，AD12.【变式训练1】证明：(1)因为MA是圆O的切线，所以OAAM.又因为APOM，在RtOAM中，由射影定理，知OA2OMOP.(2)因为BK是圆O的切线，BNOK，同(1)，有OB2ONOK，又OBOA，所以OPOMONOK，即，又NOPMOK，所以ONPOMK，故OKMOPN90.【例2】证明：(1)因为，所以BCDABC，又因为EC与圆相切于点C，故ACEABC，所以ACEBCD.(2)因为ECBCDB，EBCBCD，所以BDCECB，故，即BC2BECD.【变式训练2】证明：过A作两圆的公切线，连接O1A，O1B，O2C，由弦切角定理，易得AO2CAO1B，所以O1BO2C，所以O1ABO2AC，所以ABACO1AO2Ar1r2.故ABAC为定值【例3】解析：PP，APCB，PCBPAD.【变式训练3】证明：(1)因为ECED，所以EDCECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以EDCEBA，故ECDEBA，所以CDAB.(2)由(1)知，AEBE，因为EFEG，故EFDEGC，从而FEDGEC.连接AF，BG，则EFAEGB，故FAEGBE.又CDAB，EDCECD，所以FABGBA.所以AFGGBA180.故A，B，G，F四点共圆【例4】(1)证明：连接OE，因为OEOB，所以OEBOBE.又因为BE平分CBD，所以CBEDBE.所以OEBCBE.所以EOCB.因为C90，所以AEO90，即ACOE.因为E为O半径OE的外端，所以AC是O的切线(2)解：因为AC是O的切线，所以AE2ADAB.因为AE6，AD6，所以(6)26AB.解得AB12，则ODOB3.因为EOCB，所以.所以.解得BC4.【变式训练4】2创新模拟预测演练1B2C323456证明：连接OE，因为PE切O