2020年4月福建省普通高三数学毕业班质量检查理科

2020年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题），第卷第21题为选考题，其他题为必考题。本试卷共5页。满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。3选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。4做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。5保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知，i不虚数单位，若，则x的值等于ABC2D62设向量，且，则锐角为ABCD3“”是“线与圆相交”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4函数的图像大致为ABCD5设、为不重合的平面，m、n为不重合的直线，则下列命题正确的是A若，则B若，mn，则C若m，n，mn，则D若，则6关于函数图像的对称性，下列说法正确的是A关于直线对称B关于直线对称C关于点对称D关于点对称7右图是计算函数的值的程序框图，在、处应分别填入的是A，B，C，D， 8已知直线与直线互相垂直，则的最小值为A5B4C2D19已知函数满足，且当时，则，的大小关系是ABCD10的展开式中，的系数可以表示从n个不同物体中选出k个的方法总数。下列各式的展开式中的系数恰能表示从重量分别为1、2、3、10克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法总数的选项是ABCD第卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡相应位置。11为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点。已知恰有200个点落在阴影部分，据此，可估计阴影部分的面积是_。12已知x，y满足约束条件，则的最大值是_。13如图，直线与曲线所围图形的面积是_。14在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则_。15已知椭圆的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线的顶点在原点、焦点在x轴上。小明从曲线、上各取若干个点（每条曲线上至少取两个点），并记录其坐标。由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆上，也不在抛物线上。小明的记录如下：02320据此，可推断椭圆的方程为_。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16（本小题满分13分）在等比数列中，。（）求数列的通项公式；（）令，求数列的前n项和。17（本小题满分13分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训。现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲8281797895889384乙9295807583809085（）用茎叶图表示这两组数据；（）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由；（）若将频率视为概率，对甲同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为，求的分布列及数学期望。18（本小题满分13分）四棱锥PABCD的底面与四个侧面的形状和大小如图所示。（）写出四棱锥PABCD中四对线面垂直关系（不要求证明）；（）在四棱锥PABCD中，若E为PA的中点，求证：BE平面PCD；（）在四棱锥PABCD中，设面PAB与面PCD所成的角为，求的值19（本题满分13分）已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为，。（）求椭圆C的方程；（）设直线与椭圆C交于P、Q两点，直线与交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。20（本小题满分14分）已知函数（）求函数的极值；（）对于曲线上的不同两点，如果存在曲线上的点，且，使得曲线在点处的切线，则称为弦的伴随切线。特别地，当时，又称为的伴随切线。（）求证：曲线的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的；（）是否存在曲线C，使得曲线C的任意一条弦均有伴随切线？若存在，给出一条这样的曲线 ，并证明你的结论； 若不存在 ，说明理由。21本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知，矩阵对应的线性变换把点变成点，求矩阵A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量。（2）（本小题满分7分）选修44：坐标系与参数方程已知直线经过点，且倾斜角为，圆C的参数方程为（是参数）。直线与圆C交于、两点，求、两点间的距离。（3）（本小题满分7分）选修45：不等式选讲解不等式：。2020年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，共50分。题号12345678910答案CBACDDBCBA二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题4分，共20分。11、912、513、14、15、三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16、（本小题满分13分）在等比数列中，。（）求数列的通项公式；（）令，求数列的前n项和。16、本小主要考查等比数列、数列求和等基础知识，考查运算求解能力。满分13分解：（）设等比数列的公比为q。依题意，得2分解得，4分数列的通项公式：。7分（）由（）得，。10分 。13分17、（本小题满分13分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训。现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲8281797895889384乙9295807583809085（）用茎叶图表示这两组数据；（）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由；（）若将频率视为概率，对甲同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为，求的分布列及数学期望。17、本小主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力。满分13分。解：（）作出茎叶图如下：4分（）派甲参赛比较合适。理由如下：， ， ，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适。8分注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分。如派乙参赛比较合适。理由如下：从统计的角度看，甲获得85分以上（含85分）的概率，乙获得85分以上（含85分）的概率。，派乙参赛比较合适。（）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，。9分随机变量的可能取值为0、1、2、3，且。，。所以变量的分布列为：0123P11分。（或）13分18、（本小题满分13分）四棱锥PABCD的底面与四个侧面的形状和大小如图所示。（）写出四棱锥PABCD中四对线面垂直关系（不要求证明）；（）在四棱锥PABCD中，若E为PA的中点，求证：BE平面PCD；（）在四棱锥PABCD中，设面PAB与面PCD所成的角为，求的值18、本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力。满分13分。解法一：（）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AD平面PAB，BC平面PAB，AB平面PAD4分注：多写的按前四对给分，每正确一对，给一分。CD平面PAC也符合要求。（）依题意AB、AD、AP两两垂直，分别以直线AB、AD、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标第，如图。5分则，。E是PA中点，点E的坐标为，。设是平面PCD的法向量。由，即取，得为平面PCD的一个法向量。6分，7分平面PCD。又BE平面PCD，BE平面PCD。8分（）由（），平面PCD的一个法向量为，10分又AD平面PAB，平面PAB的一个法向量为11分。13分解法二：（）同解法一。（）取PD的中点F，连接EF、CF。E、F分别是PA、PD的中点，EFAD，EFAD，EFBC，且EFBC，四边形BEFC是平行四边形，BECF。6分又CF平面PCD，BE平面PCD，BE平面PCD。8分（）依题意AB、AD、AP两两垂直，分别以直线AB、AD、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标第，如图。9分则，。E是PA中点，点E的坐标为，。设是平面PCD的法向量。由，即取，得为平面PCD的一个法向量。10分又AD平面PAB，平面PAB的一个法向量为11分。13分解法三：（）同解法一。（）取AD的中点N，连接EN，BN，E、N分别是PA、AD的中点，EN平PD，又EN平面PCD，EN平面PCD5分在直角梯形ABCD中，BCAD且BCADDN，四边形BCDN是平行四边形，BNCD。又平面PCD，BN平面PCD。6分，平面BEN平面PCD。7分又BE平面BEN，BE平面PCD。8分（）同解法二。19、（本题满分13分）已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为，。（）求椭圆C的方程；（）设直线与椭圆C交于P、Q两点，直线与交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。19、本题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想和化归与转化思想等。满分13分。解法一：（）设椭圆的方程为。1分，。4分椭圆的方程为。5分（）取得，直线的方程是直线的方程是交点为7分若，由对称性可知交点为若点在同一条直线上，则直线只能为。8分以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得即，记，则。9分设与交于点由得设与交于点由得10分，12分，即与重合，这说明，当变化时，点恒在定直线上。13分解法二：（）同解法一。（）取得，直线的方程是直线的方程是交点为7分取得，直线的方程是直线的方程是交点为若交点在同一条直线上，则直线只能为。8分以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得即，记，则。9分的方程是的方程是消去得以下用分析法证明时，式恒成立。要证明式恒成立，只需证明即证即证式恒成立。这说明，当变化时，点恒在定直线上。解法三：（）同解法一。（）由得即。记，则。6分的方程是的方程是7分由得9分即12分这说明，当变化时，点恒在定直线上。13分20、（本小题满分14分）已知函数（）求函数的极值；（）对于曲线上的不同两点，如果存在曲线上的点，且，使得曲线在点处的切线，则称为弦的伴随切线。特别地，当时，又称为的-伴随切线。（）求证：曲线的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的；（）是否存在曲线C，使得曲线C的任意一条弦均有伴随切线？若存在，给出一条这样的曲线 ，并证明你的结论； 若不存在 ，说明理由。20、本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分14分。解法一：（）2分当，函数在内是增函数，函数没有极值。3分当时，令，得。当变化时，与变化情况如下表：0单调递增极大值单调递减当时，取得极大值。综上，当时，没有极值；当时，的极大值为，没有极小值。5分（）（）设是曲线上的任意两点，要证明有伴随切线，只需证明存在点，使得，且点不在上。7分，即证存在，使得，即成立，且点不在上。8分以下证明方程在内有解。记，则。令，在内是减函数，。取，则，即。9分同理可证。函数在内有零点。即方程在内有解。10分又对于函数取，则可知，即点Q不在上。是增函数，的零点是唯一的，即方程在内有唯一解。综上，曲线上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的。11分（）取曲线C：，则曲线的任意一条弦均有伴随切线。证明如下：设是曲线C上任意两点，则，又，即曲线C：的任意一条弦均有伴随切线。14分注：只要考生给出一条满足条件的曲线，并给出正确证明，均给满分。若只给曲线，没有给出正确的证明，不给分。解法二：（）同解法一。（）（）设是曲线上的任意两点，要证明有伴随切线，只需证明存在点，使得，且点不在上。7分，即证存在，使得，即成立，且点不在上。8分以下证明方程在内有解。设。则。记，在内是增函数，。9分同理。方程在内有解。10分又对于函数，可知，即点Q不在上。又在内是增函数，方程在内有唯一解。综上，曲线上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的。11分（）同解法一。21、（1）（本小题满分7分）已知矩阵对应的线性变换把点变成，求矩阵A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量。21（1）（本小题满分7分）选修4